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8. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC各点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A₁B₁C₁,再把△A₁B₁C₁平移后得到△A₂B₂C₂.若点B₂的坐标为(2,1),则点A₂的坐标为 (
A.(1,5)
B.(1,3)
C.(5,3)
D.(5,5)
B
)A.(1,5)
B.(1,3)
C.(5,3)
D.(5,5)
答案
8.B
解析
【分析】
解决本题分两步思考：①先依据“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律，求出点A、B关于x轴的对称点A₁、B₁的坐标；②由于平移变换中图形上所有点的平移方向和距离完全相同，结合已知的点B₂的坐标，先确定平移规则，再将该规则应用到A₁上，即可求出A₂的坐标。
【解析】
1. 求关于x轴对称的点的坐标：
关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数。
已知A(-2,1)，B(-1,3)，因此：
A₁的坐标为(-2, -1)，B₁的坐标为(-1, -3)。
2. 确定平移规则：
已知B₂的坐标为(2,1)，对比B₁(-1,-3)：
横坐标变化：$2 - (-1) = 3$，即向右平移3个单位；
纵坐标变化：$1 - (-3) = 4$，即向上平移4个单位。
平移规则为：横坐标加3，纵坐标加4。
3. 计算A₂的坐标：
将平移规则应用到A₁(-2,-1)：
横坐标：$-2 + 3 = 1$，纵坐标：$-1 + 4 = 3$，因此A₂的坐标为(1,3)。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的坐标规律；坐标与图形平移变换
【点评】
本题是坐标系中图形变换的基础题，核心考察轴对称和平移两种变换对应的坐标变化规律，解题的关键是抓住平移过程中所有点的平移规则一致的特点，通过已知点的坐标变化推导平移规律，进而求解未知点坐标。
【难度系数】
0.8
解决本题分两步思考：①先依据“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律，求出点A、B关于x轴的对称点A₁、B₁的坐标；②由于平移变换中图形上所有点的平移方向和距离完全相同，结合已知的点B₂的坐标，先确定平移规则，再将该规则应用到A₁上，即可求出A₂的坐标。
【解析】
1. 求关于x轴对称的点的坐标：
关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数。
已知A(-2,1)，B(-1,3)，因此：
A₁的坐标为(-2, -1)，B₁的坐标为(-1, -3)。
2. 确定平移规则：
已知B₂的坐标为(2,1)，对比B₁(-1,-3)：
横坐标变化：$2 - (-1) = 3$，即向右平移3个单位；
纵坐标变化：$1 - (-3) = 4$，即向上平移4个单位。
平移规则为：横坐标加3，纵坐标加4。
3. 计算A₂的坐标：
将平移规则应用到A₁(-2,-1)：
横坐标：$-2 + 3 = 1$，纵坐标：$-1 + 4 = 3$，因此A₂的坐标为(1,3)。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的坐标规律；坐标与图形平移变换
【点评】
本题是坐标系中图形变换的基础题，核心考察轴对称和平移两种变换对应的坐标变化规律，解题的关键是抓住平移过程中所有点的平移规则一致的特点，通过已知点的坐标变化推导平移规律，进而求解未知点坐标。
【难度系数】
0.8
9.已知点$P(x,y)$位于第四象限，并且$x≤ y+4(x,y$均为整数$)$，写出一个符合上述条件的点$P$的坐标：______.
