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9.「2026江苏南京外国语学校淮安分校月考，★☆」如图，已知AB,CD是$\odot O$的弦，且$AB=CD$，若$∠ BOD=84°$,则$∠ ACO$的度数是 (
A.$48°$
B.$42°$
C.$44°$
D.$46°$
A
)A.$48°$
B.$42°$
C.$44°$
D.$46°$
答案
9.A 如图,连接OA.
∵AB = CD,
∴∠AOB = ∠COD,即∠BOD+∠AOD = ∠AOC+∠AOD,
∴∠AOC = ∠BOD = 84°,
∵OA = OC,
∴∠ACO = 1/2(180°-∠AOC) = 1/2×(180°-84°) = 48°.
故选A.
解析
【分析】
解题时首先利用同圆中弦与圆心角的对应关系思考：同圆内相等的弦所对的圆心角相等。已知AB=CD，可推出其对应的圆心角∠AOB与∠COD相等，两个角同时减去公共角∠AOD，即可得到∠AOC=∠BOD=84°。要求∠ACO，只需连接OA构造等腰三角形：OA、OC都是圆的半径，长度相等，因此△AOC为等腰三角形，再结合三角形内角和定理就能求出底角∠ACO的度数。
【解析】
如图，连接OA。
∵在$\odot O$中，$AB=CD$，
∴$∠ AOB=∠ COD$（同圆中相等的弦所对的圆心角相等），
即$∠ BOD+∠ AOD=∠ AOC+∠ AOD$，
∴$∠ AOC=∠ BOD=84°$。
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，即$△ AOC$是等腰三角形，
∴$∠ ACO=\frac{1}{2}×(180°-∠ AOC)=\frac{1}{2}×(180°-84°)=48°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弦的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，核心考查同圆内弦和圆心角的对应关系，结合等腰三角形的性质求解角度，解题的关键是正确作出辅助线，找到相等的圆心角。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用同圆中弦与圆心角的对应关系思考：同圆内相等的弦所对的圆心角相等。已知AB=CD，可推出其对应的圆心角∠AOB与∠COD相等，两个角同时减去公共角∠AOD，即可得到∠AOC=∠BOD=84°。要求∠ACO，只需连接OA构造等腰三角形：OA、OC都是圆的半径，长度相等，因此△AOC为等腰三角形，再结合三角形内角和定理就能求出底角∠ACO的度数。
【解析】
如图，连接OA。
∵在$\odot O$中，$AB=CD$，
∴$∠ AOB=∠ COD$（同圆中相等的弦所对的圆心角相等），
即$∠ BOD+∠ AOD=∠ AOC+∠ AOD$，
∴$∠ AOC=∠ BOD=84°$。
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，即$△ AOC$是等腰三角形，
∴$∠ ACO=\frac{1}{2}×(180°-∠ AOC)=\frac{1}{2}×(180°-84°)=48°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弦的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，核心考查同圆内弦和圆心角的对应关系，结合等腰三角形的性质求解角度，解题的关键是正确作出辅助线，找到相等的圆心角。
【难度系数】
0.8
10.「2026江苏南京月考，★☆」计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为$ x $时，线段$ MN $的长度记为$ d(x) $.下列描述正确的是（
A.当$ x_1 ＞ x_2 $时，$ d(x_1) ＞ d(x_2) $
B.当$ d(x_1) ＞ d(x_2) $时，$ x_1 ＞ x_2 $
C.当$ x_1 + x_2 = 1 $时，$ d(x_1) = d(x_2) $
D.当$ x_1 = 2x_2 $时，$ d(x_1) = 2d(x_2) $
当任务完成的百分比为$ x $时，线段$ MN $的长度记为$ d(x) $.下列描述正确的是（
C
）A.当$ x_1 ＞ x_2 $时，$ d(x_1) ＞ d(x_2) $
B.当$ d(x_1) ＞ d(x_2) $时，$ x_1 ＞ x_2 $
C.当$ x_1 + x_2 = 1 $时，$ d(x_1) = d(x_2) $
D.当$ x_1 = 2x_2 $时，$ d(x_1) = 2d(x_2) $
答案
10.C A.当$x_1＞x_2$时,$d(x_1)$与$d(x_2)$可能相等,可能不等,不符合题意.B.当$d(x_1)＞d(x_2)$时,$x_1＞x_2$或$x_1＜x_2$,不符合题意.C.当$x_1+x_2=1$时,$d(x_1)=d(x_2)$,符合题意.D.当$x_1=2x_2$时,$d(x_1)＜2d(x_2)$,不符合题意.故选C.
