1. 下列说法中正确的是 （）

A.已知$a,b,c$是三角形的三边，则$a^2 + b^2 = c^2$
B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方
C.在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，所以$a^2 + b^2 = c^2$
D.在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$a,b,c$是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，所以$a^2 + b^2 = c^2$

1.C

【分析】
本题考查勾股定理的基本概念，解题时先回忆勾股定理的核心要点：①仅适用于直角三角形；②内容是两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为直角所对的最长边。接下来逐一验证每个选项是否符合上述两个要点，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 未说明三角形是直角三角形，勾股定理不适用，该选项错误；
B. 直角三角形中是两直角边的平方和等于斜边的平方，不是“两边和的平方”，表述错误，该选项错误；
C. 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，则$c$是斜边，$a、b$为直角边，符合勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，该选项正确；
D. 在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，则$b$是斜边，勾股定理应为$a^2 + c^2 = b^2$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、直角三角形边的对应关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对勾股定理适用条件、直角边与斜边对应关系的理解，解题时要避免忽略前提条件或混淆斜边位置导致出错。
【难度系数】
0.8

2. 如图，直线$AB⊥CD$，垂足为$O$，$AO=15$，$CO=8$，以点$A$为圆心，$AC$的长为半径画弧，交射线$AB$于点$E$，则$OE$的长为 （）

A.8
B.6
C.4
D.2

2.D 【点拨】因为 $AB ⊥ CD$,所以 $∠COA = 90°$,所以 $AC^2 = AO^2 + OC^2$. 因为 $AO=15,CO=8$,所以 $AC=17$. 因为以点 $A$ 为圆心,$AC$ 的长为半径画弧,交射线 $AB$ 于点 $E$,所以 $AC=AE=17$,所以 $OE=AE-AO=2$.

【分析】
首先观察图形，已知直线AB与CD垂直，可得△AOC是直角三角形，我们可以先利用勾股定理求出斜边AC的长度；再根据圆的性质，同圆的半径相等，得到AE的长度等于AC；最后结合线段的和差关系，用AE的长度减去AO的长度就能求出OE的长。
【解析】
∵ AB⊥CD，垂足为O，
∴ ∠AOC=90°，即△AOC是直角三角形。
在Rt△AOC中，AO=15，CO=8，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AO^2 + CO^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$。
∵ 以点A为圆心，AC长为半径画弧交射线AB于E，
∴ AE = AC = 17（同圆的半径相等）。
∴ $OE = AE - AO = 17 - 15 = 2$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；垂直的定义；圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是结合垂直条件构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段长，再结合圆的半径相等的性质进行线段和差计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

3. 中华传统文化象棋 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为4 cm，则“帥”“马”两棋子所在格点之间的距离为。

3. 20 cm

【分析】
要求“帥”“马”两棋子的距离，可先观察两者在网格中的位置，数出两点横向、纵向相差的小正方形格数，将两点连线看作直角三角形的斜边，横向、纵向的实际长度作为直角边，再用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
首先数得“帥”和“马”横向相差4个小正方形边长，纵向相差3个小正方形边长。
已知每个小正方形边长为4 cm，因此：
横向实际距离：$4×4=16\ \mathrm{cm}$
纵向实际距离：$3×4=12\ \mathrm{cm}$
根据勾股定理，两点之间的距离为：
$\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20 cm
【知识点】
勾股定理、网格线段长度计算
【点评】
本题结合传统象棋场景考查勾股定理的实际应用，解题的核心是准确将网格中两点的位置差转化为直角三角形的直角边长度，题型新颖，难度较低。
【难度系数】
0.8

4. 新考法分类讨论法 在$△ ABC$中，$AB=30$，$AC=26$，高$AD=24$，则$△ ABC$的周长为。

4. 84 或 64 【点拨】(1)当高 $AD$ 在$△ ABC$ 的内部时,如. 在 $Rt△ABD$ 中,$BD^2=AB^2-AD^2=324$,所以 $BD=18$. 在 $Rt△ACD$ 中,$CD^2=AC^2-AD^2=100$,所以 $CD=10$. 所以 $BC=BD+CD=28$,此时$△ ABC$ 的周长是$AB+BC+AC=30+28+26=84$;
(2)当高 $AD$ 在$△ ABC$ 的外部时,如. 在 $Rt△ABD$ 中,$BD^2=AB^2-AD^2=324$,所以 $BD=18$. 在 $Rt△ACD$ 中,$CD^2=AC^2-AD^2=100$,所以 $CD=10$. 所以 $BC=BD-CD=8$,此时$△ ABC$ 的周长是$AB+BC+AC=30+8+26=64$. 综上所述,$△ ABC$ 的周长是 84 或 64.
点易错 此题易漏掉高 $AD$ 在$△ ABC$ 外部这种情况而致错.

