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1. [2026 合肥期末] 先化简，再求值 $(1+\dfrac{m}{m+2})÷\dfrac{m-2}{m^2-4}$，其中 $m=-4$。
答案
1.解：原式$=2m+2$，当$m=-4$时，原式$=-6$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰可分两步：第一步先化简分式，①先计算括号内的分式加法，将1通分转化为分母为$m+2$的分式，和括号内的分式相加；②再将分式除法转化为乘法，同时对$m^2-4$用平方差公式因式分解；③对分子分母进行约分，得到最简整式。第二步将$m=-4$代入最简整式计算结果即可，本题$m=-4$时所有分母均不为0，可正常约分计算。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{m+2}{m+2}+\frac{m}{m+2})÷\frac{m-2}{m^2-4}\\&=\frac{m+2+m}{m+2}×\frac{m^2-4}{m-2}\\&=\frac{2m+2}{m+2}×\frac{(m+2)(m-2)}{m-2}\\&=2m+2\end{aligned}$
当$m=-4$时，代入化简结果得：
原式$=2×(-4)+2=-8+2=-6$
【答案】
原式化简为$2m+2$，当$m=-4$时，原式$=-6$
【知识点】
1. 分式混合运算 2. 平方差公式 3. 代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，重点考查分式的运算规则、因式分解的应用，计算时需遵循运算顺序，先算括号内的运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解后约分能大幅简化计算，代入数值时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰可分两步：第一步先化简分式，①先计算括号内的分式加法，将1通分转化为分母为$m+2$的分式，和括号内的分式相加；②再将分式除法转化为乘法，同时对$m^2-4$用平方差公式因式分解；③对分子分母进行约分，得到最简整式。第二步将$m=-4$代入最简整式计算结果即可，本题$m=-4$时所有分母均不为0，可正常约分计算。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{m+2}{m+2}+\frac{m}{m+2})÷\frac{m-2}{m^2-4}\\&=\frac{m+2+m}{m+2}×\frac{m^2-4}{m-2}\\&=\frac{2m+2}{m+2}×\frac{(m+2)(m-2)}{m-2}\\&=2m+2\end{aligned}$
当$m=-4$时，代入化简结果得：
原式$=2×(-4)+2=-8+2=-6$
【答案】
原式化简为$2m+2$，当$m=-4$时，原式$=-6$
【知识点】
1. 分式混合运算 2. 平方差公式 3. 代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，重点考查分式的运算规则、因式分解的应用，计算时需遵循运算顺序，先算括号内的运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解后约分能大幅简化计算，代入数值时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
2.先化简,再求值:$\frac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2} · \frac{xy}{x^2 + xy} + \frac{x}{x - y}$,其中$x=2,y=1$.
答案
2.解：原式$=\dfrac{x+y}{x-y}$. 当$x=2,y=1$时，原式$=3$.
