2026年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版第122页答案

8. ★★ 新考法逐项判断法以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边a,b互相平行的是（

）

A.如图①，展开后测得∠1=∠2
B.如图②，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C.如图③，测得∠1=∠2
D.如图④，测得∠1=∠2

答案

8.C

解析

【分析】
解题时需结合平行线的判定定理，逐一分析每个选项中给出的角的关系，判断该角关系是否符合“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”等平行线判定的条件，进而确定能否判定a、b平行。首先明确平行线的三类判定规则，再结合折叠后角的相等关系，逐个验证四个选项即可。
【解析】
我们根据平行线的判定定理逐一分析选项：
A选项：图①中∠1和∠2是直线a、b被AB所截得到的内错角，若∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可直接判定a//b，不符合题意。
B选项：图②中∠1与∠2是邻补角，即∠1+∠2=180°，结合∠1=∠2可得∠1=∠2=90°，同理可得∠3=∠4=90°，此时a、b与AB的夹角均为90°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定a//b，不符合题意。
C选项：图③中的∠1和∠2不是直线a、b被第三条直线所截形成的同位角或内错角，即使∠1=∠2，也无法推导得出a、b的平行关系，不一定能判定a//b，符合题意。
D选项：图④中∠1和∠2是直线a、b被AB所截得到的同位角，若∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定，折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查平行线的判定，解题关键是准确识别两条直线被截线所形成的角的类型，熟练掌握平行线的判定定理，避免因混淆角的位置关系错选。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E,F$分别在边$AB$,$AC$,$BC$上,连接$DE$,$CD$,$DF$,则下列条件:①$∠1=∠3$;②$∠2=∠4$;③$∠ ACB=∠5$;④$∠ ADE=∠ B$;⑤$∠ ACB+∠ CED=180°$.不能判定$AC// DF$的有（

）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案

9.C 【点拨】①若$∠1=∠3$,则$AC// DF$;②若$∠2=∠4$,则$DE// BC$;③若$∠ACB=∠5$,则$AC// DF$;④若$∠ADE=∠B$,则$DE// BC$;⑤若$∠ACB+∠CED=180°$,则$DE// BC$.故②④⑤不能判定$AC// DF$.

解析

【分析】
解决本题的核心是熟练掌握平行线的判定定理，解题时先逐个分析每个条件中的两个角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再根据判定定理判断能推出哪两条直线平行，最终统计出不能判定AC//DF的条件数量即可。
【解析】
结合平行线的判定定理逐个分析条件：
①∠1与∠3是直线AC、DF被CD所截的内错角，若∠1=∠3，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定AC//DF，不符合要求；
②∠2与∠4是直线DE、BC被CD所截的内错角，若∠2=∠4，可判定DE//BC，无法判定AC//DF，符合要求；
③∠ACB与∠5是直线AC、DF被BC所截的同位角，若∠ACB=∠5，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定AC//DF，不符合要求；
④∠ADE与∠B是直线DE、BC被AB所截的同位角，若∠ADE=∠B，可判定DE//BC，无法判定AC//DF，符合要求；
⑤∠ACB与∠CED是直线DE、BC被AC所截的同旁内角，若∠ACB+∠CED=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定DE//BC，无法判定AC//DF，符合要求。
综上，②④⑤共3个条件不能判定AC//DF。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定定理
【点评】
本题考查平行线的判定应用，易错点是容易混淆角对应的被截直线，解题时先确定截线，再判断两角的位置关系，就能准确推出平行的直线。
【难度系数】
0.7

10. 如图,已知$EF⊥AC$于点$F$,$DB⊥AC$于点$M$,$∠1=∠2$,$∠3=∠C$.
(1)求证:$AB// MN$;
(2)若$∠BMN=140°$,$∠ADM=25°$,求$∠BAD$的度数.

答案

10. (1)【证明】因为$EF⊥AC$,$DB⊥AC$,
所以$EF// DM$,所以$∠2=∠MDC$.
又因为$∠1=∠2$,所以$∠1=∠MDC$,
所以$MN// CD$,所以$∠AMN=∠C$.
又因为$∠3=∠C$,所以$∠3=∠AMN$,所以$AB// MN$.
(2)【解】因为$AB// MN$,
所以$∠B+∠BMN=180°$.
因为$∠BMN=140°$,所以$∠B=40°$.
因为$∠ADM=25°$,
所以$∠BAD=180°-∠B-∠ADM=115°$.

