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8. (★★)已知$\angle AOB = 40^{\circ}$,OD是$\angle BOC$的平分线.
(1)如图①,当$\angle AOB与\angle BOC$互补时,求$\angle COD$的度数;
(2)如图②,当$\angle AOB与\angle BOC$互余时,求$\angle COD$的度数.
(1)如图①,当$\angle AOB与\angle BOC$互补时,求$\angle COD$的度数;
(2)如图②,当$\angle AOB与\angle BOC$互余时,求$\angle COD$的度数.
答案
解:(1)因为∠AOB与∠BOC互补，
所以∠AOB+∠BOC=180°.
所以∠BOC=180°-∠AOB
=180°-40°=140°.
因为OD是∠BOC的平分线，
所以$∠COD=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×140°=70°.$
(2)因为∠AOB与∠BOC互余，
所以∠AOB+∠BOC=90°.
所以∠BOC=90°-∠AOB=90°-40°=50°.
因为OD是∠BOC的平分线，
所以$∠COD=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°.$
所以∠AOB+∠BOC=180°.
所以∠BOC=180°-∠AOB
=180°-40°=140°.
因为OD是∠BOC的平分线，
所以$∠COD=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×140°=70°.$
(2)因为∠AOB与∠BOC互余，
所以∠AOB+∠BOC=90°.
所以∠BOC=90°-∠AOB=90°-40°=50°.
因为OD是∠BOC的平分线，
所以$∠COD=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°.$
9. (★)已知一个角的补角是它的余角的4倍,则这个角的度数是 【
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$67.5^{\circ}$
C
】A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$67.5^{\circ}$
答案
C
解析
设这个角的度数为$x$，则它的补角为$180^{\circ}-x$，余角为$90^{\circ}-x$。
根据题意，得$180 - x = 4(90 - x)$，
$180 - x = 360 - 4x$，
$ - x+4x = 360-180$，
$3x = 180$，
$x = 60$。
所以这个角的度数是$60^{\circ}$。
根据题意，得$180 - x = 4(90 - x)$，
$180 - x = 360 - 4x$，
$ - x+4x = 360-180$，
$3x = 180$，
$x = 60$。
所以这个角的度数是$60^{\circ}$。
10. (★★)若$\angle \alpha与\angle \beta$互补($\angle \alpha＜\angle \beta$),则$\angle \alpha与\frac{1}{2}(\angle \beta-\angle \alpha)$的关系是 【
A.互补
B.互余
C.和为$45^{\circ}$
D.和为$22.5^{\circ}$
B
】A.互补
B.互余
C.和为$45^{\circ}$
D.和为$22.5^{\circ}$
答案
B
解析
由题意，$\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 互补，所以 $\angle \alpha + \angle \beta = 180^{\circ}$。
计算 $\angle \alpha$ 与 $\frac{1}{2}(\angle \beta - \angle \alpha)$ 的和：
$\angle \alpha + \frac{1}{2}(\angle \beta - \angle \alpha)$
$= \angle \alpha + \frac{1}{2}\angle \beta - \frac{1}{2}\angle \alpha$
$= \frac{1}{2}\angle \alpha + \frac{1}{2}\angle \beta$
$= \frac{1}{2}(\angle \alpha + \angle \beta)$
$= \frac{1}{2} × 180^{\circ}$
$= 90^{\circ}$
由于两角之和为 $90^{\circ}$，所以 $\angle \alpha$ 与 $\frac{1}{2}(\angle \beta - \angle \alpha)$ 互余。
计算 $\angle \alpha$ 与 $\frac{1}{2}(\angle \beta - \angle \alpha)$ 的和：
$\angle \alpha + \frac{1}{2}(\angle \beta - \angle \alpha)$
$= \angle \alpha + \frac{1}{2}\angle \beta - \frac{1}{2}\angle \alpha$
