23.(9分)如图,直线 CD、EF 交于点 O,OA,OB 分别平分$∠COE$和$∠DOE$,已知$∠1+∠2=90^{\circ }$.
(1)若$∠2:∠3=2:5$,求$∠BOF$的度数;
(2)试判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由.

解：
(1) 因为OB平分∠DOE，所以∠DOE=2∠2。
因为直线CD与EF相交于点O，所以∠COE=∠3。
又∠DOE+∠COE=180°，
所以2∠2+∠3=180°。
由∠2:∠3=2:5，设∠2=2k，∠3=5k，代入得：
4k+5k=180°，
解得k=20°，
所以∠2=40°，∠3=100°。
因此∠BOF=∠2+∠3=40°+100°=140°。
(2) AB//CD，理由如下：
因为OA平分∠COE，所以∠AOC=∠1。
又∠1与∠AOC是内错角，且∠1=∠AOC，
所以AB//CD。

24.(11分)在综合与实践课上,老师让同学们以"一个含$30^{\circ }$的直角三角尺和两条平行线"为背景开展数学活动.已知两直线a,b,且$a// b$,直角三角尺 ABC 中,$∠BCA=90^{\circ },∠BAC$$=30^{\circ },∠ABC=60^{\circ }.$
(1)【操作发现】
如图1,当三角尺的顶点 B 在直线 b 上时,若$∠1=55^{\circ },$则$∠2=$°;
(2)【探索推理】
如图2,当三角尺的顶点 C 在直线 b 上时,请写出$∠1$与$∠2$间的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展应用】
如图3,把三角尺的顶点 B 放在直线 b 上且保持不动,旋转三角尺,点 A 始终在直线 BD(D 为直线 b 上一点)的上方,若存在$∠1=5∠CBD(∠CBD＜60^{\circ })$,请直接写出射线 BA 与直线 a 所夹锐角的度数.

解：
(1) 过点C作CD//a，
∵ a//b，∴ CD//b，
∴ ∠2=∠ACD，∠1=∠BCD，
∵ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴ ∠1+∠2=90°，
∵ ∠1=55°，
∴ ∠2=90°-55°=35°；
(2) ∠2 - ∠1=90°，理由如下：
过点C作CE//a，
∵ a//b，∴ CE//b，
∴ ∠1=∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∵ CE//a，∴ ∠2=∠ACE（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+∠1，
∴ ∠2=90°+∠1，即∠2 - ∠1=90°；
(3) 设∠CBD=x，则∠1=5x，
∵ ∠1+∠ABD=180°，∠ABD=60°±x，
① 当∠ABD=60°+x时，
5x+60°+x=180°，
解得x=20°，
则∠ABD=60°+20°=80°，
∵ a//b，
∴ 射线BA与直线a所夹锐角为80°；
② 当∠ABD=60°-x时，
5x+60°-x=180°，
解得x=30°，
则∠ABD=60°-30°=30°，
∵ a//b，
∴ 射线BA与直线a所夹锐角为30°；
综上，射线BA与直线a所夹锐角的度数为30°或80°。