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8.如图,点A,B,C均在小正方形的顶点上,且每个小正方形的边长均为1,则$\tan∠ BAC$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
变式训练
直接连接格点构造直角三角形→作延长线寻找直角三角形
如图,在$6×6$的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,$△ ABC$是格点三角形(顶点是网格线的交点),则$\tan∠ BAC$的值是
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
变式训练
直接连接格点构造直角三角形→作延长线寻找直角三角形
如图,在$6×6$的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,$△ ABC$是格点三角形(顶点是网格线的交点),则$\tan∠ BAC$的值是
$\frac{1}{3}$
.答案
8.C 【变式训练】$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要求锐角的正切值，需结合正切的定义求解：在直角三角形中，锐角的正切等于该角的对边与邻边的比值。对于网格中的格点角∠BAC，解题思路如下：1. 连接合适的格点，构造出包含∠BAC的三角形；2. 用勾股定理计算三角形各边的长度；3. 用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形，找到直角位置；4. 确定∠BAC的对边和邻边，计算二者的比值即为tan∠BAC的值。
【解析】
第8题
取合适格点D，连接BD，由勾股定理计算各边长度：
$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
验证直角：$AD^2+BD^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10=AB^2$，故$△ ADB$为直角三角形，且$∠ ADB=90°$。
根据正切定义：$\tan∠ BAC=\tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$。
变式训练
取AC边上的格点D，连接BD，由勾股定理计算各边长度：
$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
验证直角：$BD^2+AD^2=(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=2+18=20=AB^2$，故$△ ADB$为直角三角形，且$∠ ADB=90°$。
根据正切定义：$\tan∠ BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
8. C 【变式训练】$\frac{1}{3}$
【知识点】
正切的定义，勾股定理，格点三角形构造
【点评】
本组题是网格中求锐角三角函数值的典型题型，解题核心是通过构造含所求角的直角三角形，结合勾股定理及其逆定理得到所需边长，再代入正切定义计算，掌握格点中构造直角三角形的技巧可以快速解题。
【难度系数】
0.7
要求锐角的正切值，需结合正切的定义求解：在直角三角形中，锐角的正切等于该角的对边与邻边的比值。对于网格中的格点角∠BAC，解题思路如下：1. 连接合适的格点，构造出包含∠BAC的三角形；2. 用勾股定理计算三角形各边的长度；3. 用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形，找到直角位置；4. 确定∠BAC的对边和邻边，计算二者的比值即为tan∠BAC的值。
【解析】
第8题
取合适格点D，连接BD，由勾股定理计算各边长度：
$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
验证直角：$AD^2+BD^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10=AB^2$，故$△ ADB$为直角三角形，且$∠ ADB=90°$。
根据正切定义：$\tan∠ BAC=\tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$。
变式训练
取AC边上的格点D，连接BD，由勾股定理计算各边长度：
$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
验证直角：$BD^2+AD^2=(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=2+18=20=AB^2$，故$△ ADB$为直角三角形，且$∠ ADB=90°$。
根据正切定义：$\tan∠ BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
8. C 【变式训练】$\frac{1}{3}$
【知识点】
正切的定义，勾股定理，格点三角形构造
【点评】
本组题是网格中求锐角三角函数值的典型题型，解题核心是通过构造含所求角的直角三角形，结合勾股定理及其逆定理得到所需边长，再代入正切定义计算，掌握格点中构造直角三角形的技巧可以快速解题。
【难度系数】
0.7
11. [2024·合肥蜀山区月考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,$E$为边$AB$上一点,且$AE:BE=4:1$,$EF⊥ AC$于点$F$,连接$FB$,求$\tan∠ CFB$的值.
