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1. 如图,点 P 在△ABC 的边 AC 上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是(
A.∠ABP= ∠C
B.∠APB= ∠ABC
C.$\frac{AP}{AB}= \frac{AB}{AC}$
D.$\frac{AB}{BP}= \frac{AC}{CB}$
D
)A.∠ABP= ∠C
B.∠APB= ∠ABC
C.$\frac{AP}{AB}= \frac{AB}{AC}$
D.$\frac{AB}{BP}= \frac{AC}{CB}$
答案
D
解析
要判断$\triangle ABP \sim \triangle ACB$，已知$\angle A = \angle A$（公共角）。
A. 若$\angle ABP = \angle C$，则两角对应相等，$\triangle ABP \sim \triangle ACB$，正确；
B. 若$\angle APB = \angle ABC$，则两角对应相等，$\triangle ABP \sim \triangle ACB$，正确；
C. 若$\frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC}$，则两边对应成比例且夹角相等，$\triangle ABP \sim \triangle ACB$，正确；
D. $\frac{AB}{BP} = \frac{AC}{CB}$，不是夹公共角的两边对应成比例，无法判定相似，不正确。
D
A. 若$\angle ABP = \angle C$，则两角对应相等，$\triangle ABP \sim \triangle ACB$，正确；
B. 若$\angle APB = \angle ABC$，则两角对应相等，$\triangle ABP \sim \triangle ACB$，正确；
C. 若$\frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC}$，则两边对应成比例且夹角相等，$\triangle ABP \sim \triangle ACB$，正确；
D. $\frac{AB}{BP} = \frac{AC}{CB}$，不是夹公共角的两边对应成比例，无法判定相似，不正确。
D
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3,4 及 x,那么 x 的值(
A.只有 1 个
B.可以有 2 个
C.可以有 3 个
D.有无数个
B
)A.只有 1 个
B.可以有 2 个
C.可以有 3 个
D.有无数个
答案
B
解析
当直角三角形两条直角边为6和8时，斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。
情况一：3和4为另一直角三角形直角边，$x=\sqrt{3^2+4^2}=5$，此时$\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2$，两三角形相似。
情况二：4为另一直角三角形斜边，3为直角边，$x=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，此时$\frac{6}{3}=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{10}{4}$不成立，$\frac{6}{\sqrt{7}}=\frac{8}{4}=\frac{10}{3}$不成立，$\frac{6}{4}=\frac{8}{3}=\frac{10}{\sqrt{7}}$不成立；3为斜边时，$x=\sqrt{3^2-4^2}$无意义。
当6和8中8为斜边时，另一直角边为$\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，此时与3,4,x相似，$\frac{6}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=\frac{8}{x}$，$x=4$（与情况一重复）；$\frac{6}{4}=\frac{2\sqrt{7}}{3}=\frac{8}{x}$，$x=\frac{16}{3}$，经检验相似成立。
综上，x的值为5或$\frac{16}{3}$，共2个。
B
情况一：3和4为另一直角三角形直角边，$x=\sqrt{3^2+4^2}=5$，此时$\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2$，两三角形相似。
情况二：4为另一直角三角形斜边，3为直角边，$x=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，此时$\frac{6}{3}=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{10}{4}$不成立，$\frac{6}{\sqrt{7}}=\frac{8}{4}=\frac{10}{3}$不成立，$\frac{6}{4}=\frac{8}{3}=\frac{10}{\sqrt{7}}$不成立；3为斜边时，$x=\sqrt{3^2-4^2}$无意义。
当6和8中8为斜边时，另一直角边为$\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，此时与3,4,x相似，$\frac{6}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=\frac{8}{x}$，$x=4$（与情况一重复）；$\frac{6}{4}=\frac{2\sqrt{7}}{3}=\frac{8}{x}$，$x=\frac{16}{3}$，经检验相似成立。
综上，x的值为5或$\frac{16}{3}$，共2个。
B
3. 如图,每个小正方形的边长均为 1,则下列选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(
A
)答案
A
解析
在△ABC中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
AB=4，
∴△ABC的三边长分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，4，三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{10}:4=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
选项A中三角形的三边长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边对应成比例，所以两三角形相似。
A
AC=$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
AB=4，
∴△ABC的三边长分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，4，三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{10}:4=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
选项A中三角形的三边长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边对应成比例，所以两三角形相似。
A
4. 如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以点 C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似,则点 E的坐标不可能是(
A.(6,0)
B.(6,3)
C.(6,5)
D.(4,2)
B
)A.(6,0)
B.(6,3)
C.(6,5)
D.(4,2)
答案
B
解析
∵A(1,7),B(1,1),C(4,1)
∴AB=6,BC=3,AC=√[(4-1)²+(1-7)²]=3√5,∠ABC=90°
C(4,1),D(6,1),CD=2,∠ECD=90°(A、C、D选项)或∠CDE=90°(B选项)
A(6,0):CE=√[(6-4)²+(0-1)²]=√5,DE=1,CE/BC=√5/3,DE/AB=1/6≠√5/3,CE/AB=√5/6,DE/BC=1/3=√5/6,△CDE∽△ABC
B(6,3):DE=2,CD=2,CD/AB=2/6=1/3,DE/BC=2/3≠1/3,CD/BC=2/3,DE/AB=2/6=1/3≠2/3,不相似
C(6,5):CE=√[(6-4)²+(5-1)²]=2√5,DE=4,CE/AC=2√5/3√5=2/3,DE/AB=4/6=2/3,△CDE∽△ABC
D(4,2):CE=1,DE=√[(4-6)²+(2-1)²]=√5,CE/BC=1/3,DE/AC=√5/3√5=1/3,△CDE∽△ABC
B
5. 已知两个三角形的三边分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{3}和\sqrt{6},\sqrt{2},2$,则这两个三角形
相似
.(填“相似”或“不相似”)答案
相似
解析
将两个三角形的三边按从小到大排序，分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$和$\sqrt{2},2,\sqrt{6}$。
计算对应边的比值：
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
三边对应成比例，所以这两个三角形相似。
相似
计算对应边的比值：
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
三边对应成比例，所以这两个三角形相似。
相似
