1. 如图,AB 为半圆O 的直径,点 F 在半圆上,点 P 在 AB 的延长线上,PC 与半圆相切于点 C,与 OF 的延长线相交于点 D,AC 与 OF 相交于点 E,且 DC=DE.
(1)求证:OD⊥AB;
(2)若 OA=2OE,DF=2,求 PB 的长.

1. （1）
证明：连接$OC$。
因为$PC$与半圆$O$相切于点$C$，所以$OC⊥ PC$，即$∠ OCD = 90^{\circ}$，则$∠ OCA+∠ DCE=90^{\circ}$。
因为$OA = OC$，所以$∠ OAC=∠ OCA$。
又因为$DC = DE$，所以$∠ DCE=∠ DEC$。
而$∠ DEC=∠ AEO$，所以$∠ OAC+∠ AEO = 90^{\circ}$。
在$△ AOE$中，$∠ AOE=180^{\circ}-(∠ OAC + ∠ AEO)=90^{\circ}$，所以$OD⊥ AB$。
2. （2）
设$OE=x$，因为$OA = 2OE$，所以$OA = OC=2x$。
因为$OD⊥ AB$，$∠ OCD = 90^{\circ}$，所以$∠ AOE=∠ OCD = 90^{\circ}$。
又$∠ OEA=∠ DEC=∠ DCE$，所以$△ AOE∼△ OCD$。
根据相似三角形的性质$\frac{OE}{CD}=\frac{OA}{OC + OD}$，因为$DC = DE$，$OD=OE + DE+DF=x + DC+2$。
由$△ AOE∼△ OCD$可得$\frac{OE}{DC}=\frac{OA}{OC + OD}$，即$\frac{x}{DC}=\frac{2x}{2x+(x + DC+2)}$。
又因为在$Rt△ OCD$中，根据勾股定理$OD^{2}=OC^{2}+CD^{2}$，$OD=x + DC+2$，$OC = 2x$，即$(x + DC+2)^{2}=(2x)^{2}+DC^{2}$。
展开$(x + DC+2)^{2}=(2x)^{2}+DC^{2}$得$x^{2}+2x(DC + 2)+(DC + 2)^{2}=4x^{2}+DC^{2}$，$x^{2}+2xDC+4x+DC^{2}+4DC + 4=4x^{2}+DC^{2}$，$2xDC+4x + 4DC+4 = 3x^{2}$。
由$\frac{x}{DC}=\frac{2x}{2x+(x + DC+2)}$，交叉相乘得$2x· DC=x(3x + DC+2)$，$2DC=3x + DC+2$，所以$DC=3x + 2$。
将$DC=3x + 2$代入$(x+(3x + 2)+2)^{2}=(2x)^{2}+(3x + 2)^{2}$。
$(4x + 4)^{2}=4x^{2}+9x^{2}+12x + 4$。
$16x^{2}+32x+16=13x^{2}+12x + 4$。
$16x^{2}-13x^{2}+32x-12x+16 - 4=0$。
$3x^{2}+20x + 12=0$，分解因式$(3x + 2)(x + 6)=0$，解得$x = 2$（$x=-\frac{2}{3}$舍去）。
所以$OE = 2$，$OA=OC = 4$，$OD=OE + DE+DF$，因为$DC = DE$，由$△ AOE∼△ OCD$，$\frac{OE}{DC}=\frac{OA}{OD}$，$DC = 6$，$OD=8$。
因为$∠ POC+∠ AOE = 180^{\circ}-∠ EOC = 90^{\circ}$，$∠ P+∠ POC=90^{\circ}$，所以$∠ P=∠ AOE$。
又$∠ OCP=∠ AOE = 90^{\circ}$，所以$△ POC∼△ PAO$。
根据相似三角形的性质$\frac{PO}{PA}=\frac{PC}{OA}=\frac{OC}{OP}$，设$PB=y$，则$PO=2 + y$，$PA=6 + y$。
由$\frac{OC}{OP}=\frac{OE}{OC}$（$△ AOE∼△ OCD$，$△ POC∼△ AOE$），$\frac{2x}{2x + y}=\frac{x}{2x}$（$x = 2$），即$\frac{4}{4 + y}=\frac{2}{4}$。
交叉相乘得$2(4 + y)=16$，$8+2y=16$，$2y = 8$，解得$y = 4$。
所以$PB$的长为$4$。