答案
9.(1,-2)(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先要明确第四象限内点的坐标符号规律：横坐标为正，纵坐标为负，即x＞0，y＜0；再结合已知条件x≤y+4（x、y为整数），可以先任选一个小于0的整数y，计算出y+4的取值，再选择一个大于0且不超过y+4的整数x，就能得到符合要求的点P的坐标。
【解析】
∵点P(x,y)位于第四象限，
∴x＞0，y＜0，且x、y均为整数，
我们可以先取y=-2，此时y+4=-2+4=2，
只需取x为大于0且小于等于2的整数即可，例如取x=1，
验证可得1≤-2+4，满足条件x≤y+4，
因此点(1,-2)是符合条件的坐标，本题答案不唯一，如(1,-1)、(2,-1)等均正确。
【答案】
(1,-2)（答案不唯一）
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 不等式的整数解
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，核心考查对平面直角坐标系中各象限坐标符号的掌握，以及对不等式的简单应用，解题时先确定坐标的符号范围，再结合不等式选取合适的整数值即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确第四象限内点的坐标符号规律：横坐标为正，纵坐标为负，即x＞0，y＜0；再结合已知条件x≤y+4（x、y为整数），可以先任选一个小于0的整数y，计算出y+4的取值，再选择一个大于0且不超过y+4的整数x，就能得到符合要求的点P的坐标。
【解析】
∵点P(x,y)位于第四象限，
∴x＞0，y＜0，且x、y均为整数，
我们可以先取y=-2，此时y+4=-2+4=2，
只需取x为大于0且小于等于2的整数即可，例如取x=1，
验证可得1≤-2+4，满足条件x≤y+4，
因此点(1,-2)是符合条件的坐标，本题答案不唯一，如(1,-1)、(2,-1)等均正确。
【答案】
(1,-2)（答案不唯一）
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 不等式的整数解
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，核心考查对平面直角坐标系中各象限坐标符号的掌握，以及对不等式的简单应用，解题时先确定坐标的符号范围，再结合不等式选取合适的整数值即可。
【难度系数】
0.8
10.若点P关于x轴的对称点的坐标为$(2a + b, -a + 1)$，关于y轴的对称点的坐标为$(4 - b, b + 2)$，则$a - b =$
3
.答案
10.3
解析
【分析】
解题时首先要明确关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。我们可以先通过题目给出的两个对称点，分别表示出原点点P的坐标，由于P的坐标是唯一的，所以两种方式得到的P的横、纵坐标分别相等，由此列出二元一次方程组，求解得到a、b的值后，代入a-b计算即可。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$。
1. 根据关于x轴对称的点的坐标特征：
点P关于x轴的对称点为$(2a + b, -a + 1)$，因此可得：
$x=2a+b$，$y=-(-a+1)=a-1$
2. 根据关于y轴对称的点的坐标特征：
点P关于y轴的对称点为$(4 - b, b + 2)$，因此可得：
$x=-(4-b)=b-4$，$y=b+2$
3. 联立得到方程组：
$\begin{cases}2a + b = b - 4 \\a - 1 = b + 2 \end{cases}$
解第一个方程：两边消去$b$，得$2a=-4$，解得$a=-2$
将$a=-2$代入第二个方程：$-2 -1 = b + 2$，解得$b=-5$
4. 计算$a-b$：$a-b=-2 - (-5)=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 轴对称点的坐标规律
2. 二元一次方程组的解法
3. 代数式求值
【点评】
本题核心是利用坐标轴对称的点的坐标性质建立方程，解题的关键是熟练掌握不同轴对称下坐标的变化规则，通过等量关系列方程组求解，是对坐标对称性质和方程组应用的基础考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。我们可以先通过题目给出的两个对称点，分别表示出原点点P的坐标，由于P的坐标是唯一的，所以两种方式得到的P的横、纵坐标分别相等，由此列出二元一次方程组，求解得到a、b的值后，代入a-b计算即可。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$。
1. 根据关于x轴对称的点的坐标特征：
点P关于x轴的对称点为$(2a + b, -a + 1)$，因此可得：
$x=2a+b$，$y=-(-a+1)=a-1$
2. 根据关于y轴对称的点的坐标特征：
点P关于y轴的对称点为$(4 - b, b + 2)$，因此可得：
$x=-(4-b)=b-4$，$y=b+2$
3. 联立得到方程组：
$\begin{cases}2a + b = b - 4 \\a - 1 = b + 2 \end{cases}$
解第一个方程：两边消去$b$，得$2a=-4$，解得$a=-2$
将$a=-2$代入第二个方程：$-2 -1 = b + 2$，解得$b=-5$
4. 计算$a-b$：$a-b=-2 - (-5)=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 轴对称点的坐标规律
2. 二元一次方程组的解法
3. 代数式求值
【点评】
本题核心是利用坐标轴对称的点的坐标性质建立方程，解题的关键是熟练掌握不同轴对称下坐标的变化规则，通过等量关系列方程组求解，是对坐标对称性质和方程组应用的基础考查。
【难度系数】
0.7
11.已知点M的坐标为$(4 - a,2a - 5)$，且点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为
3或1
。答案
11.3或1
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确点到坐标轴距离的表示规则：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。题目中点M到两坐标轴距离相等，说明它的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，可列出等式$|4 - a| = |2a - 5|$。绝对值相等的两个数要么相等、要么互为相反数，因此分两种情况列一元一次方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ 点M到两坐标轴的距离相等