解析
【分析】
本题为分式化简求值题，遵循“先化简，再代值”的解题原则，可降低运算量。解题思路如下：第一步先处理乘法运算，对两个相乘分式的分子、分母分别因式分解，约去公因式得到乘法部分的最简结果；第二步处理加法运算，将乘法结果与后面的分式合并（本题为同分母分式，直接分子相加分母不变），得到整个式子的最简形式；最后将x=2、y=1代入最简式计算出结果即可，运算过程中注意保证所有分母不为零。
【解析】
解：先对原式各部分因式分解，再按运算顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} · \frac{xy}{x(x+y)} + \frac{x}{x-y} \\&=\frac{x+y}{x-y} · \frac{y}{x+y} + \frac{x}{x-y} \quad \mathrm{（约去公因式）} \\&=\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x-y} \quad \mathrm{（计算乘法，约去公因式}x+y\mathrm{）} \\&=\frac{x+y}{x-y} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分母不变，分子相加）}\end{aligned}$
将$x=2$，$y=1$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2+1}{2-1}=3$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x+y}{x-y}$，求值结果为$3$
【知识点】
因式分解、分式混合运算、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查因式分解的熟练度与分式运算规则的掌握，运算过程中要注意约分的正确性，代值前需确认所给数值不会使原分式的分母为0。
【难度系数】
0.8
本题为分式化简求值题，遵循“先化简，再代值”的解题原则，可降低运算量。解题思路如下：第一步先处理乘法运算，对两个相乘分式的分子、分母分别因式分解，约去公因式得到乘法部分的最简结果；第二步处理加法运算，将乘法结果与后面的分式合并（本题为同分母分式，直接分子相加分母不变），得到整个式子的最简形式；最后将x=2、y=1代入最简式计算出结果即可，运算过程中注意保证所有分母不为零。
【解析】
解：先对原式各部分因式分解，再按运算顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} · \frac{xy}{x(x+y)} + \frac{x}{x-y} \\&=\frac{x+y}{x-y} · \frac{y}{x+y} + \frac{x}{x-y} \quad \mathrm{（约去公因式）} \\&=\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x-y} \quad \mathrm{（计算乘法，约去公因式}x+y\mathrm{）} \\&=\frac{x+y}{x-y} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分母不变，分子相加）}\end{aligned}$
将$x=2$，$y=1$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2+1}{2-1}=3$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x+y}{x-y}$，求值结果为$3$
【知识点】
因式分解、分式混合运算、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查因式分解的熟练度与分式运算规则的掌握，运算过程中要注意约分的正确性，代值前需确认所给数值不会使原分式的分母为0。
【难度系数】
0.8
3. [2026 马鞍山期末] 先化简，再求值：$(\dfrac{3}{a+1} - a + 1) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1}$，其中$a$从$-1$，$1$，$-2$，$2$中取一个你认为合适的数代入求值。
答案
3.解：原式$=-a-1$. 要使分式有意义，则$a+1≠0$,且$a^2-4≠0$,解得$a≠-1$且$a≠±2$. $\because a$从$-1,1,-2,2$中取一个合适的数，$\therefore a=1$,当$a=1$时，原式$=-1-1=-2$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理括号内的分式运算，将整式部分看作分母为1的式子，和括号内的分式通分后计算；第二步将除法运算转化为乘法运算，对分子分母分别因式分解后约分，得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）筛选出符合要求的a的取值，再代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简
$\begin{aligned}原式&=[\frac{3}{a+1}-(a-1)]÷\frac{a^2-4}{a^2+2a+1}\\&=[\frac{3}{a+1}-\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}]×\frac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{3-(a^2-1)}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{4-a^2}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{-(a^2-4)}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{a^2-4}\\&=-(a+1)\\&=-a-1\end{aligned}$
要使分式有意义，则所有分母、除数均不为0，即：
$a+1≠0$，且$a^2-4≠0$，解得$a≠-1$且$a≠\pm2$。
已知a可选值为$-1,1,-2,2$，因此仅$a=1$符合要求，将$a=1$代入最简式得：
原式$=-1-1=-2$
【答案】
化简结果为$-a-1$，代入合适的数$a=1$后值为$-2$
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题时需注意先化简后代入求值的顺序，尤其要注意代入的数值必须保证原分式中所有分母和除数都不为0，不能直接任选给定数值代入，否则容易出现分式无意义的错误。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理括号内的分式运算，将整式部分看作分母为1的式子，和括号内的分式通分后计算；第二步将除法运算转化为乘法运算，对分子分母分别因式分解后约分，得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）筛选出符合要求的a的取值，再代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简
$\begin{aligned}原式&=[\frac{3}{a+1}-(a-1)]÷\frac{a^2-4}{a^2+2a+1}\\&=[\frac{3}{a+1}-\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}]×\frac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{3-(a^2-1)}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{4-a^2}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{-(a^2-4)}{a+1}×\frac{(a+1)^2}{a^2-4}\\&=-(a+1)\\&=-a-1\end{aligned}$
要使分式有意义，则所有分母、除数均不为0，即：
$a+1≠0$，且$a^2-4≠0$，解得$a≠-1$且$a≠\pm2$。
已知a可选值为$-1,1,-2,2$，因此仅$a=1$符合要求，将$a=1$代入最简式得：
原式$=-1-1=-2$
【答案】
化简结果为$-a-1$，代入合适的数$a=1$后值为$-2$
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题时需注意先化简后代入求值的顺序，尤其要注意代入的数值必须保证原分式中所有分母和除数都不为0，不能直接任选给定数值代入，否则容易出现分式无意义的错误。
【难度系数】
0.7
4.先化简$( \dfrac{2x+5}{x^2 -1} - \dfrac{3}{x -1} ) ÷ \dfrac{2 -x}{x^2 -2x +1}$，再从$-2 ＜ x ≤ 2$中选取一个合适的整数代入求值.
