12. 如图9.1 - 9所示，A、B两个圆柱体叠放在一起静置于水平桌面上，已知A、B的高度之比为1∶2，底面积之比为2∶3，若A对B的压强与B对桌面的压强相等，求这两个圆柱体的密度之比。

12. 解 根据$F = pS$，A对B的压强与B对桌面的压强相等，A、B底面积之比为$2:3$，可得A对B的压力与B对桌面的压力之比为$2:3$，即$G_{A}:(G_{A}+G_{B}) = 2:3$，$G_{A}:G_{B} = 2:1$，所以$m_{A}:m_{B} = 2:1$；又因为$V_{A}:V_{B} = 1:3$，所以$\rho_{A}:\rho_{B} = 6:1$。

解：设A对B的压强为$p_A$，B对桌面的压强为$p_B$，已知$p_A = p_B$。
由$p = \frac{F}{S}$得$F = pS$，则A对B的压力$F_A = p_A S_A$，B对桌面的压力$F_B = p_B S_B$。
因为$p_A = p_B$，且$S_A:S_B = 2:3$，所以$F_A:F_B = S_A:S_B = 2:3$。
又因为$F_A = G_A$，$F_B = G_A + G_B$，故$G_A:(G_A + G_B) = 2:3$，解得$G_A:G_B = 2:1$。
由$G = mg$得$m_A:m_B = G_A:G_B = 2:1$。
已知$h_A:h_B = 1:2$，$S_A:S_B = 2:3$，体积$V = Sh$，则$V_A:V_B = (S_A h_A):(S_B h_B) = (2×1):(3×2) = 1:3$。
由$\rho = \frac{m}{V}$得$\rho_A:\rho_B = \frac{m_A}{V_A}:\frac{m_B}{V_B} = \frac{m_A}{m_B}×\frac{V_B}{V_A} = \frac{2}{1}×\frac{3}{1} = 6:1$。
答：这两个圆柱体的密度之比为$6:1$。