4. 学校原有一块面积是$500 m^2$的长方形场地,现将一边增加10 m,另一边减少10 m,其面积增加了60%,则现在场地的长和宽分别是.

1. 设原来长方形场地的长为$x m$，则宽为$\frac{500}{x}m$：
现在长方形场地的长为$(x + 10)m$，宽为$(\frac{500}{x}-10)m$。
根据现在面积增加了$60\%$，可列方程：$(x + 10)(\frac{500}{x}-10)=500×(1 + 60\%)$。
2. 展开方程左边：
利用多项式乘法法则$(a + b)(c - d)=ac - ad+bc - bd$，则$(x + 10)(\frac{500}{x}-10)=x×\frac{500}{x}-10x + 10×\frac{500}{x}-10×10$。
即$500-10x+\frac{5000}{x}-100$。
方程变为$500-10x+\frac{5000}{x}-100 = 500×1.6$。
化简得$400-10x+\frac{5000}{x}=800$。
方程两边同时乘以$x$（$x\neq0$）去分母得：$400x-10x^{2}+5000 = 800x$。
移项得$10x^{2}+400x - 5000 = 0$。
两边同时除以$10$得$x^{2}+40x - 500 = 0$。
3. 求解一元二次方程$x^{2}+40x - 500 = 0$：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 40$，$c=-500$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(40)^{2}-4×1×(-500)=1600 + 2000 = 3600$。
则$x=\frac{-40\pm\sqrt{3600}}{2×1}=\frac{-40\pm60}{2}$。
当$x=\frac{-40 + 60}{2}$时，$x = 10$；当$x=\frac{-40-60}{2}$时，$x=-50$（因为长方形的长不能为负，舍去）。
4. 求现在场地的长和宽：
原来长$x = 50m$，原来宽$\frac{500}{x}=10m$。
现在长：$x + 10=50 + 10 = 60m$，现在宽：$\frac{500}{x}-10=10 - 10 = 40m$。
所以现在场地的长和宽分别是$60m$和$40m$。

1. 如图4,在宽为20米,长为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路,余下部分作为耕地. 若耕地面积需要532米$^2,$求道路的路宽应为多少米.

【解析】：本题考查一元二次方程实际应用题中的面积问题，通过平移道路，将耕地部分拼成一个新的矩形，利用矩形面积公式列出方程求解，同时要检验所得的解是否符合实际情况。
设道路的路宽为$x$米。
将道路平移到矩形的边缘，那么耕地的长为$(30 - 2x)$米，宽为$(20 - x)$米。
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，已知耕地面积需要$532$平方米，可列出方程$(30 - 2x)(20 - x) = 532$。
展开括号得$600 - 30x - 40x + 2x^2 = 532$。
移项、合并同类项化为一元二次方程的一般形式为$2x^2 - 70x + 68 = 0$，两边同时除以$2$得$x^2 - 35x + 34 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = -35$，$c = 34$，可使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$求解，也可因式分解为$(x - 1)(x - 34) = 0$，则$x - 1 = 0$或$x - 34 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 34$。
因为道路宽不能超过矩形的宽$20$米，而$34＞20$，所以$x_2 = 34$不符合题意，舍去。
【答案】：道路的路宽应为$1$米。

2. 如图5,把长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积;
(2)当a= 6,b= 4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.

【解析】：
(1)要求用含$a$,$b$,$x$的代数式表示纸片剩余部分的面积，需要先求出原矩形的面积，再求出四个小正方形的面积，原矩形面积减去四个小正方形面积即为所求的剩余部分的面积。
原矩形面积为$S = a× b=ab$。
四个小正方形面积：每个小正方形边长为$x$，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，则一个小正方形面积为$x^2$，四个小正方形面积为$4x^2$。
所以剩余部分面积$S_{剩}=ab - 4x^2$。
(2)已知$a = 6$，$b = 4$，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积。
剪去部分是四个边长为$x$的正方形，其面积为$4x^2$，剩余部分面积为$ab - 4x^2$，由剪去部分的面积等于剩余部分的面积可列方程：
$4x^2=ab - 4x^2$。
把$a = 6$，$b = 4$代入方程得$4x^2=6×4 - 4x^2$。
然后求解这个方程：
移项可得$4x^2+ 4x^2=24$，
合并同类项得$8x^2=24$，
两边同时除以$8$得$x^2=3$，
开平方得$x=\pm\sqrt{3}$，
因为边长不能为负，则$x = \sqrt{3}$。
【答案】：
(1)$S_{剩}=ab - 4x^2$
(2)$x = \sqrt{3}$

3. 为了方便居民收取快递,某小区计划在小区内每个街区的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点,如图6. 该快递投放点的一边靠墙,这堵墙的长为10米,在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门. 已知围建投放点所需的板材为14米,这个快递集中投放点的长和宽分别是多少米?

解：设垂直于墙的一边长为$x$米，因为两道门共宽$1.5×2 = 3$米，所以平行于墙的一边长为$(14 + 3 - 2x)$米，即$(17 - 2x)$米。
依题意，得$x(17 - 2x)=30$，
整理，得$2x^{2}-17x + 30 = 0$，
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=2.5$。
当$x = 6$时，$17 - 2x=17 - 12 = 5$，$5\lt10$，符合题意；
当$x = 2.5$时，$17 - 2x=17 - 5 = 12$，$12\gt10$，不符合题意，舍去。
答：这个快递集中投放点的长为$6$米，宽为$5$米。