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一、选择题
1. 下列任意两个图形不一定相似的是
（）
A.正方形
B.等腰直角三角形
C.矩形
D.等边三角形
1. 下列任意两个图形不一定相似的是
（）
A.正方形
B.等腰直角三角形
C.矩形
D.等边三角形
答案
C
解析
根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的图形相似。逐一分析选项：
1. 任意两个正方形：内角均为90°，对应边的比值相等，一定相似；
2. 任意两个等腰直角三角形：内角均为90°、45°、45°，对应角相等，对应边成比例，一定相似；
3. 任意两个矩形：内角均为90°，但长和宽的比值不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似；
4. 任意两个等边三角形：内角均为60°，对应边成比例，一定相似。
1. 任意两个正方形：内角均为90°，对应边的比值相等，一定相似；
2. 任意两个等腰直角三角形：内角均为90°、45°、45°，对应角相等，对应边成比例，一定相似；
3. 任意两个矩形：内角均为90°，但长和宽的比值不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似；
4. 任意两个等边三角形：内角均为60°，对应边成比例，一定相似。
2.如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC上的点,且$DE// BC$.若$DE=2$,$BC=5$,则$AD:DB$的值是()
A.$3:2$
B.$3:5$
C.$2:5$
D.$2:3$
A.$3:2$
B.$3:5$
C.$2:5$
D.$2:3$
答案
D
解析
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$。设$AD=2k$，则$AB=5k$，因此$DB=AB-AD=5k-2k=3k$，故$AD:DB=2k:3k=2:3$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\sin A=\dfrac{7}{25}$，则$\tan B$的值是（）
A.$\dfrac{7}{24}$
B.$\dfrac{24}{7}$
C.$\dfrac{7}{25}$
D.$\dfrac{25}{7}$
A.$\dfrac{7}{24}$
B.$\dfrac{24}{7}$
C.$\dfrac{7}{25}$
D.$\dfrac{25}{7}$
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，由$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{25}$，设$BC=7k$（$k＞0$），则$AB=25k$。根据勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(25k)^2-(7k)^2}=24k$。由正切的定义，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{24k}{7k}=\frac{24}{7}$。
4.如图，$∠ BAD=∠ CAE$，添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABC ∽ △ ADE$的是()
A.$∠ C=∠ E$
B.$∠ B=∠ ADE$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
D.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
A.$∠ C=∠ E$
B.$∠ B=∠ ADE$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
D.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
答案
C
解析
已知∠BAD=∠CAE，等式两边同时加∠DAC，可得∠BAC=∠DAE，即已存在一组对应角相等：
1. 选项A：添加∠C=∠E，满足两角分别相等（AA），可判定△ABC∽△ADE；
2. 选项B：添加∠B=∠ADE，满足两角分别相等（AA），可判定△ABC∽△ADE；
3. 选项C：添加$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，此时相等的∠BAC、∠DAE并非对应成比例的两组边的夹角，不满足相似三角形的SAS判定规则，无法判定△ABC∽△ADE；
4. 选项D：添加$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，满足夹角相等且两边对应成比例（SAS），可判定△ABC∽△ADE。
1. 选项A：添加∠C=∠E，满足两角分别相等（AA），可判定△ABC∽△ADE；
2. 选项B：添加∠B=∠ADE，满足两角分别相等（AA），可判定△ABC∽△ADE；
3. 选项C：添加$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，此时相等的∠BAC、∠DAE并非对应成比例的两组边的夹角，不满足相似三角形的SAS判定规则，无法判定△ABC∽△ADE；
4. 选项D：添加$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，满足夹角相等且两边对应成比例（SAS），可判定△ABC∽△ADE。
5.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值是（）
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
答案
A
解析
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=2$。过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×2×2=2$，结合面积公式$S=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入得$2=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}· CD$，解得$CD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
