1. 正方形 $ ABCD $ 在平面直角坐标系中的位置如图 9-2 所示,它的边长是 $ 4 $,则点 $ A $ 的坐标是()

A. $ (-4,4) $
B. $ (4,-4) $
C. $ (4,4) $
D. $ (-4,-4) $

A

2. 如图 9-3,将 $ 5 $ 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中。若顶点 $ M $,$ N $ 的坐标分别为 $ (3,9) $,$ (12,9) $,则顶点 $ A $ 的坐标为()

A. $ (5,1) $
B. $ (12,3) $
C. $ (3,15) $
D. $ (15,3) $

D

3. 如图 9-4,正方形 $ ABCD $ 由 $ 25 $ 个边长相等的小正方形组成,将此网格放到平面直角坐标系中,若点 $ E $,$ F $ 的坐标分别是 $ (-1,0) $,$ (2,2) $,则点 $ H $ 的坐标是______。

(3,−1)

4. 如图 9-5,在以点 $ O $ 为原点的平面直角坐标系中,点 $ A $,$ B $ 的坐标分别为 $ (a,0) $,$ (a,b) $,点 $ C $ 在 $ y $ 轴上,且 $ BC // x $ 轴,$ a $,$ b $ 满足 $ |a - 3|+\sqrt{b - 4}= 0 $。点 $ P $ 从原点出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度沿着 $ O - A - B - C - O $ 的路线运动(回到点 $ O $ 为止)。
(1) 求点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标。
(2) 当点 $ P $ 运动 $ 3s $ 时,连接 $ PC $,$ PO $,求出点 $ P $ 的坐标,并直接写出 $ \angle CPO $,$ \angle BCP $,$ \angle AOP $ 之间满足的数量关系。
(3) 点 $ P $ 运动 $ t s $ 后 $ (t \neq 0) $,是否存在点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ \frac{1}{2}t $ 个单位长度的情况？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

(1)∵ |a - 3| + $\sqrt{b - 4}$ = 0 且 |a - 3| ≥ 0，$\sqrt{b - 4}$ ≥ 0，
　　∴ |a - 3| = 0，$\sqrt{b - 4}$ = 0。
　　∴ a = 3，b = 4。
　　∴ A(3,0)，B(3,4)，C(0,4)。
　　(2)如图，当点P运动3s时，点P运动了6个单位长度。
　　∵ AO = 3，
　　∴ 点P运动3s时，点P在线段AB上，且AP = 3。
　　∴ 点P的坐标是(3,3)。
　　如图，过点P作PE//AO交y轴于点E；
　　∵ CB//AO，PE//AO，
　　∴ CB//PE；
　　∴ ∠BCP = ∠EPC，∠AOP = ∠EPO。
　　
　　∴ ∠CPO = ∠BCP + ∠AOP。
　　(3)存在。∵ t≠0，
　　∴ 点P可能运动到AB或BC或OC上。
　　①当点P运动到AB上时，3≤2t≤7，即$\frac{3}{2}$≤t≤$\frac{7}{2}$，PA = 2t - OA = 2t - 3，
　　∴ 2t - 3 = $\frac{1}{2}$t。解得t = 2。
　　∴ PA = 2×2 - 3 = 1。
　　∴ 点P的坐标为(3,1)。
　　②当点P运动到BC(不含端点B)上时，7＜2t≤10，即$\frac{7}{2}$＜t≤5。
　　∵ 点P到x轴的距离为4，
　　∴ $\frac{1}{2}$t = 4。解得t = 8。
　　∵ $\frac{7}{2}$＜t≤5，
　　∴ 此种情况不符合题意。
　　③当点P运动到OC(不含端点C)上时，10＜2t≤14，即5＜t≤7。
　　∵ PO = OA + AB + BC + OC - 2t = 14 - 2t，
　　∴ 14 - 2t = $\frac{1}{2}$t。解得t = $\frac{28}{5}$。
　　∴ PO = 14 - 2×$\frac{28}{5}$ = $\frac{14}{5}$。
　　∴ 点P的坐标为(0,$\frac{14}{5}$)。
　　综上所述，点P运动ts后(t≠0)，存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}$t个单位长度的情况，此时点P的坐标为(3,1)或(0,$\frac{14}{5}$)。