解析
【分析】
首先明确圆形进度条中，完成百分比x对应实线弧MN占整圆的比例，MN是圆的一条弦。同圆的弦长由弦所对的圆心角决定：x在0~50%时，x越大弦长越长；x在50%~100%时，x越大弦长越短，x=50%时弦长为直径，达到最大值。我们结合该规律逐一分析选项：A选项x更大时弦长不一定更大，如x=80%的弦长小于x=60%的弦长，A错误；B选项弦长更大时x不一定更大，如x=40%的弦长大于x=90%的弦长但x更小，B错误；C选项当x₁+x₂=1时，两段弧对应的圆心角和为360°，两条弦关于直径对称，弦长相等，C正确；D选项举特例验证即可发现不成立，D错误。
【解析】
设圆的半径为r，完成百分比为x时，弧MN对应的圆心角为$α=360° · x$，同圆中弦长$d(x)=2r\sin\frac{α}{2}=2r\sin(180° · x)$，逐一分析选项：
A. 取$x_1=0.8$，$x_2=0.6$，$x_1＞x_2$，但$\sin(180°×0.8)=\sin144°=\sin36°\approx0.588$，$\sin(180°×0.6)=\sin108°=\sin72°\approx0.951$，得$d(x_1)＜d(x_2)$，A错误。
B. 取$x_1=0.2$，$x_2=0.7$，$\sin(180°×0.2)=\sin36°\approx0.588$，$\sin(180°×0.7)=\sin126°=\sin54°\approx0.809$，$d(x_1)＜d(x_2)$但$x_1＜x_2$，即弦长更大时x不一定更大，B错误。
C. 当$x_1+x_2=1$时，$x_2=1-x_1$，则$\sin(180° · x_2)=\sin[180°(1-x_1)]=\sin(180°-180° x_1)=\sin(180° x_1)$，因此$d(x_1)=d(x_2)$，C正确。
D. 取$x_2=0.2$，则$x_1=0.4$，$d(x_1)=2r\sin72°\approx1.902r$，$2d(x_2)=2×2r\sin36°\approx2.351r$，得$d(x_1)＜2d(x_2)$，D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
弦长与圆心角的关系；圆的对称性；锐角三角函数性质
【点评】
本题结合生活中常见的进度条场景考查圆的相关性质，解题核心是建立完成百分比与弦所对圆心角的对应关系，结合弦长变化规律判断选项，侧重考查数形结合的分析能力。
【难度系数】
0.7
首先明确圆形进度条中，完成百分比x对应实线弧MN占整圆的比例，MN是圆的一条弦。同圆的弦长由弦所对的圆心角决定：x在0~50%时，x越大弦长越长；x在50%~100%时，x越大弦长越短，x=50%时弦长为直径，达到最大值。我们结合该规律逐一分析选项：A选项x更大时弦长不一定更大，如x=80%的弦长小于x=60%的弦长，A错误；B选项弦长更大时x不一定更大，如x=40%的弦长大于x=90%的弦长但x更小，B错误；C选项当x₁+x₂=1时，两段弧对应的圆心角和为360°，两条弦关于直径对称，弦长相等，C正确；D选项举特例验证即可发现不成立，D错误。
【解析】
设圆的半径为r，完成百分比为x时，弧MN对应的圆心角为$α=360° · x$，同圆中弦长$d(x)=2r\sin\frac{α}{2}=2r\sin(180° · x)$，逐一分析选项：
A. 取$x_1=0.8$，$x_2=0.6$，$x_1＞x_2$，但$\sin(180°×0.8)=\sin144°=\sin36°\approx0.588$，$\sin(180°×0.6)=\sin108°=\sin72°\approx0.951$，得$d(x_1)＜d(x_2)$，A错误。
B. 取$x_1=0.2$，$x_2=0.7$，$\sin(180°×0.2)=\sin36°\approx0.588$，$\sin(180°×0.7)=\sin126°=\sin54°\approx0.809$，$d(x_1)＜d(x_2)$但$x_1＜x_2$，即弦长更大时x不一定更大，B错误。
C. 当$x_1+x_2=1$时，$x_2=1-x_1$，则$\sin(180° · x_2)=\sin[180°(1-x_1)]=\sin(180°-180° x_1)=\sin(180° x_1)$，因此$d(x_1)=d(x_2)$，C正确。
D. 取$x_2=0.2$，则$x_1=0.4$，$d(x_1)=2r\sin72°\approx1.902r$，$2d(x_2)=2×2r\sin36°\approx2.351r$，得$d(x_1)＜2d(x_2)$，D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
弦长与圆心角的关系；圆的对称性；锐角三角函数性质
【点评】
本题结合生活中常见的进度条场景考查圆的相关性质，解题核心是建立完成百分比与弦所对圆心角的对应关系，结合弦长变化规律判断选项，侧重考查数形结合的分析能力。
【难度系数】
0.7
11.「★☆」如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,E是AB延长线上一点,且$BE=AB$,F是EC的中点,若$BF=6\ \mathrm{cm}$,则$BD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
11.答案 12
解析 如图,连接AC.