答案
4.解：原式$=\dfrac{x-1}{x+1}$. 由题意，得$x+1≠0,x-1≠0,2-x≠0$,所以$x≠±1$且$x≠2$. 因为在$-2＜x≤2$中的整数有$-1,0,1,2$，所以取$x=0$,所以原式$=\dfrac{0-1}{0+1}=-1$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步处理分式混合运算，先计算括号内的异分母分式减法，先对分母因式分解找到最简公分母通分后再计算；第二步将除法转化为乘法，对除式的分母因式分解后约分，得到最简分式；第三步选取x的值时，要保证原式所有分母和除式均不为0，先排除不符合条件的整数，再选合适的整数代入最简式计算即可。
【解析】
1. 先对各分母因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
将除法转化为乘法，原式可改写为：
$[ \dfrac{2x+5}{(x+1)(x-1)} - \dfrac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)} ] × \dfrac{(x-1)^2}{2-x}$
2. 计算括号内的减法：
$=\dfrac{2x+5 - 3x -3}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{(x-1)^2}{2-x}$
$=\dfrac{2-x}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{(x-1)^2}{2-x}$
3. 约分化简：
约去公因式$2-x$和$(x-1)$，得最简式：$\dfrac{x-1}{x+1}$
4. 确定x的合法取值：
要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$x+1≠0,x-1≠0,2-x≠0$，解得$x≠±1$且$x≠2$。
在$-2 ＜ x ≤ 2$的整数有$-1、0、1、2$，排除不符合条件的数，仅可取$x=0$。
5. 代入计算：
将$x=0$代入最简式，得原式$=\dfrac{0-1}{0+1}=-1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x-1}{x+1}$，选取$x=0$代入得值为$-1$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，易错点为选取x的值时忽略分式有意义的限制，误选$x=±1$或2，计算过程中要注意通分、约分的规则，保证运算准确性。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步处理分式混合运算，先计算括号内的异分母分式减法，先对分母因式分解找到最简公分母通分后再计算；第二步将除法转化为乘法，对除式的分母因式分解后约分，得到最简分式；第三步选取x的值时，要保证原式所有分母和除式均不为0，先排除不符合条件的整数，再选合适的整数代入最简式计算即可。
【解析】
1. 先对各分母因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
将除法转化为乘法，原式可改写为：
$[ \dfrac{2x+5}{(x+1)(x-1)} - \dfrac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)} ] × \dfrac{(x-1)^2}{2-x}$
2. 计算括号内的减法：
$=\dfrac{2x+5 - 3x -3}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{(x-1)^2}{2-x}$
$=\dfrac{2-x}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{(x-1)^2}{2-x}$
3. 约分化简：
约去公因式$2-x$和$(x-1)$，得最简式：$\dfrac{x-1}{x+1}$
4. 确定x的合法取值：
要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$x+1≠0,x-1≠0,2-x≠0$，解得$x≠±1$且$x≠2$。
在$-2 ＜ x ≤ 2$的整数有$-1、0、1、2$，排除不符合条件的数，仅可取$x=0$。
5. 代入计算：
将$x=0$代入最简式，得原式$=\dfrac{0-1}{0+1}=-1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x-1}{x+1}$，选取$x=0$代入得值为$-1$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，易错点为选取x的值时忽略分式有意义的限制，误选$x=±1$或2，计算过程中要注意通分、约分的规则，保证运算准确性。
【难度系数】
0.7
5.先化简，再求值：$( \dfrac{x-1}{x^2 -4x +4} - \dfrac{x+2}{x^2 -2x} ) ÷ ( \dfrac{4}{x} -1 )$，其中$x$是不等式$\dfrac{2x -5}{3} ≤ x -3$的最小整数解。
答案
5.解：原式$=\dfrac{1}{(x-2)^2}$,解不等式$\dfrac{2x-5}{3}≤x-3$,得$x≥4$,则不等式的最小整数解为$x=4$,当$x=4$时,原式无意义,故原式的值不存在.
