5. 某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件可获利8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元.用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,每提高一个档次将减少3件.如果每天所获利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么k等于()
A.5
B.7
C.9
D.10

C

设生产第$k$档次的产品，每天所获利润为$y$元。
每件产品的利润为：$8 + 2(k - 1) = 2k + 6$（元）
每天的产量为：$60 - 3(k - 1) = 63 - 3k$（件）
则$y=(2k + 6)(63 - 3k)$，展开得：$y=-6k^{2}+108k + 378$
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c$，当$a＜0$时，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$有最大值。
$a=-6$，$b=108$，对称轴$k=-\frac{108}{2×(-6)}=9$
所以当$k=9$时，每天所获利润最大。
C

6. 已知直角三角形的两条直角边之和为2,则斜边长的最小值是.

$\sqrt{2}$

设直角三角形的一条直角边为$x$，则另一条直角边为$2 - x$，斜边长为$c$。
由勾股定理得：$c = \sqrt{x^2 + (2 - x)^2}$
化简得：$c = \sqrt{x^2 + 4 - 4x + x^2} = \sqrt{2x^2 - 4x + 4}$
对$2x^2 - 4x + 4$进行配方：$2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2(x - 1)^2 + 2$
因为$(x - 1)^2 \geq 0$，所以当$x = 1$时，$2(x - 1)^2 + 2$取得最小值$2$
则斜边长$c$的最小值为$\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$

7. 飞机着陆滑行的距离y(m)关于滑行的时间t(s)的函数表达式为$y= 60t-\frac {3}{2}t^{2}$,在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.

24

$y=-\frac{3}{2}t^{2}+60t$，对称轴$t=-\frac{60}{2×(-\frac{3}{2})}=20$，当$t=20$时，滑行停止。
$t=16$时，$y=60×16-\frac{3}{2}×16^{2}=960-\frac{3}{2}×256=960-384=576$
$t=20$时，$y=60×20-\frac{3}{2}×20^{2}=1200-\frac{3}{2}×400=1200-600=600$
最后4s滑行距离：$600-576=24$
24

8. 如图,在矩形ABCD中,$AB= 6,BC= 12$,点P从点A出发,沿AB边向点B以每秒1个单位长度的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以每秒2个单位长度的速度移动.
(1)设开始运动后第t秒时,PQ的长度为y,写出y关于t的函数表达式,并指出自变量t的取值范围.
(2)当t为何值时,y值最小？求出y的最小值.

(1)
由题可知，运动$t$秒后，$AP = t$，$BP=6 - t$，$BQ = 2t$。
在$Rt\triangle PBQ$中，根据勾股定理$y=\sqrt{BP^{2}+BQ^{2}}=\sqrt{(6 - t)^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{36 - 12t+t^{2}+4t^{2}}=\sqrt{5t^{2}-12t + 36}$。
因为点$P$在$AB$上，$0\leqslant t\leqslant6$；点$Q$在$BC$上，$0\leqslant2t\leqslant12$即$0\leqslant t\leqslant6$，所以自变量$t$的取值范围是$0\leqslant t\leqslant6$。
(2)
对于二次函数$y=\sqrt{5t^{2}-12t + 36}$，先考虑二次函数$y_{1}=5t^{2}-12t + 36$，其对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2×5}=\frac{6}{5}$。
因为$a = 5＞0$，所以二次函数$y_{1}=5t^{2}-12t + 36$的图象开口向上，在对称轴$t=\frac{6}{5}$处取得最小值。
当$t=\frac{6}{5}$时，$y_{1}=5×(\frac{6}{5})^{2}-12×\frac{6}{5}+36=5×\frac{36}{25}-\frac{72}{5}+36=\frac{36}{5}-\frac{72}{5}+36=\frac{36 - 72+180}{5}=\frac{144}{5}$。
则$y=\sqrt{\frac{144}{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$。
所以当$t=\frac{6}{5}$时，$y$值最小，$y$的最小值为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$。

9. 某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.
(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为件.
(2)当每件的销售价x(元)为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y(元)最大？并求出最大利润.

(1) 180
(2) 解：
由题意得，销售数量 $ q = 200 - 10(x - 50) = 700 - 10x $，
利润 $ y = (x - 40)(700 - 10x) = -10x^2 + 1100x - 28000 $。
此为开口向下的二次函数，最大值出现在顶点 $ x = -\frac{b}{2a} = \frac{1100}{20} = 55 $。
代入得最大利润 $ y = -10(55)^2 + 1100 × 55 - 28000 = 2250 $ 元。
答：当销售价为55元时，最大利润为2250元。