答案
11.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
首先观察图形特征，$Rt△ ABC$中$∠ C=90°$，$EF⊥ AC$，可推出$EF// BC$，能借助平行线分线段成比例得到$AF$与$FC$的比值；再结合含$30°$角的直角三角形的三边关系，设参数表示出$BC$、$FC$的长度，最后在$Rt△ BCF$中根据正切的定义计算$\tan∠ CFB$的值即可。
【解析】
解：设$BE=x$，
$\because AE:BE=4:1$，$\therefore AE=4x$，$AB=AE+BE=5x$。
$\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=\frac{5x}{2}$，$AC=AB·\cos30°=5x×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}x}{2}$。
$\because EF⊥ AC$，$∠ C=90°$即$BC⊥ AC$，
$\therefore EF// BC$，
$\therefore \frac{AF}{FC}=\frac{AE}{BE}=\frac{4}{1}$，即$FC=\frac{1}{5}AC$，
代入$AC=\frac{5\sqrt{3}x}{2}$得：$FC=\frac{1}{5}×\frac{5\sqrt{3}x}{2}=\frac{\sqrt{3}x}{2}$。
在$Rt△ BCF$中，$∠ C=90°$，
$\therefore \tan∠ CFB=\frac{BC}{FC}=\frac{\frac{5x}{2}}{\frac{\sqrt{3}x}{2}}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
正切的定义，平行线分线段成比例，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合直角三角形性质考查锐角三角函数的计算，通过设参数表示线段长度的方法能简化计算，解题时要注意正切是直角三角形对边与邻边的比值，最后结果需规范分母有理化。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，$Rt△ ABC$中$∠ C=90°$，$EF⊥ AC$，可推出$EF// BC$，能借助平行线分线段成比例得到$AF$与$FC$的比值；再结合含$30°$角的直角三角形的三边关系，设参数表示出$BC$、$FC$的长度，最后在$Rt△ BCF$中根据正切的定义计算$\tan∠ CFB$的值即可。
【解析】
解：设$BE=x$，
$\because AE:BE=4:1$，$\therefore AE=4x$，$AB=AE+BE=5x$。
$\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=\frac{5x}{2}$，$AC=AB·\cos30°=5x×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}x}{2}$。
$\because EF⊥ AC$，$∠ C=90°$即$BC⊥ AC$，
$\therefore EF// BC$，
$\therefore \frac{AF}{FC}=\frac{AE}{BE}=\frac{4}{1}$，即$FC=\frac{1}{5}AC$，
代入$AC=\frac{5\sqrt{3}x}{2}$得：$FC=\frac{1}{5}×\frac{5\sqrt{3}x}{2}=\frac{\sqrt{3}x}{2}$。
在$Rt△ BCF$中，$∠ C=90°$，
$\therefore \tan∠ CFB=\frac{BC}{FC}=\frac{\frac{5x}{2}}{\frac{\sqrt{3}x}{2}}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
正切的定义，平行线分线段成比例，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合直角三角形性质考查锐角三角函数的计算，通过设参数表示线段长度的方法能简化计算，解题时要注意正切是直角三角形对边与邻边的比值，最后结果需规范分母有理化。
【难度系数】
0.7
9. [2026·合肥肥东校级一模]如图,已知斜坡AB长为$60\sqrt{2}$ m,坡角(即∠BAC)为$45°$,BC⊥AC,现计划在斜坡的中点D处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线AC的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.若计划修建的斜坡BE的坡度为$3:1$,则休闲平台DE的长是 (
A.20 m
B.15 m
C.$10\sqrt{2}$ m
D.$20\sqrt{2}$ m
A
)A.20 m
B.15 m
C.$10\sqrt{2}$ m
D.$20\sqrt{2}$ m
答案
9.A
解析
【分析】
解题时首先从已知的45°坡角和斜坡AB长度入手，先判断出△ABC是等腰直角三角形，求出AC、BC的长度；再结合D是AB中点、DE//AC的条件，得到过D平行于AC的线段是△ABC的中位线，求出该线段的长度和B到该线段的铅直高度；最后根据斜坡BE的坡度（铅直高度与水平宽度的比）求出水平段EF的长度，用中位线长度减去EF长度即可得到DE的长。
【解析】
解：延长DE交BC于点G，
∵DE//AC，BC⊥AC，
∴DG⊥BC，
1. 在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠C=90°，AB=$60\sqrt{2}$ m，
∴AC=BC=AB·sin45°=$60\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=60$ m。
2.
∵D是AB中点，DG//AC，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG=$\frac{1}{2}$AC=30 m，BG=GC=$\frac{1}{2}$BC=30 m。
3. 斜坡BE的坡度为3:1，即铅直高度与水平宽度的比$\frac{BG}{EG}=\frac{3}{1}$，
代入BG=30 m，得$\frac{30}{EG}=3$，解得EG=10 m。
4.
∴DE=DG-EG=30-10=20 m。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用（坡度坡角），等腰直角三角形性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是理解坡度的定义，同时结合特殊直角三角形和中位线的性质简化计算，解题时注意构造合适的辅助线将所求线段转化到已知的线段关系中。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的45°坡角和斜坡AB长度入手，先判断出△ABC是等腰直角三角形，求出AC、BC的长度；再结合D是AB中点、DE//AC的条件，得到过D平行于AC的线段是△ABC的中位线，求出该线段的长度和B到该线段的铅直高度；最后根据斜坡BE的坡度（铅直高度与水平宽度的比）求出水平段EF的长度，用中位线长度减去EF长度即可得到DE的长。
【解析】
解：延长DE交BC于点G，
∵DE//AC，BC⊥AC，
∴DG⊥BC，
1. 在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠C=90°，AB=$60\sqrt{2}$ m，
∴AC=BC=AB·sin45°=$60\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=60$ m。
2.
∵D是AB中点，DG//AC，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG=$\frac{1}{2}$AC=30 m，BG=GC=$\frac{1}{2}$BC=30 m。
3. 斜坡BE的坡度为3:1，即铅直高度与水平宽度的比$\frac{BG}{EG}=\frac{3}{1}$，
代入BG=30 m，得$\frac{30}{EG}=3$，解得EG=10 m。
4.
