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4.（教材改编）运用完全平方公式计算：
(1)$(xy+4)^2$；
(2)$(a+1)^2 - a^2$；
(3)$198^2$；
(4)$19.9^2$。
(1)$(xy+4)^2$；
(2)$(a+1)^2 - a^2$；
(3)$198^2$；
(4)$19.9^2$。
答案
(1)原式=$x^2y^2+8xy+16$.
(2)原式=$a^2+2a+1-a^2=2a+1$.
(3)原式=$(200-2)^2=200^2-2 × 200 × 2+2^2=39204$.
(4)原式=$(20-0.1)^2=20^2-2 × 20 × 0.1+0.1^2=396.01$.
(2)原式=$a^2+2a+1-a^2=2a+1$.
(3)原式=$(200-2)^2=200^2-2 × 200 × 2+2^2=39204$.
(4)原式=$(20-0.1)^2=20^2-2 × 20 × 0.1+0.1^2=396.01$.
解析
【分析】
解题前先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，再根据题目特征选择对应解法：
1. 第(1)题是两个数和的平方，直接将$xy$看作公式里的$a$，4看作公式里的$b$，套用和的完全平方公式展开即可；
2. 第(2)题先将$(a+1)^2$用完全平方公式展开，再合并同类项化简；
3. 第(3)(4)题是接近整十、整百的数的平方计算，可先将原数拆成“整十/整百数±较小数”的形式，再套用完全平方公式简化计算，降低计算错误率。
【解析】
(1) 套用和的完全平方公式计算：
$\begin{aligned}(xy+4)^2&=(xy)^2 + 2· xy·4 + 4^2\\&=x^2y^2+8xy+16\end{aligned}$
(2) 先展开完全平方，再合并同类项：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - a^2&=(a^2+2a+1) - a^2\\&=2a+1\end{aligned}$
(3) 将198改写为$200-2$，再套用差的完全平方公式计算：
$\begin{aligned}198^2&=(200-2)^2\\&=200^2 - 2×200×2 + 2^2\\&=40000 - 800 + 4\\&=39204\end{aligned}$
(4) 将19.9改写为$20-0.1$，再套用差的完全平方公式计算：
$\begin{aligned}19.9^2&=(20-0.1)^2\\&=20^2 - 2×20×0.1 + 0.1^2\\&=400 - 4 + 0.01\\&=396.01\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^2y^2+8xy+16$
(2)$2a+1$
(3)$39204$
(4)$396.01$
【知识点】
完全平方公式，整式化简，简便运算
【点评】
本题围绕完全平方公式设置不同考查形式，既有直接套用公式的基础训练，也有结合凑整思想的简便计算，能帮助学生熟练掌握完全平方公式的结构特征，提升运算的准确性和灵活性。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，再根据题目特征选择对应解法：
1. 第(1)题是两个数和的平方，直接将$xy$看作公式里的$a$，4看作公式里的$b$，套用和的完全平方公式展开即可；
2. 第(2)题先将$(a+1)^2$用完全平方公式展开，再合并同类项化简；
3. 第(3)(4)题是接近整十、整百的数的平方计算，可先将原数拆成“整十/整百数±较小数”的形式，再套用完全平方公式简化计算，降低计算错误率。
【解析】
(1) 套用和的完全平方公式计算：
$\begin{aligned}(xy+4)^2&=(xy)^2 + 2· xy·4 + 4^2\\&=x^2y^2+8xy+16\end{aligned}$
(2) 先展开完全平方，再合并同类项：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - a^2&=(a^2+2a+1) - a^2\\&=2a+1\end{aligned}$
(3) 将198改写为$200-2$，再套用差的完全平方公式计算：
$\begin{aligned}198^2&=(200-2)^2\\&=200^2 - 2×200×2 + 2^2\\&=40000 - 800 + 4\\&=39204\end{aligned}$
(4) 将19.9改写为$20-0.1$，再套用差的完全平方公式计算：
$\begin{aligned}19.9^2&=(20-0.1)^2\\&=20^2 - 2×20×0.1 + 0.1^2\\&=400 - 4 + 0.01\\&=396.01\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^2y^2+8xy+16$
(2)$2a+1$
(3)$39204$
(4)$396.01$
【知识点】
完全平方公式，整式化简，简便运算
【点评】
本题围绕完全平方公式设置不同考查形式，既有直接套用公式的基础训练，也有结合凑整思想的简便计算，能帮助学生熟练掌握完全平方公式的结构特征，提升运算的准确性和灵活性。
【难度系数】
0.8
5.（韶关期末）先化简，再求值：$(a+4)^2 + 8a(a-1)$，其中$a=-1$。
答案
解：原式=$a^2+8a+16+8a^2-8a=9a^2+16$.