6.如图,在锐角三角形ABC中,BC=6, $S_{△ ABC}=12$,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且$MN// BC$,$MP⊥ BC$,$NQ⊥ BC$,得到矩形MPQN.设MN的长为x,矩形MPQN的面积为y,则y关于x的函数图象的大致形状是()
答案
$\boxed{B}$
解析
解：过点A作$AD⊥ BC$于点D，
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=12$，$BC=6$，
得$\frac{1}{2}×6× AD=12$，解得$AD=4$。
因为$MN// BC$，所以$△ AMN ∽ △ ABC$，
设$△ AMN$的高为$h$，则$\frac{MN}{BC}=\frac{h}{AD}$，
代入$MN=x$，$BC=6$，$AD=4$，得$\frac{x}{6}=\frac{h}{4}$，解得$h=\frac{2}{3}x$。
矩形MPQN的高$MP=AD-h=4-\frac{2}{3}x$，
因此矩形面积$y=MN· MP=x(4-\frac{2}{3}x)=-\frac{2}{3}x^2+4x$，其中$0＜x＜6$。
该函数是开口向下的二次函数，图象为过原点、开口向下的抛物线的一段，与x轴交于点$(0,0)$和$(6,0)$，对称轴为$x=3$，符合该特征的是选项B。
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=12$，$BC=6$，
得$\frac{1}{2}×6× AD=12$，解得$AD=4$。
因为$MN// BC$，所以$△ AMN ∽ △ ABC$，
设$△ AMN$的高为$h$，则$\frac{MN}{BC}=\frac{h}{AD}$，
代入$MN=x$，$BC=6$，$AD=4$，得$\frac{x}{6}=\frac{h}{4}$，解得$h=\frac{2}{3}x$。
矩形MPQN的高$MP=AD-h=4-\frac{2}{3}x$，
因此矩形面积$y=MN· MP=x(4-\frac{2}{3}x)=-\frac{2}{3}x^2+4x$，其中$0＜x＜6$。
该函数是开口向下的二次函数，图象为过原点、开口向下的抛物线的一段，与x轴交于点$(0,0)$和$(6,0)$，对称轴为$x=3$，符合该特征的是选项B。
二、填空题
7. 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，BC=√3，AC=3，则∠B=。
7. 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，BC=√3，AC=3，则∠B=。
答案
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，
$\because \tan60°=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ B=60°$。
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，
$\because \tan60°=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ B=60°$。
8.已知$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}$，则$\frac{a-b}{b}$的值是。
答案
$\frac{1}{3}$
解析
解：设$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），
则$a=4k$，$b=3k$，
代入$\frac{a-b}{b}$得：
$\frac{a-b}{b}=\frac{4k-3k}{3k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
则$a=4k$，$b=3k$，
代入$\frac{a-b}{b}$得：
$\frac{a-b}{b}=\frac{4k-3k}{3k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
9.计算：$3\sin 30° - \tan 45° = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
解：
$\because \sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$
$\therefore$ 原式$=3×\frac{1}{2} - 1$
$=\frac{3}{2} - 1$
$=\frac{1}{2}$
最终
$\because \sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$
$\therefore$ 原式$=3×\frac{1}{2} - 1$
$=\frac{3}{2} - 1$
$=\frac{1}{2}$
最终
10.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O.若OA:AD=2:3，S△ABC=4，则S△DEF=.
答案
$\boldsymbol{25}$
解析
解：
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，
∴△ABC∽△DEF，两三角形的相似比等于OA:OD。
∵OA:AD=2:3，
∴OA:OD=OA:(OA+AD)=2:(2+3)=2:5。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
已知$S_{△ ABC}=4$，代入得：
$4:S_{△ DEF}=4:25$，
解得$S_{△ DEF}=25$。
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，
∴△ABC∽△DEF，两三角形的相似比等于OA:OD。
∵OA:AD=2:3，
∴OA:OD=OA:(OA+AD)=2:(2+3)=2:5。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
已知$S_{△ ABC}=4$，代入得：
$4:S_{△ DEF}=4:25$，
解得$S_{△ DEF}=25$。
