例3 (2024 平顶山二模)
(1) 下列方程中,有两个相等的实数根的是()
A. $ x^{2}-2x = -1 $
B. $ x^{2}+3x = 0 $
C. $ (x - 2)^{2}+1 = 0 $
D. $ (x + 1)(x - 3)= 0 $
(2) 若关于$ x $的一元二次方程 $ kx^{2}-6x + 9 = 0 $有实数根,则$ k $的取值范围是()
A. $ k ＜ 1 $
B. $ k \leq 1 $
C. $ k ＜ 1 且 k \neq 0 $
D. $ k \leq 1 且 k \neq 0 $
名师导引 熟练掌握一元二次方程的定义。一元二次方程根的情况由$ b^{2}-4ac $的符号决定：当$ b^{2}-4ac ＞ 0 $时,有两个不相等的实数根；当$ b^{2}-4ac = 0 $时,有两个相等的实数根；当$ b^{2}-4ac ＜ 0 $时,无实数根。

(1) A
(2) D

(1)对于选项A：
将方程$x^{2} - 2x = -1$化为标准形式：$x^{2} - 2x + 1 = 0$，
其中，$a = 1, b = -2, c = 1$，
计算判别式：$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4× 1× 1 = 0$，
因为$\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根。
对于选项B：
方程$x^{2} + 3x = 0$，
其中，$a = 1, b = 3, c = 0$，
计算判别式：$\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4× 1× 0 = 9 ＞ 0$，
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
对于选项C：
方程$(x - 2)^{2} + 1 = 0$，
展开得：$x^{2} - 4x + 5 = 0$，
其中，$a = 1, b = -4, c = 5$，
计算判别式：$\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4× 1× 5 = -4 ＜ 0$，
因为$\Delta ＜ 0$，所以方程无实数根。
对于选项D：
方程$(x + 1)(x - 3) = 0$，
直接得出方程的两个根为：$x_{1} = -1, x_{2} = 3$，
所以方程有两个不相等的实数根。
综上，只有选项A的方程有两个相等的实数根。
(2)对于方程$kx^{2} - 6x + 9 = 0$，
其中，$a = k, b = -6, c = 9$，
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta \geq 0$，
即：$b^{2} - 4ac \geq 0$，
代入$a, b, c$的值，得到：$(-6)^{2} - 4k × 9 \geq 0$，
化简得：$36 - 36k \geq 0$，
进一步化简得：$k \leq 1$，
又因为$k$是二次项系数，所以$k \neq 0$，
综上，$k$的取值范围是$k \leq 1$且$k \neq 0$。

巩固提升
(1) (2024 焦作二模)已知$ a $,$ b $为常数,且点$ A(a,b) $在第二象限,则关于$ x $的一元二次方程 ax²-x + b = 0 的根的情况为()
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
(2) (2024 威信二模)若关于$ x $的一元二次方程 (a - 2)x²+2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根,则$ a $的取值范围是()
A. $ a \neq 2 $
B. $ a \geq 1 且 a \neq 2 $
C. $ a ＞ 1 且 a \neq 2 $
D. $ a ＞ 1 $

(1)B
(2)C

(1)
因为点$A(a,b)$在第二象限，根据第二象限内点的坐标特征：横坐标是负数，纵坐标是正数，所以$a\lt0$，$b\gt0$。
对于一元二次方程$ax^{2}-x + b = 0$，其判别式$\Delta=(-1)^{2}-4ab$，把$a\lt0$，$b\gt0$代入可得$\Delta = 1-4ab\gt0$（因为$ab\lt0$，所以$-4ab\gt0$，则$1 - 4ab\gt0$），所以方程有两个不相等的实数根。
(2)
因为关于$x$的一元二次方程$(a - 2)x^{2}+2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以该方程是一元二次方程且判别式$\Delta\gt0$。
一元二次方程二次项系数$a - 2\neq0$，即$a\neq2$。
判别式$\Delta = 2^{2}-4(a - 2)×(-1)\gt0$，即$4 + 4(a - 2)\gt0$，$4+4a-8\gt0$，$4a-4\gt0$，$4a\gt4$，解得$a\gt1$。
综上，$a$的取值范围是$a\gt1$且$a\neq2$。

例4 某水果店现对某种水果进行促销,原价每千克$ 50 $元,连续两次降价后每千克$ 32 $元,若每次降价的百分率相同。
(1) 求每次降价的百分率；
(2) 若每千克盈利$ 10 $元,每天可售出$ 250 $千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场采取适当的涨价措施,若每千克涨价$ 0.5 $元,日销售量将减少$ 5 $千克,现该商场要保证每天盈利$ 3000 $元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元？
名师导引 (1) 增长(降低)率问题：若变化前数量为$ a $,平均增长(降低)率为$ x $,则两次增长(降低)后的值为$ a(1 \pm x)^{2} $；(2) 销售问题：总盈利= 每千克的盈利×数量。

(1)20%；(2)5元

(1)设每次降价的百分率为$x$，根据题意得：
$50(1 - x)^2 = 32$
$(1 - x)^2 = \frac{16}{25}$
$1 - x = \pm \frac{4}{5}$（舍去负值）
$x = 1 - \frac{4}{5} = 0.2 = 20\%$
(2)设每千克应涨价$y$元，根据题意得：
$(10 + y)\left(250 - \frac{5}{0.5}y\right) = 3000$
化简得：$(10 + y)(250 - 10y) = 3000$
$-10y^2 + 150y + 2500 = 3000$
$y^2 - 15y + 50 = 0$
解得：$y_1 = 5$，$y_2 = 10$
∵要尽快减少库存，销售量需较大，∴$y = 5$

巩固提升 (2025 蓬莱区期中)“当你背英语单词时,阿拉斯加的鳕鱼正跃水欢歌；当你算数学题时,南太平洋的海鸥正轻掠碧波；当你上晚自习时,地球的极圈之光正斑斓如画。但少年,梦想需你亲自编织,世界待你亲自探寻。未来可期,拼尽全力！当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你的生命里出现……”这是某直播平台销售某本书时的台词,该书的成本为每本$ 20 $元,当每本售价为$ 40 $元时,每天可销售$ 100 $本。为了吸引更多的顾客,该平台决定降价促销,根据市场调查发现：每本书的售价每降$ 1 $元,则每天可多销售$ 10 $本。设该书售价为每本$ x $元,每天的销售量为$ y $本。
(1) 求$ y 与 x $之间的函数关系式；
(2) 不忘公益初心,热心教育事业,该平台决定从每天的利润中捐出$ 200 $元帮助贫困山区的学生,为了保证捐款后每天利润达到$ 1800 $元,且要最大限度让利消费者,求此时每本书的售价为多少元。

(1)$y = -10x + 500$；(2)30元。

(1) 由题意，售价为$x$元时，降价$(40 - x)$元，每天多销售$10(40 - x)$本。则销售量$y = 100 + 10(40 - x)$，化简得$y = -10x + 500$。
(2) 每本利润为$(x - 20)$元，销售量为$y = -10x + 500$本。捐款前利润需达到$1800 + 200 = 2000$元，列方程：$(x - 20)(-10x + 500) = 2000$。
展开得：$-10x^2 + 700x - 10000 = 2000$，整理为$x^2 - 70x + 1200 = 0$。
因式分解：$(x - 30)(x - 40) = 0$，解得$x_1 = 30$，$x_2 = 40$。
为最大限度让利消费者，选择较低售价，故$x = 30$。