当$a=-1$时，原式=$9 × (-1)^2+16=25$.
当$a=-1$时，原式=$9 × (-1)^2+16=25$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，首先利用完全平方公式展开$(a+4)^2$，再用单项式乘多项式法则计算$8a(a-1)$，之后合并同类项得到最简整式；第二步将$a=-1$代入化简后的式子计算最终结果，先化简再求值可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先化简原式：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得$(a+4)^2=a^2+8a+16$；
根据单项式乘多项式法则，可得$8a(a-1)=8a^2-8a$；
因此原式$=a^2+8a+16+8a^2-8a$
合并同类项：$a^2+8a^2=9a^2$，$8a-8a=0$，化简后得$9a^2+16$。
再代入求值：当$a=-1$时，
原式$=9×(-1)^2+16=9×1+16=25$。
【答案】
$25$
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察整式基础运算法则的掌握情况，计算时要注意完全平方展开不要遗漏中间项，代入负数计算乘方时需注意符号处理。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，首先利用完全平方公式展开$(a+4)^2$，再用单项式乘多项式法则计算$8a(a-1)$，之后合并同类项得到最简整式；第二步将$a=-1$代入化简后的式子计算最终结果，先化简再求值可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先化简原式：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得$(a+4)^2=a^2+8a+16$；
根据单项式乘多项式法则，可得$8a(a-1)=8a^2-8a$；
因此原式$=a^2+8a+16+8a^2-8a$
合并同类项：$a^2+8a^2=9a^2$，$8a-8a=0$，化简后得$9a^2+16$。
再代入求值：当$a=-1$时，
原式$=9×(-1)^2+16=9×1+16=25$。
【答案】
$25$
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察整式基础运算法则的掌握情况，计算时要注意完全平方展开不要遗漏中间项，代入负数计算乘方时需注意符号处理。
【难度系数】
0.8
6. 已知$(x+2y)^2=10$，$(x-2y)^2=18$，则$xy$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
A
）.A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的展开形式，观察已知的两个等式都是完全平方式，将它们分别展开后，发现两个展开式中都含有$x^2$和$4y^2$项，将两个式子作差即可消去不含$xy$的项，得到仅含$xy$的一元一次方程，求解即可得到$xy$的值。
【解析】
解：根据完全平方公式将已知等式展开：
$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2=10$ ①
$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2=18$ ②
用①式减去②式，得：
$(x^2+4xy+4y^2)-(x^2-4xy+4y^2)=10-18$
化简左边：$x^2+4xy+4y^2-x^2+4xy-4y^2=8xy$
右边计算得：$-8$
即$8xy=-8$，解得$xy=-1$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，通过对两个完全平方式作差消去二次项，简化运算，熟练掌握完全平方公式的展开结构是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方公式的展开形式，观察已知的两个等式都是完全平方式，将它们分别展开后，发现两个展开式中都含有$x^2$和$4y^2$项，将两个式子作差即可消去不含$xy$的项，得到仅含$xy$的一元一次方程，求解即可得到$xy$的值。
【解析】
解：根据完全平方公式将已知等式展开：
$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2=10$ ①
$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2=18$ ②
用①式减去②式，得：
$(x^2+4xy+4y^2)-(x^2-4xy+4y^2)=10-18$
化简左边：$x^2+4xy+4y^2-x^2+4xy-4y^2=8xy$
右边计算得：$-8$
即$8xy=-8$，解得$xy=-1$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，通过对两个完全平方式作差消去二次项，简化运算，熟练掌握完全平方公式的展开结构是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
7. 如图，两个正方形的边长分别为a，b，若$a+b=10$，$ab=24$，则阴影部分的面积为
14
。答案
14
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，可采用割补法，用两个正方形的总面积减去两个空白直角三角形的面积得到阴影面积的代数式，再结合已知条件$a+b=10$、$ab=24$，利用完全平方公式变形后代入计算即可。
【解析】
阴影部分面积 = 两个正方形面积和 - 两个空白直角三角形面积：
1. 两个正方形面积和为$a^2+b^2$；
2. 大正方形内空白等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$；
3. 右下角底为$a+b$、高为$b$的空白直角三角形面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$。
因此阴影面积$S$为：
$\begin{aligned}S&=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
由完全平方公式变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a+b=10$，$ab=24$：
$a^2+b^2=10^2-2×24=52$
再代入阴影面积公式：
$S=\frac{1}{2}×(52-24)=14$
【答案】
14
【知识点】
完全平方公式，割补法求面积，代数式求值
【点评】
本题结合了几何面积计算和代数公式应用，解题核心是通过割补法将不规则面积转化为可计算的代数式，再利用完全平方公式的变形整体代入求解，体现了整体代换的思想，能很好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，可采用割补法，用两个正方形的总面积减去两个空白直角三角形的面积得到阴影面积的代数式，再结合已知条件$a+b=10$、$ab=24$，利用完全平方公式变形后代入计算即可。
【解析】