解析
【分析】
解题时分为三步思考：第一步先化简分式，先对各分母因式分解，再按运算顺序先计算括号内的分式加减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，约分化为最简形式；第二步解一元一次不等式，求出x的取值范围，找到最小整数解；第三步验证该整数解是否使原分式的所有分母、除数不为0，若不符合则原式无意义，符合再代入求值。
【解析】
1. 化简原式：
先对各分母因式分解：
$原式=[ \dfrac{x-1}{(x-2)^2} - \dfrac{x+2}{x(x-2)} ] ÷ ( \dfrac{4}{x} -1 )$
① 计算第一个括号内的分式减法，通分，公分母为$x(x-2)^2$：
$\dfrac{x(x-1)}{x(x-2)^2} - \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} = \dfrac{x(x-1)-(x^2-4)}{x(x-2)^2}$
计算分子：$x^2 -x -x^2 +4 = 4-x$
因此第一个括号化简为：$\dfrac{4-x}{x(x-2)^2}$
② 计算除数括号内的分式减法：
$\dfrac{4}{x} -1 = \dfrac{4 - x}{x}$
③ 除法转化为乘法，约分：
$原式=\dfrac{4-x}{x(x-2)^2} × \dfrac{x}{4-x} = \dfrac{1}{(x-2)^2}$（注：此时需满足$x≠0,x≠2,x≠4$，分式才有意义）
2. 解不等式$\dfrac{2x-5}{3} \le x-3$：
两边同乘3得：$2x -5 \le 3x -9$
移项合并同类项得：$-x \le -4$
系数化为1得：$x \ge 4$
因此不等式的最小整数解为$x=4$
3. 代入验证：
当$x=4$时，除数$\dfrac{4}{x}-1=0$，原式无意义。
【答案】
原式化简为$\dfrac{1}{(x-2)^2}$，不等式的最小整数解为$x=4$，此时原式无意义，故原式的值不存在。
【知识点】
分式的化简求值，一元一次不等式的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与不等式的综合题，易错点是求出整数解后直接代入计算，忽略了分式有意义的前提，即原分式的所有分母、除数不能为0，解题时要养成求值前先检验的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时分为三步思考：第一步先化简分式，先对各分母因式分解，再按运算顺序先计算括号内的分式加减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，约分化为最简形式；第二步解一元一次不等式，求出x的取值范围，找到最小整数解；第三步验证该整数解是否使原分式的所有分母、除数不为0，若不符合则原式无意义，符合再代入求值。
【解析】
1. 化简原式：
先对各分母因式分解：
$原式=[ \dfrac{x-1}{(x-2)^2} - \dfrac{x+2}{x(x-2)} ] ÷ ( \dfrac{4}{x} -1 )$
① 计算第一个括号内的分式减法，通分，公分母为$x(x-2)^2$：
$\dfrac{x(x-1)}{x(x-2)^2} - \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} = \dfrac{x(x-1)-(x^2-4)}{x(x-2)^2}$
计算分子：$x^2 -x -x^2 +4 = 4-x$
因此第一个括号化简为：$\dfrac{4-x}{x(x-2)^2}$
② 计算除数括号内的分式减法：
$\dfrac{4}{x} -1 = \dfrac{4 - x}{x}$
③ 除法转化为乘法，约分：
$原式=\dfrac{4-x}{x(x-2)^2} × \dfrac{x}{4-x} = \dfrac{1}{(x-2)^2}$（注：此时需满足$x≠0,x≠2,x≠4$，分式才有意义）
2. 解不等式$\dfrac{2x-5}{3} \le x-3$：
两边同乘3得：$2x -5 \le 3x -9$
移项合并同类项得：$-x \le -4$
系数化为1得：$x \ge 4$
因此不等式的最小整数解为$x=4$
3. 代入验证：
当$x=4$时，除数$\dfrac{4}{x}-1=0$，原式无意义。
【答案】
原式化简为$\dfrac{1}{(x-2)^2}$，不等式的最小整数解为$x=4$，此时原式无意义，故原式的值不存在。
【知识点】
分式的化简求值，一元一次不等式的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与不等式的综合题，易错点是求出整数解后直接代入计算，忽略了分式有意义的前提，即原分式的所有分母、除数不能为0，解题时要养成求值前先检验的习惯。