【分析】
已知△ABC的两边AB、AC的长度以及高AD的长，由于三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论。每种情况中，AD分别与AB、AC构成两个直角三角形，我们可以利用勾股定理分别求出BD和CD的长度，再根据高的位置得到BC的长度，最后计算三角形的周长即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
(1) 当高AD在△ABC的内部时，如图：
在$Rt△ABD$中，根据勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=30^2-24^2=900-576=324$，所以$BD=18$；
在$Rt△ACD$中，根据勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=26^2-24^2=676-576=100$，所以$CD=10$；
此时$BC=BD+CD=18+10=28$，$△ABC$的周长为$AB+BC+AC=30+28+26=84$。
(2) 当高AD在△ABC的外部时，如图：
同理可得，$BD=18$，$CD=10$；
此时$BC=BD-CD=18-10=8$，$△ABC$的周长为$AB+BC+AC=30+8+26=64$。
综上，$△ABC$的周长为84或64。
【答案】
84或64
【知识点】
勾股定理；三角形高的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时要结合三角形的类型，全面考虑高的位置，再利用勾股定理正确计算边长。
【难度系数】
0.6

5. 如图，四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，AD=3，AB=4，BC=13，求四边形ABCD的面积.

5. 【解】因为 $AD⊥AB,BD⊥CD$,所以$∠A=∠BDC=90°$.
因为 $AB=4,AD=3$,所以根据勾股定理得 $BD=5$.
又因为 $CB=13$,所以根据勾股定理得 $CD=12$,所以
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5=36$.

【分析】
要求四边形ABCD的面积，可通过割补法将不规则的四边形拆分为两个直角三角形$△ ABD$和$△ BCD$，分别计算两个三角形的面积再求和即可。首先根据$AD⊥ AB$的条件，在$Rt△ ABD$中用已知的两条直角边长度，通过勾股定理算出公共边$BD$的长度；再根据$BD⊥ CD$的条件，在$Rt△ BCD$中用已知的斜边$BC$和刚算出的直角边$BD$，通过勾股定理算出另一条直角边$CD$的长度；最后分别计算两个直角三角形的面积，相加得到四边形总面积。
【解析】
解：$\because AD⊥ AB,BD⊥ CD$，
$\therefore ∠ A=∠ BDC=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$AB=4,AD=3$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
在$Rt△ BCD$中，$BC=13,BD=5$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36$。
【答案】
$\boxed{36}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是通过拆分将不规则图形的面积转化为规则直角三角形的面积和，借助公共边$BD$串联两次勾股定理的计算，整体思路直观，计算量小。
【难度系数】
0.8

6. 母题教材P₃随堂练习T₁ 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B,C,D的面积分别是4,6,2,4，则正方形E的面积是（）

A.12
B.14
C.16
D.18

6.C

【分析】
解决这道题的核心是结合勾股定理的几何意义思考：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积。我们可以先求出A、B对应的斜边正方形面积，再求出C、D对应的斜边正方形面积，最后这两个面积相加就是正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义计算：
1. 正方形A、B的面积和等于二者下方直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_1 = S_A + S_B = 4 + 6 = 10$；
2. 正方形C、D的面积和等于二者下方直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_2 = S_C + S_D = 2 + 4 = 6$；
3. 上述两个正方形的边长是最下方直角三角形的两条直角边，因此正方形E的面积等于这两个正方形的面积和，即$S_E = S_1 + S_2 = 10 + 6 = 16$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算、勾股树模型
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，无需计算正方形边长，直接利用“直角三角形两直角边对应正方形面积和等于斜边对应正方形面积”的规律，累加四个小正方形的面积即可得到结果，解题关键是理解勾股定理的图形表达含义。
【难度系数】
0.8

7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，分别以AC，AB为直径向外作两个半圆，面积分别记为$S_1$和$S_2$. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，分别以BD，CD为边向外作两个正方形，面积分别记为$S_3$和$S_4$. 若$S_1 - S_2=2π$，$S_3=41$，则$S_4$的值为（）

A.5
B.15
C.20
D.25

7.D 【点拨】在 $Rt△ABC$ 中,$∠ABC=90°$,所以 $AB^2+BC^2=AC^2$,所以 $S_2+\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}BC)^2=S_1$,所以 $S_1-S_2=\frac{1}{8}π·BC^2$. 因为 $S_1-S_2=2π$,所以 $2π=\frac{1}{8}π·BC^2$. 所以 $BC^2=16$. 在 $Rt△BCD$ 中,$∠BCD=90°$,所以 $BC^2+CD^2=BD^2$,所以 $S_4=S_3-BC^2=41-16=25$.

