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5. 不等式组$\begin{cases}3x-1≥ x+1\\x+4＞4x-2\end{cases}$的解集是 ( )
A.$1≤ x＜2$
B.$x≤1$
C.$x＞2$
D.$1＜ x≤2$
A.$1≤ x＜2$
B.$x≤1$
C.$x＞2$
D.$1＜ x≤2$
答案
A
解析
1. 解不等式$3x-1≥ x+1$：移项得$2x≥2$，解得$x≥1$；
2. 解不等式$x+4＞4x-2$：移项得$-3x＞-6$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得$x＜2$；
3. 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$1≤ x＜2$。
2. 解不等式$x+4＞4x-2$：移项得$-3x＞-6$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得$x＜2$；
3. 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$1≤ x＜2$。
6. 将一副直角三角板按如图方式摆放,若直线$a// b$,则$∠ 1$的大小为 ()
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$
答案
C
解析
因为直线$a// b$，根据平行线的性质，同旁内角互补，可得$∠1 + 45° + 60° = 180°$，计算得$∠1 = 180° - 45° - 60° = 75°$。
7. 已知关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=8k\\x-y=4k\end{cases}$的解也是方程$x+3y=12$的解,那么k的值是 ( )
A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.-1
D.$-\frac{3}{4}$
A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.-1
D.$-\frac{3}{4}$
答案
A
解析
1. 解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=8k\\x-y=4k\end{cases}$：
将两个方程相加，得$2x=12k$，解得$x=6k$；
将$x=6k$代入$x+y=8k$，得$6k+y=8k$，解得$y=2k$。
2. 把$x=6k$，$y=2k$代入方程$x+3y=12$，得$6k+3×2k=12$，
化简得$12k=12$，解得$k=1$。
将两个方程相加，得$2x=12k$，解得$x=6k$；
将$x=6k$代入$x+y=8k$，得$6k+y=8k$，解得$y=2k$。
2. 把$x=6k$，$y=2k$代入方程$x+3y=12$，得$6k+3×2k=12$，
化简得$12k=12$，解得$k=1$。
8. 若关于x的不等式组$\begin{cases}2x+3＞12\\x-a≤0\end{cases}$恰有3个整数解,则实数a的取值范围是 ( )
A.$7＜ a＜8$
B.$7＜ a≤8$
C.$7≤ a＜8$
D.$7≤ a≤8$
A.$7＜ a＜8$
B.$7＜ a≤8$
C.$7≤ a＜8$
D.$7≤ a≤8$
答案
C
解析
1. 解不等式$2x+3＞12$，移项得$2x＞9$，解得$x＞4.5$；
2. 解不等式$x-a≤0$，解得$x≤a$；
3. 因此不等式组的解集为$4.5＜x≤a$；
4. 因为不等式组恰有3个整数解，即5、6、7，所以$a$的取值范围是$7≤a＜8$。
2. 解不等式$x-a≤0$，解得$x≤a$；
3. 因此不等式组的解集为$4.5＜x≤a$；
4. 因为不等式组恰有3个整数解，即5、6、7，所以$a$的取值范围是$7≤a＜8$。
9. 一个两位数,把其十位数字与个位数字交换位置后,所得的数比原数多9,则这样的两位数的个位数字与十位数字的差是 ()
A.0
B.1
C.2
D.9
A.0
B.1
C.2
D.9
答案
B
解析
设原两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则原数为$10a+b$，交换位置后的数为$10b+a$。根据题意列方程：$(10b+a)-(10a+b)=9$，化简得$9(b-a)=9$，解得$b-a=1$，即个位数字与十位数字的差是1。
10. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2)$,点P,Q同时从点A出发,沿长方形ABCD的边作环绕运动,点P按逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动,点Q按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动,则第2024秒P,Q两点相遇地点的坐标是 ()
A.$(-1,-1)$
B.$(1,-1)$
C.$(0,-2)$
D.$(-1,1)$
A.$(-1,-1)$
B.$(1,-1)$
C.$(0,-2)$
D.$(-1,1)$
答案
B
解析
1. 计算长方形周长：由点坐标得$AB=2$，$BC=3$，周长为$2×(2+3)=10$。
2. 计算相遇次数：P、Q相对速度为$2+3=5$单位/秒，每次相遇时间为$10÷5=2$秒，2024秒共相遇$2024÷2=1012$次。
3. 计算P总路程：每次相遇P走$2×2=4$单位，1012次共走$4×1012=4048$单位。
4. 确定剩余路程：$4048÷10=404$余$8$，即从A点逆时针走8单位。
5. 确定相遇点：从A出发，经$AB(2)\to BC(3)\to CD(2)$共走7单位，再沿DA走1单位，到达$(1,-1)$。
2. 计算相遇次数：P、Q相对速度为$2+3=5$单位/秒，每次相遇时间为$10÷5=2$秒，2024秒共相遇$2024÷2=1012$次。
3. 计算P总路程：每次相遇P走$2×2=4$单位，1012次共走$4×1012=4048$单位。
4. 确定剩余路程：$4048÷10=404$余$8$，即从A点逆时针走8单位。
5. 确定相遇点：从A出发，经$AB(2)\to BC(3)\to CD(2)$共走7单位，再沿DA走1单位，到达$(1,-1)$。
二、填空题(每空3分,共15分)
11. 某校为开展"阳光体育"活动,组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动,制成了如图所示的扇形统计图.全校共有3000名学生,估计该学校选择篮球的学生有名.
11. 某校为开展"阳光体育"活动,组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动,制成了如图所示的扇形统计图.全校共有3000名学生,估计该学校选择篮球的学生有名.
答案
解：
3000×10% = 300（名）
答：估计该学校选择篮球的学生有300名。
3000×10% = 300（名）
答：估计该学校选择篮球的学生有300名。
12. 已知代数式$\frac{4a-1}{3}$的值小于2,则a的最大整数值是.
答案
1
解析
根据题意列不等式$\frac{4a-1}{3} ＜ 2$，两边同乘3得$4a - 1 ＜ 6$，移项得$4a ＜ 7$，解得$a ＜ \frac{7}{4}$，因此a的最大整数值是1。
13. 如图,$a// b$,已知直角三角形ABC中,B,C在直线a上,A在直线b上,$AB=3$,$AC=4$,$BC=5$,则点A到直线a的距离为.
答案
$\frac{12}{5}$（或2.4）
解析
因为△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，所以其面积$S=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×3×4=6$。设点A到直线a的距离为h，由于$a// b$，h是△ABC以BC为底的高，因此$S=\frac{1}{2}×BC×h$，即$\frac{1}{2}×5×h=6$，解得$h=\frac{12}{5}$（或2.4）。
