数学活动 6 探究 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ 取值的规律(教材变式)
分别求出当 $ x = - 3 , - 2 , - 1 , - \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } , 1 , 2 , 3 $ 时 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ 的值,并提出关于 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ 的值的一些猜想.
步骤 1 填表
1. 完成表格.

步骤 2 猜想
2. 由表知,当 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = 9 \frac { 1 } { 9 } $ 时,$ x $ 的值为______;当 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = 25 \frac { 1 } { 25 } $ 时,$ x $ 的值为______;
猜想:当 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = n ^ { 2 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 时,$ x $ 的值为______(用 $ n $ 表示).
步骤 3 证明
3. 解关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = n ^ { 2 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $.
步骤 4 运用
4. 已知当 $ x = m $ 和 $ x = m - 10 $ 时,分式 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ 的值相等,则 $ 10 m - m ^ { 2 } $ 的值是______.
步骤 5 拓展
5. 试说明 $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ 的值一定不小于 2.

$ 9 \frac{1}{9} $ $ 4 \frac{1}{4} $ $ 2 $ $ 4 \frac{1}{4} $ $ 9 \frac{1}{9} $ $ 9 \frac{1}{9} $ $ 4 \frac{1}{4} $ $ 2 $ $ 4 \frac{1}{4} $ $ 9 \frac{1}{9} $