【分析】
解题时先从已知的两个半圆面积差入手，结合圆的面积公式，将面积差转化为直角三角形边长平方的差，再利用$\mathrm{Rt}△ABC$的勾股定理求出$BC^2$的值；接下来观察两个正方形的面积，正方形面积等于边长的平方，结合$\mathrm{Rt}△BCD$的勾股定理，建立$S_3$、$S_4$和$BC^2$的关系，代入数值即可求出$S_4$。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，即$AC^2 - AB^2 = BC^2$。
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π r^2$，因此：
$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2=\frac{π AC^2}{8}$，$S_2=\frac{1}{2}π · (\frac{AB}{2})^2=\frac{π AB^2}{8}$
则$S_1 - S_2=\frac{π}{8}(AC^2 - AB^2)=\frac{π}{8}BC^2$
已知$S_1 - S_2=2π$，代入得：$2π=\frac{π}{8}BC^2$，解得$BC^2=16$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：$BC^2 + CD^2 = BD^2$。
正方形面积等于边长的平方，因此$S_3=BD^2$，$S_4=CD^2$，代入勾股定理公式得：$BC^2 + S_4 = S_3$
则$S_4=S_3 - BC^2=41 - 16=25$。
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆的面积计算；正方形面积计算
【点评】本题将勾股定理与半圆、正方形的面积计算相结合，解题核心是把图形面积关系转化为直角三角形边长的平方关系，再利用勾股定理建立等式求解，能很好地考查学生对基础公式的综合运用能力。
【难度系数】0.7

8. 数学文化 周髀算经 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载. 如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图②的方式放置在最大正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）


A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积之和

8.C 【点拨】设直角三角形的斜边长为 $c$,较长直角边的长为 $b$,较短直角边的长为 $a$,由勾股定理得,$c^2=a^2+b^2$,阴影部分的面积$=c^2-b^2-a(c-b)=a^2-ac+ab=a(a+b-c)$,较小两个正方形重叠部分的宽$=a-(c-b)$,长$=a$,则较小两个正方形重叠部分的面积$=a(a+b-c)$,所以知道阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.

【分析】
解题时首先结合勾股定理的背景，通过设参数表示直角三角形三边，再分别推导阴影部分面积和各选项对应图形的面积表达式，对比找到二者相等的选项即可。第一步先设直角三角形的短直角边为a、长直角边为b、斜边为c，由勾股定理得到$c^2=a^2+b^2$；第二步用含a、b、c的代数式表示阴影部分面积并化简；第三步再推导较小两个正方形重叠部分的面积，对比两个面积表达式就能得出结论。
【解析】
设直角三角形的斜边长为$c$，较长直角边的长为$b$，较短直角边的长为$a$。
根据勾股定理可得：$\boldsymbol{c^2=a^2+b^2}$。
计算阴影部分面积：阴影部分位于边长为$c$的最大正方形内，面积为最大正方形面积减去边长为$b$的正方形面积，再减去边长为$a$的正方形在大正方形内剩余的部分面积，即：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=c^2 - b^2 - a(c - b)\\&=a^2+b^2 - b^2 -ac +ab\\&=a^2 -ac +ab\\&=a(a+b-c)\end{aligned}$
再计算较小两个正方形重叠部分的面积：由图②可知，重叠部分的长为$a$，宽为$a-(c-b)=a+b-c$，因此：
$S_{重叠}=a×(a+b-c)=a(a+b-c)$
可得$S_{阴影}=S_{重叠}$，因此知道阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.正方形面积计算 3.代数式化简
【点评】
本题结合传统数学文化背景，将勾股定理和图形面积计算相结合，需要通过设参数、代数推导找到不同图形面积的等量关系，考查了知识的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

9. [2026武汉武昌区期中]在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，P是BC上异于B,C的一点，则$AP^2 + BP · PC$的值是（）

A.15
B.25
C.30
D.20

9.B 【点拨】如图,过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$ 于 $D$,所以 $∠ADP=∠ADB=90°$,因为 $AB=AC=5$,所以 $BD=CD$,易得 $PA^2=PD^2+AD^2$,$AD^2+BD^2=AB^2$,所以 $AP^2+PB·PC=AP^2+(BD+PD)(CD-PD)=AP^2+(BD+PD)(BD-PD)=AP^2+BD^2-PD^2=AP^2-PD^2+BD^2=AD^2+BD^2=AB^2=25$.

【分析】
遇到等腰三角形的边长计算问题，优先考虑作底边上的高，利用等腰三角形“三线合一”得到底边被垂足平分。接下来将BP·PC用BD、PD表示，结合BD=CD可利用平方差公式展开，再结合勾股定理对$AP^2$代换，最终化简即可求出结果。
【解析】
过点$A$作$AD ⊥ BC$于$D$，因此$∠ADP=∠ADB=90°$。
因为$AB=AC=5$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$BD=CD$。
在$Rt△ADP$中，由勾股定理得：$PA^2=PD^2+AD^2$；
在$Rt△ADB$中，由勾股定理得：$AD^2+BD^2=AB^2$。
对$BP·PC$变形：$BP=BD+PD$，$PC=CD-PD=BD-PD$，
因此$BP·PC=(BD+PD)(BD-PD)=BD^2-PD^2$。
将其代入原式得：
$AP^2 + BP · PC=AP^2 + BD^2-PD^2$
$=(PD^2+AD^2)+BD^2-PD^2$
$=AD^2+BD^2=AB^2=5^2=25$。
【答案】
B

【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；平方差公式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型基础题，解题关键是通过作等腰三角形底边上的高构造直角三角形，借助平方差公式转化线段乘积，再结合勾股定理代换化简，需要掌握这类将几何问题转化为代数变形的思路。
【难度系数】
0.7