∵F是EC的中点,
∴CF=EF,
∵BE=AB,
∴BF是△EAC的中位线,
∴BF=1/2 AC,
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$,
∴BD=AC,
∴BF=1/2 BD,
∴BD=2BF=12 cm.
解析
【分析】
首先观察题目给出的中点条件：B是AE中点、F是EC中点，可联想到三角形中位线定理，因此考虑连接AC构造三角形，得到BF与AC的数量关系；再结合已知的$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$的条件，通过弧的和差推导得到$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，利用同圆中等弧对等弦的性质，得到BD与AC相等，从而建立BF和BD的关系，即可求出BD的长度。
【解析】
如图，连接AC。
∵F是EC的中点，
∴CF=EF，
又
∵BE=AB，即B是AE的中点，
∴BF是△EAC的中位线，
∴$BF=\frac{1}{2}AC$，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
在同圆中，等弧对等弦，
∴BD=AC，
∴$BF=\frac{1}{2}BD$，
∴$BD=2BF=2×6=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理，同圆中弧与弦的关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是构造辅助线AC，通过三角形中位线定理和圆中等弧对等弦的性质，建立已知线段BF和待求线段BD的联系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的中点条件：B是AE中点、F是EC中点，可联想到三角形中位线定理，因此考虑连接AC构造三角形，得到BF与AC的数量关系；再结合已知的$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$的条件，通过弧的和差推导得到$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，利用同圆中等弧对等弦的性质，得到BD与AC相等，从而建立BF和BD的关系，即可求出BD的长度。
【解析】
如图，连接AC。
∵F是EC的中点，
∴CF=EF，
又
∵BE=AB，即B是AE的中点，
∴BF是△EAC的中位线，
∴$BF=\frac{1}{2}AC$，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
在同圆中，等弧对等弦，
∴BD=AC，
∴$BF=\frac{1}{2}BD$，
∴$BD=2BF=2×6=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理，同圆中弧与弦的关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是构造辅助线AC，通过三角形中位线定理和圆中等弧对等弦的性质，建立已知线段BF和待求线段BD的联系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
12. 学科特色 转化思想 「2026浙江杭州江南实验学校月考，★77」如图，AB是$\odot O$的直径，点D，C在$\odot O$上，$∠ DOC=90°$，$AC=2$，$BD=2\sqrt{2}$，则$\odot O$的半径为
$\sqrt{10}$
。答案
12.答案 $\sqrt{10}$
解析 如图,作半径OE⊥AB,连接DE,BE,作BF⊥DE交ED的延长线于点F,
∵∠DOC=90°,∠AOE=∠BOE=90°,
∴∠DOE=∠AOC,
∴DE=AC=2,
∵OD=OE,OD=OB,
∴∠ODE=1/2×(180°-∠DOE),
∠ODB=1/2×(180°-∠DOB),
∴∠BDE=∠ODE+∠ODB=180°-1/2(∠DOE+∠DOB)=180°-1/2×90°=135°,
∴∠BDF=180°-135°=45°,
∴DF=BF,
∵$BF^2+DF^2=BD^2$,$BD=2\sqrt{2}$,
∴DF=BF=2,
∴EF=DE+DF=4,
∴在Rt△BFE中,由勾股定理得BE=$\sqrt{EF^2+BF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
∵OB=OE,$OB^2+OE^2=BE^2$,
∴OB=OE=$\sqrt{10}$,
∴⊙O的半径为$\sqrt{10}$.