∴ 点M的横坐标绝对值与纵坐标绝对值相等，可得：
$|4 - a| = |2a - 5|$
分两种情况讨论：
情况1：两个代数式相等
$4 - a = 2a - 5$
移项合并同类项得：$3a = 9$
解得：$a = 3$
情况2：两个代数式互为相反数
$4 - a = -(2a - 5)$
去括号得：$4 - a = -2a + 5$
移项合并同类项得：$a = 1$
综上，a的值为3或1。
【答案】
3或1
【知识点】
点到坐标轴的距离；绝对值方程求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查点到坐标轴距离的代数表示，解题时容易因只考虑坐标相等的情况，忽略互为相反数的情况导致漏解，做题时需注意绝对值相等对应两种数量关系。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确点到坐标轴距离的表示规则：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。题目中点M到两坐标轴距离相等，说明它的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，可列出等式$|4 - a| = |2a - 5|$。绝对值相等的两个数要么相等、要么互为相反数，因此分两种情况列一元一次方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ 点M到两坐标轴的距离相等
∴ 点M的横坐标绝对值与纵坐标绝对值相等，可得：
$|4 - a| = |2a - 5|$
分两种情况讨论：
情况1：两个代数式相等
$4 - a = 2a - 5$
移项合并同类项得：$3a = 9$
解得：$a = 3$
情况2：两个代数式互为相反数
$4 - a = -(2a - 5)$
去括号得：$4 - a = -2a + 5$
移项合并同类项得：$a = 1$
综上，a的值为3或1。
【答案】
3或1
【知识点】
点到坐标轴的距离；绝对值方程求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查点到坐标轴距离的代数表示，解题时容易因只考虑坐标相等的情况，忽略互为相反数的情况导致漏解，做题时需注意绝对值相等对应两种数量关系。
【难度系数】
0.7
12. 如图，△ABC的顶点在同一平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，点B的坐标为(5,9)，AB=BC，AB⊥BC，则点C的坐标为
(10,7)
。答案
12.(10,7)
解析
【分析】
本题已知AB与BC垂直且长度相等，要求点C坐标，可通过构造“K型”全等三角形求解：首先过点A、C分别向过点B且平行于x轴的直线作垂线，得到两个直角三角形；利用垂直关系证明两个三角形全等，再根据A、B的坐标算出对应线段长度，即可推导得到C点坐标。
【解析】
解：过点B作直线$EF// x$轴，过点A作$AE⊥ EF$于点E，过点C作$CF⊥ EF$于点F。
则$∠ AEB=∠ BFC=90°$，
$\therefore∠ BAE+∠ ABE=90°$，
$\because AB⊥ BC$，$\therefore∠ ABC=90°$，
$\therefore∠ ABE+∠ CBF=90°$，
$\therefore∠ BAE=∠ CBF$。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ BFC \\∠ BAE=∠ CBF \\AB=BC\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ BCF(\mathrm{AAS})$。
已知$A(3,4)$，$B(5,9)$，
$\therefore$E点纵坐标为9，$AE=9-4=5$，$BE=5-3=2$。
由全等性质得：$BF=AE=5$，$CF=BE=2$，
$\therefore$F点横坐标为$5+5=10$，纵坐标为9，
$\therefore$C点横坐标为10，纵坐标为$9-2=7$，即$C(10,7)$。
【答案】
$(10,7)$
【知识点】
全等三角形判定与性质；平面直角坐标系；垂直的性质
【点评】
本题是坐标系中几何计算的典型题，核心是利用“垂直+等线段”的条件构造K型全等三角形，将坐标差转化为全等三角形的对应边长，进而求出未知点坐标，熟练掌握该构造方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
本题已知AB与BC垂直且长度相等，要求点C坐标，可通过构造“K型”全等三角形求解：首先过点A、C分别向过点B且平行于x轴的直线作垂线，得到两个直角三角形；利用垂直关系证明两个三角形全等，再根据A、B的坐标算出对应线段长度，即可推导得到C点坐标。
【解析】
解：过点B作直线$EF// x$轴，过点A作$AE⊥ EF$于点E，过点C作$CF⊥ EF$于点F。
则$∠ AEB=∠ BFC=90°$，
$\therefore∠ BAE+∠ ABE=90°$，
$\because AB⊥ BC$，$\therefore∠ ABC=90°$，
$\therefore∠ ABE+∠ CBF=90°$，
$\therefore∠ BAE=∠ CBF$。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ BFC \\∠ BAE=∠ CBF \\AB=BC\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ BCF(\mathrm{AAS})$。
已知$A(3,4)$，$B(5,9)$，
$\therefore$E点纵坐标为9，$AE=9-4=5$，$BE=5-3=2$。
由全等性质得：$BF=AE=5$，$CF=BE=2$，
$\therefore$F点横坐标为$5+5=10$，纵坐标为9，
$\therefore$C点横坐标为10，纵坐标为$9-2=7$，即$C(10,7)$。
【答案】
$(10,7)$
【知识点】
全等三角形判定与性质；平面直角坐标系；垂直的性质
【点评】
本题是坐标系中几何计算的典型题，核心是利用“垂直+等线段”的条件构造K型全等三角形，将坐标差转化为全等三角形的对应边长，进而求出未知点坐标，熟练掌握该构造方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