$= \frac{1}{2}\angle \alpha + \frac{1}{2}\angle \beta$
$= \frac{1}{2}(\angle \alpha + \angle \beta)$
$= \frac{1}{2} × 180^{\circ}$
$= 90^{\circ}$
由于两角之和为 $90^{\circ}$，所以 $\angle \alpha$ 与 $\frac{1}{2}(\angle \beta - \angle \alpha)$ 互余。
11. (★★)若$\angle 1与\angle 2$互补,$\angle 2与\angle 3$互余,且$\angle 1 = 140^{\circ}$,则$\angle 3$等于 【
A.$40^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
C
】A.$40^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
答案
C
解析
已知 $\angle1$ 与 $\angle2$ 互补，则 $\angle1 + \angle2 = 180^{\circ}$。
因为$\angle1 = 140^{\circ}$，代入可得：
$\angle2 = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$。
又因为 $\angle2$ 与 $\angle3$ 互余，则 $\angle2 + \angle3 = 90^{\circ}$。
代入 $\angle2 = 40^{\circ}$，可得：
$\angle3 = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$。
因为$\angle1 = 140^{\circ}$，代入可得：
$\angle2 = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$。
又因为 $\angle2$ 与 $\angle3$ 互余，则 $\angle2 + \angle3 = 90^{\circ}$。
代入 $\angle2 = 40^{\circ}$，可得：
$\angle3 = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$。
12. (★★★)如图①,直角三角尺的直角顶点O在直线AB上,OC,OD是三角尺的两条直角边,OE平分$\angle AOD$.
(1)①若$\angle COE = 20^{\circ}$,则$\angle BOD$的度数为
②若$\angle COE = \alpha$,则$\angle BOD$的度数为
(2)当三角尺绕点O逆时针旋转到图②的位置时,其他条件不变,试猜测$\angle COE与\angle BOD$之间有怎样的数量关系,并说明理由.
(1)①若$\angle COE = 20^{\circ}$,则$\angle BOD$的度数为
40°
;②若$\angle COE = \alpha$,则$\angle BOD$的度数为
2α
(用含$\alpha$的式子表示).(2)当三角尺绕点O逆时针旋转到图②的位置时,其他条件不变,试猜测$\angle COE与\angle BOD$之间有怎样的数量关系,并说明理由.
解:(2)∠BOD=2∠COE. 理由如下:
设∠BOD=β,
则∠AOD=180°-β.
因为OE平分∠AOD,
所以$∠EOD=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{180°-β}{2}=90°-\frac{β}{2}$
因为∠COD=90°，
所以$∠COE=90-∠EOD=90°-(90°-\frac{β}{2})=\frac{β}{2}$
所以∠BOD=2∠COE.
设∠BOD=β,
则∠AOD=180°-β.
因为OE平分∠AOD,
所以$∠EOD=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{180°-β}{2}=90°-\frac{β}{2}$
因为∠COD=90°，
所以$∠COE=90-∠EOD=90°-(90°-\frac{β}{2})=\frac{β}{2}$
所以∠BOD=2∠COE.
答案
C
B
C
40°
2α
解:(2)∠BOD=2∠COE. 理由如下:
设∠BOD=β,
则∠AOD=180°-β.
因为OE平分∠AOD,
所以$∠EOD=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{180°-β}{2}=90°-\frac{β}{2}$
因为∠COD=90°，
所以$∠COE=90-∠EOD=90°-(90°-\frac{β}{2})=\frac{β}{2}$
所以∠BOD=2∠COE.
B
C
40°
2α
解:(2)∠BOD=2∠COE. 理由如下:
设∠BOD=β,
则∠AOD=180°-β.
因为OE平分∠AOD,
所以$∠EOD=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{180°-β}{2}=90°-\frac{β}{2}$
因为∠COD=90°，
所以$∠COE=90-∠EOD=90°-(90°-\frac{β}{2})=\frac{β}{2}$
所以∠BOD=2∠COE.
