例1 甲、乙二人玩一个游戏：依次向一个长方形桌子上放硬币,甲先放,乙再放,甲又放,乙再放……要求硬币不得覆盖,至桌面放不下为止,游戏结束。若甲放的硬币比乙多,则甲胜；若甲、乙所放的硬币一样多,则乙胜。同学们猜猜,谁会获胜？

分析：题目并没有说明桌子有多大,这就说明甲、乙的胜负与桌子的大小无关,于是,从极端情况考虑,假如桌子很小,仅能放下一枚硬币时,则甲胜。就此判断甲胜。
如果一张长方形桌子上能放下多枚硬币,那么,甲的第一枚硬币就放在长方形的两条对角线的交点——对称中心上,乙的硬币不论放在哪,甲的硬币都放在乙所放硬币的对称点上,这样,只要乙能放下一枚硬币,甲就能在相应的点上放下另一枚硬币；若乙放不下硬币,则甲也放不下硬币。而甲总比乙多一枚硬币。显然,甲必能胜。
如果长方形的桌子改为平行四边形的桌子,其结果依然是甲胜。甲获胜的策略就是很好地利用了平行四边形的对称性。

例2 如图1,$□ ABCD的对角线AC$,$BD交于O$点,过$O点的直线MN交AB于M$点,交$CD于N$点。求证：$OM= ON$。

分析：由平行四边形的性质,知$\angle OAM= \angle OCN$,$OA= OC$,又$\angle AOM= \angle CON$,
$\therefore \triangle AOM≌ \triangle CON$。$\therefore OM= ON$。