解析
【分析】
要解决本题，可利用圆心角与弦的对应关系转化已知弦长，结合角度推导和勾股定理求解半径。解题思路如下：首先构造辅助线，作半径OE⊥AB，连接DE、BE，过B作BF⊥DE交ED的延长线于F；其次通过角度推导证明∠DOE=∠AOC，得到DE=AC=2，将已知的AC长度转化为DE的长度；再利用等腰三角形的性质推导∠BDE的度数，得到∠BDF=45°，结合BD的长度用勾股定理求出BF、DF的长度；随后计算EF的长度，用勾股定理求出BE的长度；最后利用△BOE是等腰直角三角形的性质，结合BE的长度即可求出圆的半径。
【解析】
如图，作半径OE⊥AB，连接DE，BE，作BF⊥DE交ED的延长线于点F，
∵∠DOC=90°，∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠DOE=∠AOC，
∴DE=AC=2，
∵OD=OE，OD=OB，
∴∠ODE=$\frac{1}{2}$×(180°-∠DOE)，
∠ODB=$\frac{1}{2}$×(180°-∠DOB)，
∴∠BDE=∠ODE+∠ODB=180°-$\frac{1}{2}$(∠DOE+∠DOB)=180°-$\frac{1}{2}$×90°=135°，
∴∠BDF=180°-135°=45°，
∴DF=BF，
在Rt△BDF中，由勾股定理得$BF^2+DF^2=BD^2$，已知$BD=2\sqrt{2}$，
解得DF=BF=2，
∴EF=DE+DF=4，
在Rt△BFE中，由勾股定理得$BE=\sqrt{EF^2+BF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∵OB=OE，∠BOE=90°，在Rt△BOE中$OB^2+OE^2=BE^2$，
解得$OB=OE=\sqrt{10}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
圆心角与弦的关系；勾股定理；等腰三角形性质
【点评】
本题侧重考查转化思想的应用，通过构造辅助线将分散的已知条件集中，结合圆心角、弦的对应关系与勾股定理求解半径，解题的核心是合理构造辅助线，实现已知条件的转化。
【难度系数】
0.6
要解决本题，可利用圆心角与弦的对应关系转化已知弦长，结合角度推导和勾股定理求解半径。解题思路如下：首先构造辅助线，作半径OE⊥AB，连接DE、BE，过B作BF⊥DE交ED的延长线于F；其次通过角度推导证明∠DOE=∠AOC，得到DE=AC=2，将已知的AC长度转化为DE的长度；再利用等腰三角形的性质推导∠BDE的度数，得到∠BDF=45°，结合BD的长度用勾股定理求出BF、DF的长度；随后计算EF的长度，用勾股定理求出BE的长度；最后利用△BOE是等腰直角三角形的性质，结合BE的长度即可求出圆的半径。
【解析】
如图，作半径OE⊥AB，连接DE，BE，作BF⊥DE交ED的延长线于点F，
∵∠DOC=90°，∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠DOE=∠AOC，
∴DE=AC=2，
∵OD=OE，OD=OB，
∴∠ODE=$\frac{1}{2}$×(180°-∠DOE)，
∠ODB=$\frac{1}{2}$×(180°-∠DOB)，
∴∠BDE=∠ODE+∠ODB=180°-$\frac{1}{2}$(∠DOE+∠DOB)=180°-$\frac{1}{2}$×90°=135°，
∴∠BDF=180°-135°=45°，
∴DF=BF，
在Rt△BDF中，由勾股定理得$BF^2+DF^2=BD^2$，已知$BD=2\sqrt{2}$，
解得DF=BF=2，
∴EF=DE+DF=4，
在Rt△BFE中，由勾股定理得$BE=\sqrt{EF^2+BF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∵OB=OE，∠BOE=90°，在Rt△BOE中$OB^2+OE^2=BE^2$，
解得$OB=OE=\sqrt{10}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
圆心角与弦的关系；勾股定理；等腰三角形性质
【点评】
本题侧重考查转化思想的应用，通过构造辅助线将分散的已知条件集中，结合圆心角、弦的对应关系与勾股定理求解半径，解题的核心是合理构造辅助线，实现已知条件的转化。
【难度系数】
0.6
13.「2025江苏镇江宜城中学月考，★☆」如图所示，以$□ ABCD$的顶点A为圆心，AB长为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交$\odot A$于点G。
(1)求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
(2)若$\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$，求$∠ C$的度数。
(1)求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
(2)若$\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$，求$∠ C$的度数。
答案
13.解析 (1)证明:如图,连接AF.
