1. 如图,半径为 5 的$\odot P$与 y 轴交于点$M(0,-4),N(0,-12)$,函数$y=\frac {k}{x}(x＜0)$的图象经过点 P,则 k 的值为.

24

设圆心P的坐标为(a,b)。因为M(0,-4)、N(0,-12)在y轴上，MN中点坐标为(0,(-4-12)/2)=(0,-8)。由于MN是圆的弦，圆心P在MN的垂直平分线上，MN为竖直线，其垂直平分线为水平线，故b=-8，即P(a,-8)。
圆半径为5，PM=5，由两点距离公式：√[(a-0)²+(-8+4)²]=5，即√(a²+16)=5，平方得a²=9，a=±3。因函数y=k/x(x＜0)过P，所以a=-3，P(-3,-8)。
将P(-3,-8)代入y=k/x，得-8=k/(-3)，解得k=24。

2. 如图,点 P 在双曲线$y=\frac {k}{x}(x＞0)$上,$\odot P$分别与两坐标轴相切于点 A,B,E 为 y 轴负半轴上的一点,过点 P 作$PF⊥PE$,交 x 轴于点 F. 若$OF-OE=6$,则 k 的值是.

9

设点$P(a,a)$（因$\odot P$与两坐标轴相切，横纵坐标相等），则$k = a^2$。设$E(0,-e)$，$F(f,0)$，$e＞0$，$f＞0$。
$PE$斜率：$\frac{-e - a}{0 - a}=\frac{e + a}{a}$，$PF$斜率：$\frac{0 - a}{f - a}=\frac{-a}{f - a}$。
因$PF⊥ PE$，斜率乘积为$-1$，即$\frac{e + a}{a}·\frac{-a}{f - a}=-1$，化简得$f = e + 2a$。
由$OF - OE = 6$，即$f - e = 6$，故$2a = 6$，$a = 3$，则$k = a^2 = 9$。

3. 如图,经过$B(2,0),C(6,0)$两点的$\odot H$与 y 轴的负半轴相切于点 A,双曲线$y=\frac {k}{x}(x＞0)$经过圆心 H,则 k 的值为.

-8√3

设圆心H的坐标为(4, m)（因为B(2,0)、C(6,0)的垂直平分线为x=4）。圆与y轴相切，半径r=4（圆心到y轴距离为4）。由HB=r得√[(4-2)²+m²]=4，解得m²=12，m=-2√3（圆与y轴负半轴相切，m＜0）。圆心H(4,-2√3)代入y=k/x，得-2√3=k/4，k=-8√3。

4. 如图,半径为 2 的$\odot M$与 x 轴的正半轴交于 A,B 两点,与 y 轴的正半轴相切于点 C,双曲线$y=\frac {k}{x}(x＞0)$经过圆心 M,连接 BC. 若$∠AMC=60^{\circ }$,求直线 BC 的解析式.

y=-√3/3 x + √3

连接MC，因⊙M与y轴相切于C，故MC⊥y轴，MC=2（半径），则M(2,b)，C(0,b)。∠AMC=60°，MA=MC=2，△AMC为等边三角形。过M作MD⊥x轴于D，D(2,0)，AD=2 - x_A。在Rt△MDA中，AD=MA·cos30°=2×(1/2)=1（∠AMD=30°），故A(1,0)。由勾股定理得MD=√(MA² - AD²)=√3，即b=√3，M(2,√3)，C(0,√3)。由垂径定理，D为AB中点，AD=1，故B(3,0)。设BC：y=mx+n，代入B(3,0)、C(0,√3)，得0=3m+√3，n=√3，解得m=-√3/3。