∴DE=DG-EG=30-10=20 m。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用（坡度坡角），等腰直角三角形性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是理解坡度的定义，同时结合特殊直角三角形和中位线的性质简化计算，解题时注意构造合适的辅助线将所求线段转化到已知的线段关系中。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知两点$A(2,0),B(0,4)$,且$∠1=∠2$,则$\tan∠OCA$的值为________。
答案
10.2
解析
【分析】
要求$\tan∠OCA$的值，根据正切的定义，在$Rt△ OCA$中，$∠ COA$为直角，$\tan∠OCA=\frac{对边OA}{邻边OC}$，已知$OA=2$，因此只需要求出$OC$的长度即可。已知$∠1=∠2$，则两个角的正切值相等，先在$Rt△ AOB$中求出$\tan∠2$的值，再利用等角的正切值相等求出$\tan∠1$，进而求出$OC$的长度，最后代入计算即可得到$\tan∠OCA$的值。
【解析】
解：$\because A(2,0),B(0,4)$，
$\therefore OA=2，OB=4$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，
$\therefore \tan∠2=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore \tan∠1=\tan∠2=\frac{1}{2}$。
在$Rt△ AOC$中，$∠ AOC=90°$，$\tan∠1=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，
将$OA=2$代入得：$\frac{OC}{2}=\frac{1}{2}$，解得$OC=1$。
在$Rt△ AOC$中，$\tan∠OCA=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{1}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
正切的定义，坐标与图形性质，等角的正切值相等
【点评】
本题侧重考查锐角正切的基础应用，解题的关键是抓住$∠1=∠2$的条件，结合直角三角形中正切的计算推导未知线段长度，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
$0.7$
要求$\tan∠OCA$的值，根据正切的定义，在$Rt△ OCA$中，$∠ COA$为直角，$\tan∠OCA=\frac{对边OA}{邻边OC}$，已知$OA=2$，因此只需要求出$OC$的长度即可。已知$∠1=∠2$，则两个角的正切值相等，先在$Rt△ AOB$中求出$\tan∠2$的值，再利用等角的正切值相等求出$\tan∠1$，进而求出$OC$的长度，最后代入计算即可得到$\tan∠OCA$的值。
【解析】
解：$\because A(2,0),B(0,4)$，
$\therefore OA=2，OB=4$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，
$\therefore \tan∠2=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore \tan∠1=\tan∠2=\frac{1}{2}$。
在$Rt△ AOC$中，$∠ AOC=90°$，$\tan∠1=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，
将$OA=2$代入得：$\frac{OC}{2}=\frac{1}{2}$，解得$OC=1$。
在$Rt△ AOC$中，$\tan∠OCA=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{1}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
正切的定义，坐标与图形性质，等角的正切值相等
【点评】
本题侧重考查锐角正切的基础应用，解题的关键是抓住$∠1=∠2$的条件，结合直角三角形中正切的计算推导未知线段长度，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
$0.7$
12. 如图,将矩形$ABCD$沿$CE$折叠,点$B$恰好落在边$AD$上的点$F$处. 若$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,求$\tan∠ DCF$的值.
答案
12. $\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AB=CD,∠ D=90°$.
由题可知 $CF=BC$.
$\because \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3},\therefore \frac{CD}{CF}=\frac{2}{3}$. 设 $CD=2x,CF=3x$,
由勾股定理得 $DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{5}x$,
$\therefore \tan ∠ DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
由题可知 $CF=BC$.
$\because \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3},\therefore \frac{CD}{CF}=\frac{2}{3}$. 设 $CD=2x,CF=3x$,
由勾股定理得 $DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{5}x$,
$\therefore \tan ∠ DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先结合矩形性质得到AB=CD、∠D=90°，再根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得CF=BC，将已知的AB与BC的比值转化为直角三角形DCF中CD与CF的比值；要求tan∠DCF，根据正切的定义，在Rt△DCF中tan∠DCF=对边DF/邻边CD，因此可设参数表示CD和CF的长度，再用勾股定理求出DF的长度，最后代入正切公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠D=90°，
由折叠的性质可得：CF=BC，
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴ $\frac{CD}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
设CD=2x，CF=3x（x＞0），
在Rt△DCF中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{(3x)^2-(2x)^2}=\sqrt{9x^2-4x^2}=\sqrt{5}x$，
∴ $\tan∠DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；正切的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是利用折叠性质得到相等的边，将已知线段比转化到直角三角形中，再结合勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形性质得到AB=CD、∠D=90°，再根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得CF=BC，将已知的AB与BC的比值转化为直角三角形DCF中CD与CF的比值；要求tan∠DCF，根据正切的定义，在Rt△DCF中tan∠DCF=对边DF/邻边CD，因此可设参数表示CD和CF的长度，再用勾股定理求出DF的长度，最后代入正切公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠D=90°，
由折叠的性质可得：CF=BC，
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴ $\frac{CD}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
设CD=2x，CF=3x（x＞0），
在Rt△DCF中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{(3x)^2-(2x)^2}=\sqrt{9x^2-4x^2}=\sqrt{5}x$，
∴ $\tan∠DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；正切的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是利用折叠性质得到相等的边，将已知线段比转化到直角三角形中，再结合勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
