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13.(8分)某一空间几何体的三视图如图所示,主视图由半径为$1$的半圆和高为$1$的矩形组成,左视图由半径为$1$的$\frac{1}{4}$圆和高为$1$的矩形组成,俯视图是半径为$1$的圆.求此几何体的体积.
答案
由三视图可知，该几何体由底面半径为1、高为1的圆柱体和半径为1的1/4球体组成。
1. 圆柱体体积：
圆柱体积公式 $ V_1 = \pi r^2 h $，其中 $ r = 1 $，$ h = 1 $。
$ V_1 = \pi × 1^2 × 1 = \pi $。
2. 1/4球体体积：
球体体积公式 $ V_{ 球} = \frac{4}{3} \pi r^3 $，1/4球体体积 $ V_2 = \frac{1}{4} V_{ 球} $，其中 $ r = 1 $。
$ V_2 = \frac{1}{4} × \frac{4}{3} \pi × 1^3 = \frac{\pi}{3} $。
3. 总体积：
$ V = V_1 + V_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $。
1. 圆柱体体积：
圆柱体积公式 $ V_1 = \pi r^2 h $，其中 $ r = 1 $，$ h = 1 $。
$ V_1 = \pi × 1^2 × 1 = \pi $。
2. 1/4球体体积：
球体体积公式 $ V_{ 球} = \frac{4}{3} \pi r^3 $，1/4球体体积 $ V_2 = \frac{1}{4} V_{ 球} $，其中 $ r = 1 $。
$ V_2 = \frac{1}{4} × \frac{4}{3} \pi × 1^3 = \frac{\pi}{3} $。
3. 总体积：
$ V = V_1 + V_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $。
解析
由三视图可知，该几何体由底面半径为1、高为1的圆柱体和半径为1的1/4球体组成。
1. 圆柱体体积：
圆柱体积公式 $ V_1 = \pi r^2 h $，其中 $ r = 1 $，$ h = 1 $。
$ V_1 = \pi × 1^2 × 1 = \pi $。
2. 1/4球体体积：
球体体积公式 $ V_{ 球} = \frac{4}{3} \pi r^3 $，1/4球体体积 $ V_2 = \frac{1}{4} V_{ 球} $，其中 $ r = 1 $。
$ V_2 = \frac{1}{4} × \frac{4}{3} \pi × 1^3 = \frac{\pi}{3} $。
3. 总体积：
$ V = V_1 + V_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $。
1. 圆柱体体积：
圆柱体积公式 $ V_1 = \pi r^2 h $，其中 $ r = 1 $，$ h = 1 $。
$ V_1 = \pi × 1^2 × 1 = \pi $。
2. 1/4球体体积：
球体体积公式 $ V_{ 球} = \frac{4}{3} \pi r^3 $，1/4球体体积 $ V_2 = \frac{1}{4} V_{ 球} $，其中 $ r = 1 $。
$ V_2 = \frac{1}{4} × \frac{4}{3} \pi × 1^3 = \frac{\pi}{3} $。
3. 总体积：
$ V = V_1 + V_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $。
14.(8分)如图,花丛中有一路灯杆$AB$,在灯光下,大华在点$D$处的影长$DE=3$m,沿$BD$方向行走到达点$G$,$DG=5$m,这时大华的影长$GH=4$m.如果大华的身高为$2$m,求路灯杆$AB$的高度.
答案
设大华身高为 $CD = 2$ 米， $FG = 2$ 米，影长 $DE = 3$ 米， $GH = 4$ 米， $DG = 5$ 米。
根据相似三角形性质，$\triangle ABE \sim \triangle CDE$。
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE}$，
$\frac{AB}{2} = \frac{BD + DE}{DE} = \frac{BD + 3}{3}$。
$\triangle ABH \sim \triangle FGH$。
$\frac{AB}{FG} = \frac{BH}{GH}$，
$\frac{AB}{2} = \frac{BG + GH}{GH} = \frac{BG + 4}{4}$，
其中 $BG = BD + DG = BD + 5$。
$\frac{BD + 3}{3} = \frac{BD + 5 + 4}{4}$，
$\frac{BD + 3}{3} = \frac{BD + 9}{4}$，
$4(BD + 3) = 3(BD + 9)$，
$4BD + 12 = 3BD + 27$，
$BD = 15 (米)$。
代入 $BD$ 的值，求 $AB$：
$\frac{AB}{2} = \frac{15 + 3}{3} = 6$，
$AB = 12 (米)$。
路灯杆 $AB$ 的高度为 $12$ 米。
根据相似三角形性质，$\triangle ABE \sim \triangle CDE$。
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE}$，
$\frac{AB}{2} = \frac{BD + DE}{DE} = \frac{BD + 3}{3}$。
$\triangle ABH \sim \triangle FGH$。
$\frac{AB}{FG} = \frac{BH}{GH}$，
$\frac{AB}{2} = \frac{BG + GH}{GH} = \frac{BG + 4}{4}$，
其中 $BG = BD + DG = BD + 5$。
$\frac{BD + 3}{3} = \frac{BD + 5 + 4}{4}$，
$\frac{BD + 3}{3} = \frac{BD + 9}{4}$，
$4(BD + 3) = 3(BD + 9)$，
$4BD + 12 = 3BD + 27$，
$BD = 15 (米)$。
代入 $BD$ 的值，求 $AB$：
$\frac{AB}{2} = \frac{15 + 3}{3} = 6$，
$AB = 12 (米)$。
路灯杆 $AB$ 的高度为 $12$ 米。
解析
设AB的高度为$ h $米，$ BD = x $米。
1. 在D点时，△ECD∽△EAB
$ CD = 2 \, m $，$ DE = 3 \, m $，$ BE = BD + DE = x + 3 $。
由相似三角形性质：$ \frac{CD}{AB} = \frac{DE}{BE} $，即$ \frac{2}{h} = \frac{3}{x + 3} $。①
2. 在G点时，△HFG∽△HAB
$ DG = 5 \, m $，$ GH = 4 \, m $，$ BH = BD + DG + GH = x + 5 + 4 = x + 9 $。
由相似三角形性质：$ \frac{FG}{AB} = \frac{GH}{BH} $，即$ \frac{2}{h} = \frac{4}{x + 9} $。②
3. 联立方程求解
由①②得：$ \frac{3}{x + 3} = \frac{4}{x + 9} $。
交叉相乘：$ 3(x + 9) = 4(x + 3) $，
解得$ x = 15 $。
代入①：$ \frac{2}{h} = \frac{3}{15 + 3} $，解得$ h = 12 $。
1. 在D点时，△ECD∽△EAB
$ CD = 2 \, m $，$ DE = 3 \, m $，$ BE = BD + DE = x + 3 $。
由相似三角形性质：$ \frac{CD}{AB} = \frac{DE}{BE} $，即$ \frac{2}{h} = \frac{3}{x + 3} $。①
2. 在G点时，△HFG∽△HAB
$ DG = 5 \, m $，$ GH = 4 \, m $，$ BH = BD + DG + GH = x + 5 + 4 = x + 9 $。
由相似三角形性质：$ \frac{FG}{AB} = \frac{GH}{BH} $，即$ \frac{2}{h} = \frac{4}{x + 9} $。②
3. 联立方程求解
由①②得：$ \frac{3}{x + 3} = \frac{4}{x + 9} $。
交叉相乘：$ 3(x + 9) = 4(x + 3) $，
解得$ x = 15 $。
代入①：$ \frac{2}{h} = \frac{3}{15 + 3} $，解得$ h = 12 $。