【难度系数】
0.6
6.先化简,再求值:$(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})÷\dfrac{2y}{x^2+2xy+y^2}$,
其中$x,y$满足方程组$\begin{cases}2x-y=4, \\x+y=5.\end{cases}$
其中$x,y$满足方程组$\begin{cases}2x-y=4, \\x+y=5.\end{cases}$
答案
6.解：原式$=\dfrac{x+y}{x-y}$. 解方程组$\begin{cases}2x-y=4,\\x+y=5,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=2.\end{cases}$所以当$x=3,y=2$时,原式$=\dfrac{x+y}{x-y}=5$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值结合解二元一次方程组的题型，解题分两步推进：第一步先处理分式运算，先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分得到最简分式；第二步用加减消元法解二元一次方程组求出x、y的取值，代入最简分式计算即可得到最终结果。
【解析】
首先化简分式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x+y}{(x-y)(x+y)}-\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}]÷\frac{2y}{(x+y)^2}\\&=\frac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)}×\frac{(x+y)^2}{2y}\\&=\frac{2y}{(x-y)(x+y)}×\frac{(x+y)^2}{2y}\\&=\frac{x+y}{x-y}\end{aligned}$
接下来解方程组$\begin{cases}2x-y=4&①\\x+y=5&②\end{cases}$：
将①+②消去y，得$3x=9$，解得$x=3$；
把$x=3$代入②，得$3+y=5$，解得$y=2$。
最后将$x=3,y=2$代入化简后的式子计算：
$\frac{3+2}{3-2}=5$
【答案】
$5$
【知识点】
分式的混合运算，解二元一次方程组，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础计算类题型，重点考察分式运算规则和二元一次方程组的解法，解题时要注意通分、约分的符号及计算准确性，代入求值前可验证分母不为0，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值结合解二元一次方程组的题型，解题分两步推进：第一步先处理分式运算，先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分得到最简分式；第二步用加减消元法解二元一次方程组求出x、y的取值，代入最简分式计算即可得到最终结果。
【解析】
首先化简分式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x+y}{(x-y)(x+y)}-\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}]÷\frac{2y}{(x+y)^2}\\&=\frac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)}×\frac{(x+y)^2}{2y}\\&=\frac{2y}{(x-y)(x+y)}×\frac{(x+y)^2}{2y}\\&=\frac{x+y}{x-y}\end{aligned}$
接下来解方程组$\begin{cases}2x-y=4&①\\x+y=5&②\end{cases}$：
将①+②消去y，得$3x=9$，解得$x=3$；
把$x=3$代入②，得$3+y=5$，解得$y=2$。
最后将$x=3,y=2$代入化简后的式子计算：
$\frac{3+2}{3-2}=5$
【答案】
$5$
【知识点】
分式的混合运算，解二元一次方程组，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础计算类题型，重点考察分式运算规则和二元一次方程组的解法，解题时要注意通分、约分的符号及计算准确性，代入求值前可验证分母不为0，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