∵点A为圆心,
∴AB=AF,
∴∠ABF=∠AFB,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF,
∴∠DAF=∠GAD,
∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
(2)
∵$\overset{\frown}{BF}$的度数为70°,
∴∠BAF=70°,
∵AB=AF,
∴∠B=∠AFB=1/2(180°-∠BAF)=55°,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠C=180°-∠B=125°.
解析
【分析】
（1）要证明同圆中两条弧相等，只需证明它们所对的圆心角相等。首先连接辅助线AF，构造弧EF对应的圆心角∠EAF；再结合同圆半径相等得到等腰△ABF，利用平行四边形对边平行的性质推导角的等量关系，证明∠GAE=∠EAF，即可得到两条弧相等。
（2）弧的度数等于它所对圆心角的度数，先由弧BF的度数得到对应圆心角∠BAF的度数；再在等腰△ABF中求出底角∠B的度数，最后利用平行四边形邻角互补的性质计算∠C即可。
【解析】
(1)证明:如图,连接AF.
∵点A为圆心，
∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，
∴∠DAF=∠GAD，
∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
(2)
∵$\overset{\frown}{BF}$的度数为70°，
∴∠BAF=70°，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAF)=55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=180°-∠B=125°。
【答案】
(1) 证明成立，$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$；
(2) $∠ C=125°$
辅助线图：
【知识点】
圆心角与弧的关系、平行四边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础题型，侧重考察基础性质的综合应用，解题的关键是合理添加辅助线，利用同圆半径相等、弧的度数与圆心角的对应关系等性质逐步推导，难度较低。
【难度系数】
0.85
（1）要证明同圆中两条弧相等，只需证明它们所对的圆心角相等。首先连接辅助线AF，构造弧EF对应的圆心角∠EAF；再结合同圆半径相等得到等腰△ABF，利用平行四边形对边平行的性质推导角的等量关系，证明∠GAE=∠EAF，即可得到两条弧相等。
（2）弧的度数等于它所对圆心角的度数，先由弧BF的度数得到对应圆心角∠BAF的度数；再在等腰△ABF中求出底角∠B的度数，最后利用平行四边形邻角互补的性质计算∠C即可。
【解析】
(1)证明:如图,连接AF.
∵点A为圆心，
∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，
∴∠DAF=∠GAD，
∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
(2)
∵$\overset{\frown}{BF}$的度数为70°，
∴∠BAF=70°，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAF)=55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=180°-∠B=125°。
【答案】
(1) 证明成立，$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$；
(2) $∠ C=125°$
辅助线图：
【知识点】
圆心角与弧的关系、平行四边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础题型，侧重考察基础性质的综合应用，解题的关键是合理添加辅助线，利用同圆半径相等、弧的度数与圆心角的对应关系等性质逐步推导，难度较低。
【难度系数】
0.85
14. 核心素养 推理能力 「2025江苏镇江宜城中学月考」如图，在$\odot O$中，C是优弧ACB的中点，D,E分别是OA,OB上的点，且$AD=BE$，弦CM,CN分别过点D,E.
(1)求证:$CD=CE$.
(2)求证:$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(1)求证:$CD=CE$.
(2)求证:$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
答案
14.证明 (1)如图,连接OC.
∵C是优弧ACB的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠COD=∠COE,
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE,
∵OC=OC,
∴△COD≌△COE(SAS),
∴CD=CE.