阴影部分面积 = 两个正方形面积和 - 两个空白直角三角形面积：
1. 两个正方形面积和为$a^2+b^2$；
2. 大正方形内空白等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$；
3. 右下角底为$a+b$、高为$b$的空白直角三角形面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$。
因此阴影面积$S$为：
$\begin{aligned}S&=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
由完全平方公式变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a+b=10$，$ab=24$：
$a^2+b^2=10^2-2×24=52$
再代入阴影面积公式：
$S=\frac{1}{2}×(52-24)=14$
【答案】
14
【知识点】
完全平方公式，割补法求面积，代数式求值
【点评】
本题结合了几何面积计算和代数公式应用，解题核心是通过割补法将不规则面积转化为可计算的代数式，再利用完全平方公式的变形整体代入求解，体现了整体代换的思想，能很好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8. 已知$x - y = 5$，$xy = -2$，求：
(1)$(x + y)^2$；
(2)$x^2 - xy + y^2$。
(1)$(x + y)^2$；
(2)$x^2 - xy + y^2$。
答案
(1)$\because x-y=5$，$xy=-2$，$\therefore (x+y)^2=(x-y)^2+4xy=5^2+4 × (-2)=25-8=17$.
(2)$\because x-y=5$，$xy=-2$，$\therefore x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy=5^2+(-2)=25-2=23$.
(2)$\because x-y=5$，$xy=-2$，$\therefore x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy=5^2+(-2)=25-2=23$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时先回忆完全平方公式的两种形式：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将待求式转化为含有已知条件$x-y$和$xy$的形式，再代入数值计算即可。
(1) 求$(x+y)^2$时，对比两个完全平方公式可推出变形公式$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，恰好包含已知的两个代数式，直接代入计算即可。
(2) 求$x^2-xy+y^2$时，可由$(x-y)^2$的展开式变形得到$x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy$，代入已知数值即可求解。
【解析】
(1) $\because x-y=5$，$xy=-2$，
$\therefore (x+y)^2=(x-y)^2+4xy=5^2+4×(-2)=25-8=17$。
(2) $\because x-y=5$，$xy=-2$，
$\therefore x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy=5^2+(-2)=25-2=23$。
【答案】
(1) $\boxed{17}$；(2) $\boxed{23}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解题的核心，整体计算量小，掌握变形规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时先回忆完全平方公式的两种形式：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将待求式转化为含有已知条件$x-y$和$xy$的形式，再代入数值计算即可。
(1) 求$(x+y)^2$时，对比两个完全平方公式可推出变形公式$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，恰好包含已知的两个代数式，直接代入计算即可。
(2) 求$x^2-xy+y^2$时，可由$(x-y)^2$的展开式变形得到$x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy$，代入已知数值即可求解。
【解析】
(1) $\because x-y=5$，$xy=-2$，
$\therefore (x+y)^2=(x-y)^2+4xy=5^2+4×(-2)=25-8=17$。
(2) $\because x-y=5$，$xy=-2$，
$\therefore x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy=5^2+(-2)=25-2=23$。
【答案】
(1) $\boxed{17}$；(2) $\boxed{23}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解题的核心，整体计算量小，掌握变形规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 有两类正方形A，B，其边长分别为a，b.现将B放在A的内部得到图①；将A，B并列放置后构造新的正方形得到图②.已知图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12.
(1)根据图①和图②，可以得到$(a-b)^2=$
(2)小明想要拼一个两边长分别为$2a+b$和$a+3b$的长方形(不重不漏)，除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形
(3)将3个正方形A和2个正方形B按如图③所示的方式摆放，求阴影部分的面积.
(1)根据图①和图②，可以得到$(a-b)^2=$
1
，$ab=$6
；(2)小明想要拼一个两边长分别为$2a+b$和$a+3b$的长方形(不重不漏)，除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形
7
个；(3)将3个正方形A和2个正方形B按如图③所示的方式摆放，求阴影部分的面积.
答案
(1)1 6
(2)7
(3)解：$\because (a-b)^2=1$，且$a＞b$，
$\therefore a-b=1$. $\because (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=1+4 × 6=25$，且$a＞b＞0$，$\therefore a+b=5$. 联立$\begin{cases}a-b=1,\\a+b=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=2.\end{cases}$ $\therefore S_{阴影}=(2a+b)^2-3a^2-2b^2=4a^2+4ab+b^2-3a^2-2b^2=a^2+4ab-b^2=3^2+4 × 6-2^2=29$.