解析

【分析】
(1) 要证明$AB// MN$，可通过证明内错角$∠ 3=∠ AMN$实现：首先根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”，由$EF⊥ AC$、$DB⊥ AC$可得$EF// DM$，进而推出$∠ 2=∠ MDC$；结合已知$∠ 1=∠ 2$，可得$∠ 1=∠ MDC$，根据“同位角相等，两直线平行”证得$MN// CD$，得到$∠ AMN=∠ C$；再结合已知$∠ 3=∠ C$，等量代换得$∠ 3=∠ AMN$，即可由“内错角相等，两直线平行”证得$AB// MN$。
(2) 首先利用(1)中$AB// MN$的结论，根据“两直线平行，同旁内角互补”，结合$∠ BMN=140°$求出$∠ B$的度数；再根据三角形内角和为$180°$，代入$∠ B$和$∠ ADM$的度数即可求出$∠ BAD$的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because EF⊥ AC$，$DB⊥ AC$，
$\therefore EF// DM$，
$\therefore ∠ 2=∠ MDC$。
又$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1=∠ MDC$，
$\therefore MN// CD$，
$\therefore ∠ AMN=∠ C$。
又$\because ∠ 3=∠ C$，
$\therefore ∠ 3=∠ AMN$，
$\therefore AB// MN$。
(2) 解：$\because AB// MN$，
$\therefore ∠ B + ∠ BMN = 180°$。
$\because ∠ BMN=140°$，
$\therefore ∠ B=180°-140°=40°$。
$\because ∠ ADM=25°$，
$\therefore ∠ BAD=180°-∠ B-∠ ADM=180°-40°-25°=115°$。
【答案】
(1) $AB// MN$，证明成立；
(2) $∠ BAD=115°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的性质
【点评】
本题是平行线相关知识的典型综合题，解题核心是熟练运用平行线的判定和性质完成角的等量转化，既考查了基础定理的掌握，也锻炼了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

11. 跨学科题 (1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象. 如图①，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由.
(2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验. 如图②，AB，CD为直线EF上的灯A，C照出的光线，∠BAF=110°，∠DCF=40°，光线AB，CD分别绕点A，C以1°/s和4°/s的速度同时顺时针转动. 设时间为t s，在光线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间，若不存在，请说明理由.

答案

11. 【解】(1)$AB// CD$.理由如下：

如图①,因为$∠3+∠5=180°$,$∠4+∠6=180°$,
$∠3=∠4$,所以$∠5=∠6$.
因为$∠1=∠2$,所以$∠1+∠5=∠2+∠6$,
即$∠ABC=∠BCD$,所以$AB// CD$.
(2)存在.
①如图②,当AB,CD在EF的两侧时,
因为$∠BAF=110°$,$∠DCF=40°$,
所以转动t s后,$∠ACD=180°-40°-(4t)°=140°-(4t)°$,$∠BAC=110°-t°$.
要使$AB// CD$,则需满足$∠ACD=∠BAF$,
所以$140°-(4t)°=110°-t°$,解得$t=10$.
因为$(180°-40°)÷4°=35$,所以$0＜t＜35$,
故$t=10$符合题意.
②如图③,当AB,CD都在EF的右侧时,
因为$∠BAF=110°$,$∠DCF=40°$,
所以转动t s后,$∠DCF=360°-(4t)°-40°=320°-(4t)°$,$∠BAC=110°-t°$.
要使$AB// CD$,则需满足$∠DCF=∠BAC$,
所以$320°-(4t)°=110°-t°$,解得$t=70$.
因为$(360°-40°)÷4=80$,所以$35＜t＜80$,
故$t=70$符合题意.
③如图④,当AB,CD都在EF的左侧时,
因为$∠BAF=110°$,$∠DCF=40°$,
所以转动t s后,$∠DCF=(4t)°-(360°-40°)=(4t)°-320°$,$∠BAC=t°-110°$.
要使$AB// CD$,则需满足$∠DCF=∠BAC$,
所以$(4t)°-320°=t°-110°$,解得$t=70$,
而此时$t＞80$,故此情况不存在.
综上,当时间为10 s或70 s时,CD与AB平行.

解析

【分析】
(1)要判断AB与CD是否平行，可通过证明两直线被BC所截的内错角相等推导。已知∠1=∠2、∠3=∠4，可先利用等角的补角相等得到∠3、∠4的补角相等，再推导内错角∠ABC与∠BCD相等，即可判定平行。
(2)本题为动态转动问题，需根据AB、CD转动过程中的位置分三类讨论：①AB、CD在EF两侧；②AB、CD都在EF右侧；③AB、CD都在EF左侧。每类情况根据平行线判定的同位角相等条件列方程求解，再结合CD转动一周的时间限制，验证解是否符合对应区间要求，舍去不符合的解。
【解析】
(1)证明AB//CD：
如图①，因为∠3与∠5互补、∠4与∠6互补，且∠3=∠4，根据等角的补角相等可得∠5=∠6。
又已知∠1=∠2，所以∠1+∠5=∠2+∠6，即内错角∠ABC=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD。
(2)CD转动一周的总时长为360°÷4°/s=90s，即t的取值范围为0≤t≤90，分情况讨论：
①当AB、CD在EF两侧时：
转动t秒后，∠ACD=180°-40°-4t°=140°-4t°，∠BAC=110°-t°。
若AB//CD，则∠ACD=∠BAC，列方程得140-4t=110-t，解得t=10。
此时0＜t＜35（CD转动到EF上的时间为(180-40)÷4=35s），符合要求。
②当AB、CD都在EF右侧时：
转动t秒后，∠DCF=360°-4t°-40°=320°-4t°，∠BAC=110°-t°。
若AB//CD，则∠DCF=∠BAC，列方程得320-4t=110-t，解得t=70。
此时35＜t＜80（CD转动到EF左侧的时间为(360-40)÷4=80s），符合要求。
③当AB、CD都在EF左侧时：
转动t秒后，∠DCF=4t°-(360°-40°)=4t°-320°，∠BAC=t°-110°。
若AB//CD，则∠DCF=∠BAC，列方程得4t-320=t-110，解得t=70，不符合t＞80的区间要求，故舍去。
综上，符合条件的t为10s或70s。
【答案】
11. 【解】(1)$AB// CD$.理由如下：

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