巩固提升(2024 淮北三模)如图 1,已知抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A ( - 1,0 ) $,$ B ( 3,0 ) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ P $ 为对称轴 $ l $ 上一动点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 $ \angle OPB = 90^{\circ} $,求点 $ P $ 的坐标；
(3)如图 2,点 $ Q $ 为抛物线上一点,若以 $ O,P,B,Q $ 四点为顶点的四边形为平行四边形,求点 $ Q $ 的坐标。

(1)y=x²-2x-3；(2)(1,√2)，(1,-√2)；(3)(2,-3)，(-2,5)，(4,5)。

(1) 抛物线与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)，设解析式为y=(x+1)(x-3)，展开得y=x²-2x-3。
(2) 抛物线对称轴为x=1，设P(1,m)。O(0,0)，B(3,0)，∠OPB=90°，由勾股定理：OP²+PB²=OB²。
OP²=1²+m²=1+m²，PB²=(3-1)²+(0-m)²=4+m²，OB²=3²=9。
∴1+m²+4+m²=9，2m²=4，m=±√2。
点P坐标为(1,√2)，(1,-√2)。
(3) 设P(1,m)，Q(x,y)，Q在抛物线上，y=x²-2x-3。
①OB为对角线，OB中点(1.5,0)，PQ中点((1+x)/2,(m+y)/2)。
∴(1+x)/2=1.5，(m+y)/2=0，解得x=2，y=-m。
代入抛物线：-m=2²-2×2-3=-3，m=3。Q(2,-3)。
②OP为对角线，OP中点(0.5,m/2)，BQ中点((3+x)/2,y/2)。
∴(3+x)/2=0.5，y/2=m/2，解得x=-2，y=m。
代入抛物线：m=(-2)²-2×(-2)-3=5，m=5。Q(-2,5)。
③PB为对角线，PB中点(2,m/2)，OQ中点(x/2,y/2)。
∴x/2=2，y/2=m/2，解得x=4，y=m。
代入抛物线：m=4²-2×4-3=5，m=5。Q(4,5)。
点Q坐标为(2,-3)，(-2,5)，(4,5)。

1. (2024 坪山一模)抛物线 $ y = 4x^{2} $ 向左平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,所得到的抛物线是()
A.$ y = 4 ( x + 2 )^{2} + 1 $
B.$ y = 4 ( x + 2 )^{2} - 1 $
C.$ y = 4 ( x - 2 )^{2} - 1 $
D.$ y = 4 ( x - 2 )^{2} + 1 $

A

抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”。原抛物线为 $ y = 4x^2 $，向左平移 2 个单位，得 $ y = 4(x + 2)^2 $；再向上平移 1 个单位，得 $ y = 4(x + 2)^2 + 1 $。

2. 对于二次函数 $ y = - ( x + 2 )^{2} + 3 $ 的图象,下列说法正确的是()
A.开口向上
B.当 $ x = 2 $ 时,$ y $ 有最小值是 3
C.对称轴是直线 $ x = 2 $
D.顶点坐标是 $ ( - 2,3 ) $

D

二次函数 $ y = - (x + 2)^{2} + 3 $ 可以看作顶点式 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式，其中 $ a = -1 $，$ h = -2 $，$ k = 3 $。
根据二次函数的性质：
由于 $ a = -1 ＜ 0 $，所以抛物线开口向下，选项 A 错误。
当 $ x = -2 $ 时，$ y $ 达到最大值 3（因为开口向下），所以选项 B（$x=2$时达到最小值）错误。
对称轴是 $ x = -2 $，因此选项 C（对称轴是$x=2$）错误。
顶点坐标为 $ (-2, 3) $，选项 D 正确。

3. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,则点 $ P ( c,b ) $ 在第象限。

三

由抛物线开口向下得 $a ＜ 0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a} ＜ 0$，因$a ＜ 0$，故$b ＜ 0$；抛物线与y轴交于负半轴，得$c ＜ 0$。所以点$P(c,b)$的横、纵坐标均为负，在第三象限。