(2)如图,连接OM,ON,由(1)知△COD≌△COE,
∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE,
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC,
∴∠OMD=∠ONE,
∵∠ODC = ∠OMD + ∠MOD, ∠CEO = ∠ONE+∠EON,
∴∠MOD=∠EON,
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要证明CD=CE，可通过证明包含这两条线段的三角形全等实现。首先连接OC，由C是优弧ACB的中点可得对应的圆心角∠COD=∠COE；再结合OA=OB、AD=BE可推出OD=OE，加上公共边OC，即可用SAS证明△COD≌△COE，从而得到CD=CE。
(2) 要证明弧相等，只需证明弧对应的圆心角相等。连接OM、ON，利用(1)中全等三角形的性质得到角相等，再结合同圆半径相等得到等腰三角形的底角相等，借助三角形外角的性质推导得出∠MOD=∠EON，即可证得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
【解析】
(1) 连接OC，
∵C是优弧ACB的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠COD=∠COE，
∵OA=OB，AD=BE，
∴OA-AD=OB-BE，即OD=OE，
又
∵OC=OC，
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE。
(2) 连接OM、ON，
由(1)知△COD≌△COE，
∴∠CDO=∠CEO，∠OCD=∠OCE，
∵OC、OM、ON都是$\odot O$的半径，
∴OC=OM=ON，
∴∠OCM=∠OMC，∠OCN=∠ONC，
∴∠OMD=∠ONE，
∵∠ODC = ∠OMD + ∠MOD，∠CEO = ∠ONE+∠EON，
∴∠MOD=∠EON，
同圆中相等的圆心角所对的弧相等，故$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
【答案】
14.证明 (1)如图,连接OC.
∵C是优弧ACB的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠COD=∠COE,
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE,
∵OC=OC,
∴△COD≌△COE(SAS),
∴CD=CE.
(2)如图,连接OM,ON,由(1)知△COD≌△COE,
∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE,
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC,
∴∠OMD=∠ONE,
∵∠ODC = ∠OMD + ∠MOD, ∠CEO = ∠ONE+∠EON,
∴∠MOD=∠EON,
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形判定与性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质与三角形全等、等腰三角形性质结合考查，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形，灵活运用弧与圆心角的对应关系完成推导。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要证明CD=CE，可通过证明包含这两条线段的三角形全等实现。首先连接OC，由C是优弧ACB的中点可得对应的圆心角∠COD=∠COE；再结合OA=OB、AD=BE可推出OD=OE，加上公共边OC，即可用SAS证明△COD≌△COE，从而得到CD=CE。
(2) 要证明弧相等，只需证明弧对应的圆心角相等。连接OM、ON，利用(1)中全等三角形的性质得到角相等，再结合同圆半径相等得到等腰三角形的底角相等，借助三角形外角的性质推导得出∠MOD=∠EON，即可证得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
【解析】
(1) 连接OC，
∵C是优弧ACB的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠COD=∠COE，
∵OA=OB，AD=BE，
∴OA-AD=OB-BE，即OD=OE，
又
∵OC=OC，
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE。
(2) 连接OM、ON，
由(1)知△COD≌△COE，
∴∠CDO=∠CEO，∠OCD=∠OCE，
∵OC、OM、ON都是$\odot O$的半径，
∴OC=OM=ON，
∴∠OCM=∠OMC，∠OCN=∠ONC，
∴∠OMD=∠ONE，
∵∠ODC = ∠OMD + ∠MOD，∠CEO = ∠ONE+∠EON，
∴∠MOD=∠EON，
同圆中相等的圆心角所对的弧相等，故$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
【答案】
14.证明 (1)如图,连接OC.
∵C是优弧ACB的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠COD=∠COE,
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE,
∵OC=OC,
∴△COD≌△COE(SAS),
∴CD=CE.
(2)如图,连接OM,ON,由(1)知△COD≌△COE,
∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE,
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC,
∴∠OMD=∠ONE,
∵∠ODC = ∠OMD + ∠MOD, ∠CEO = ∠ONE+∠EON,
∴∠MOD=∠EON,
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形判定与性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质与三角形全等、等腰三角形性质结合考查，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形，灵活运用弧与圆心角的对应关系完成推导。
【难度系数】
0.7
