12.(7分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 5$,$AB$的垂直平分线$DE$交$AB$,$AC$于点$E$,$D$.
(1)若$\triangle BCD$的周长为$8$,求$BC$的长.
(2)若$BC = 4$,求$\triangle BCD$的周长.

(1)
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，
所以$AD = BD$，
$\triangle BCD$的周长为$BD + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC$，
已知$AC = 5$，$\triangle BCD$的周长为$8$，
所以$BC = 8 - 5 = 3$。
(2)
因为$AD = BD$，
$\triangle BCD$的周长为$BD + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC$，
已知$AC = 5$，$BC = 4$，
所以$\triangle BCD$的周长为$5 + 4 = 9$。

13.(8分)如图,在等边$\triangle ABC$中,点$P$在$\triangle ABC$内,点$Q$在$\triangle ABC$外,且$\angle ABP = \angle ACQ$,$BP = CQ$.问:$\triangle APQ$是什么形状的三角形?试说明你的结论.

$\triangle APQ$是等边三角形，证明如下：
$\because \triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore AB = AC$，$\angle BAC = 60°$。
在$\triangle ABP$与$\triangle ACQ$中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ \angle ABP = \angle ACQ, \\ BP = CQ. \end{cases}$
$\therefore \triangle ABP \cong \triangle ACQ$，
$\therefore AP = AQ$，$\angle BAP = \angle CAQ$，
$\therefore \angle BAP + \angle CAP = 60°$，
即$\angle PAQ = 60°$，
$\therefore \triangle APQ$是等边三角形。