(1)连接OC，
∵PC切半圆O于C，
∴OC⊥PC，∠OCP=90°。设∠OAC=α，
∵OA=OC，
∴∠OCA=α，∠DCE=∠OCP - ∠OCA=90° - α。
∵DC=DE，
∴∠DEC=∠DCE=90° - α。
∵∠DEC=∠AEO（对顶角），在△AOE中，∠AOE=180° - ∠OAC - ∠AEO=180° - α - (90° - α)=90°，
∴OD⊥AB。
(2)设OE=x，
∵OA=2OE，
∴OA=2x，OF=OC=2x，OD=OF + DF=2x + 2。
∵OD⊥AB，E在OF上，
∴EF=OF - OE=2x - x=x，ED=EF + FD=x + 2。
∵DC=DE，
∴DC=DE=x + 2。在Rt△OCD中，OC² + CD²=OD²，即(2x)² + (x + 2)²=(2x + 2)²，解得x=4（x=0舍去）。
∴OA=8，OD=10，OE=4，ED=6，DC=6。
建立坐标系：O(0,0)，A(-8,0)，B(8,0)，D(0,10)，E(0,4)。AC过A(-8,0)，E(0,4)，方程为y=(1/2)x + 4。联立x² + y²=64，解得C(24/5,32/5)。PC过D(0,10)，C(24/5,32/5)，斜率为-3/4，方程为y=(-3/4)x + 10。令y=0，得P(40/3,0)。
∴PB=40/3 - 8=16/3。

2. 如图,AB,BC 为⊙O 的弦,∠ABC=45°,AD//OC 交 BC 的延长线于点 D.
(1)求证:AD 是⊙O 的切线;
(2)AB 交 OC 于点 E,若 AE=10,BE=6,求⊙O 的半径.

(1)见解析；(2)4√5

(1)连接OA，∵∠ABC=45°，∠ABC是弧AC所对圆周角，∴弧AC所对圆心角∠AOC=2∠ABC=90°。∵AD//OC，∴∠OAD+∠AOC=180°，∴∠OAD=180°-90°=90°，即OA⊥AD。∵OA是⊙O半径，∴AD是⊙O切线。
(2)设⊙O半径为r，OE=x，则OC=r，EC=r-x。∵∠AOC=90°，在Rt△AOE中，AE²=OA²+OE²，即10²=r²+x²…①。∵AD//OC，∴△BEC∽△BAD，∴BE/BA=EC/AD，AB=AE+BE=16，∴6/16=(r-x)/AD，AD=8(r-x)/3。在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²，又由AD//OC得∠EAO=∠D，∠AEO=∠BAD，可证△AOE∽△ABD，∴AO/AD=AE/AB，即r/AD=10/16，AD=8r/5。联立AD=8(r-x)/3和AD=8r/5，得8(r-x)/3=8r/5，解得x=2r/5。代入①：100=r²+(2r/5)²，100=29r²/25（此处修正：应为100=r²+(2r/5)²=25r²/25 +4r²/25=29r²/25错误，正确应为x=2r/5代入①：10²=r²+(2r/5)²→100=r²+4r²/25=29r²/25→r²=2500/29错误，重新用正弦定理：在△AEO中，∠AOE=90°，∠AEO=∠BEC，∠EBC=45°，由正弦定理AE/sin90°=OA/sin∠AEO，即10= r/sin∠AEO，sin∠AEO=r/10。在△BEC中，∠BEC=∠AEO，∠EBC=45°，∠BCE=∠OCB=θ，OB=OC=r，∠BOC=180°-2θ，∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+180°-2θ=270°-2θ。在△OAB中，AB=16，由余弦定理16²=2r²-2r²cos(270°-2θ)=2r²+2r²sin2θ，即128=r²(1+sin2θ)。又sin∠AEO=sin(135°-θ)=r/10，展开得(√2/2)(sinθ+cosθ)=r/10，平方得(1+sin2θ)=r²/50，代入128=r²*(r²/50)→r⁴=6400→r²=80→r=4√5。

3. (2025 齐齐哈尔中考)如图,△ABC 内接于⊙O,AB 为⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,连接 CD,且∠BCD=∠A,过点 B 作 BE⊥AD,交 CD 于点 E.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若 B 是 AD 的中点,且 BE=3,求⊙O 的半径.

(1)证明见解析；(2)9/2

(1)连接OC，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°。∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，又∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O切线。(2)设⊙O半径为r，则AB=2r，∵B是AD中点，∴AD=2AB=4r，BD=2r，OD=3r。∵BE⊥AD，∴∠EBD=90°=∠OCD，又∠D=∠D，∴△EBD∽△OCD，∴BE/OC=BD/OD，即3/r=2r/(3r)，解得r=9/2。