(2)7
(3)解：$\because (a-b)^2=1$，且$a＞b$，
$\therefore a-b=1$. $\because (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=1+4 × 6=25$，且$a＞b＞0$，$\therefore a+b=5$. 联立$\begin{cases}a-b=1,\\a+b=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=2.\end{cases}$ $\therefore S_{阴影}=(2a+b)^2-3a^2-2b^2=4a^2+4ab+b^2-3a^2-2b^2=a^2+4ab-b^2=3^2+4 × 6-2^2=29$.
解析
【分析】
(1) 观察图①，阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，其面积已知为1，可直接得到$(a-b)^2$的值；观察图②，新构造的大正方形边长为$(a+b)$，阴影面积等于大正方形面积减去正方形A、B的面积，化简后可结合阴影面积为12求出$ab$的值。
(2) 先计算长为$2a+b$、宽为$a+3b$的长方形面积，将多项式展开后，$ab$项的系数就是所需以$a,b$为边的长方形的个数。
(3) 先根据(1)的结论，利用完全平方公式的变形求出$a+b$的值，联立$a-b=1$解出$a、b$的取值；再观察图③，阴影面积等于边长为$2a+b$的大正方形面积减去3个正方形A和2个正方形B的面积，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 图①中阴影为边长$(a-b)$的正方形，面积为1，因此$(a-b)^2=1$；
图②中大正方形边长为$(a+b)$，阴影面积为：$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab=12$，解得$ab=6$。
(2) 计算目标长方形面积：
$\begin{aligned}(2a+b)(a+3b)&=2a^2+6ab+ab+3b^2\\&=2a^2+7ab+3b^2\end{aligned}$
其中$ab$项系数为7，即需要以$a,b$为边的长方形7个。
(3) $\because (a-b)^2=1$，且$a＞b$，$\therefore a-b=1$。
由完全平方公式变形得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=1+4×6=25$，
$\because a＞b＞0$，$\therefore a+b=5$。
联立$\begin{cases}a-b=1\\a+b=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}$。
图③中阴影面积为大正方形面积减去3个A、2个B的面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(2a+b)^2-3a^2-2b^2\\&=4a^2+4ab+b^2-3a^2-2b^2\\&=a^2+4ab-b^2\end{aligned}$
代入$a=3,b=2,ab=6$得：
$S_{阴影}=3^2+4×6-2^2=9+24-4=29$。
【答案】
(1) $1$；$6$
(2) $7$
(3) $29$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，面积法的应用
【点评】
本题结合几何图形考查整式乘法的实际应用，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，理解图形面积和整式运算的对应关系，是数形结合思想的典型应用题型。
【难度系数】
0.65
(1) 观察图①，阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，其面积已知为1，可直接得到$(a-b)^2$的值；观察图②，新构造的大正方形边长为$(a+b)$，阴影面积等于大正方形面积减去正方形A、B的面积，化简后可结合阴影面积为12求出$ab$的值。
(2) 先计算长为$2a+b$、宽为$a+3b$的长方形面积，将多项式展开后，$ab$项的系数就是所需以$a,b$为边的长方形的个数。
(3) 先根据(1)的结论，利用完全平方公式的变形求出$a+b$的值，联立$a-b=1$解出$a、b$的取值；再观察图③，阴影面积等于边长为$2a+b$的大正方形面积减去3个正方形A和2个正方形B的面积，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 图①中阴影为边长$(a-b)$的正方形，面积为1，因此$(a-b)^2=1$；
图②中大正方形边长为$(a+b)$，阴影面积为：$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab=12$，解得$ab=6$。
(2) 计算目标长方形面积：
$\begin{aligned}(2a+b)(a+3b)&=2a^2+6ab+ab+3b^2\\&=2a^2+7ab+3b^2\end{aligned}$
其中$ab$项系数为7，即需要以$a,b$为边的长方形7个。
(3) $\because (a-b)^2=1$，且$a＞b$，$\therefore a-b=1$。
由完全平方公式变形得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=1+4×6=25$，
$\because a＞b＞0$，$\therefore a+b=5$。
联立$\begin{cases}a-b=1\\a+b=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}$。
图③中阴影面积为大正方形面积减去3个A、2个B的面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(2a+b)^2-3a^2-2b^2\\&=4a^2+4ab+b^2-3a^2-2b^2\\&=a^2+4ab-b^2\end{aligned}$
代入$a=3,b=2,ab=6$得：
$S_{阴影}=3^2+4×6-2^2=9+24-4=29$。
【答案】
(1) $1$；$6$
(2) $7$
(3) $29$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，面积法的应用
【点评】
本题结合几何图形考查整式乘法的实际应用，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，理解图形面积和整式运算的对应关系，是数形结合思想的典型应用题型。
【难度系数】
0.65
