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1.「2025西藏中考」如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D是BC延长线上的一点，∠ACD=110°，则∠A的度数为（
A.70°
B.55°
C.40°
D.35°
C
）A.70°
B.55°
C.40°
D.35°
答案
1.C $\because ∠ ACD=110°,\therefore ∠ ACB=180°-110°=70°,$
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ ACB=70°,$
$\therefore ∠ A=180°-70°-70°=40°.$ 故选 C.
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ ACB=70°,$
$\therefore ∠ A=180°-70°-70°=40°.$ 故选 C.
2.「2026江苏苏州姑苏期中改编」如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则∠BCE=
60
°.答案
2.答案 60
解析 $\because AB=AC,∠ A=20°,\therefore ∠ ACB=(180°-20°)÷2=80°,\because DE$ 是 AC 的垂直平分线, $\therefore AE=CE,$
$\therefore ∠ ACE=∠ A=20°,\therefore ∠ BCE=80°-20°=60°.$
解析 $\because AB=AC,∠ A=20°,\therefore ∠ ACB=(180°-20°)÷2=80°,\because DE$ 是 AC 的垂直平分线, $\therefore AE=CE,$
$\therefore ∠ ACE=∠ A=20°,\therefore ∠ BCE=80°-20°=60°.$
3. 「2026江苏苏州高新区期中」定义:如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三角形”.若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”,则它的顶角度数为
36°或90°
.答案
3.答案 $36°$或 $90°$
解析 设这个等腰三角形顶角的度数是 $x$,则底角的度数为 $2x$ 或 $\dfrac{1}{2}x$,$\because$ 三角形内角和为 $180°$,$\therefore x+2x+2x=180°$或 $x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}x=180°$, 解得 $x=36°$或 $x=90°$,
$\therefore$ 它的顶角的度数是 $36°$或 $90°$.
解析 设这个等腰三角形顶角的度数是 $x$,则底角的度数为 $2x$ 或 $\dfrac{1}{2}x$,$\because$ 三角形内角和为 $180°$,$\therefore x+2x+2x=180°$或 $x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}x=180°$, 解得 $x=36°$或 $x=90°$,
$\therefore$ 它的顶角的度数是 $36°$或 $90°$.
4. 学科特色教材变式 已知:如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ EAC$是$△ ABC$的外角,$AD$平分$∠ EAC$.求证:$AD// BC$.
答案
4.证明 $\because AD$ 平分$∠ EAC,\therefore ∠ EAD=\dfrac{1}{2}∠ EAC.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C,\because ∠ EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角,
$\therefore ∠ EAC=∠ B+∠ C=2∠ B,$
$\therefore ∠ B=\dfrac{1}{2}∠ EAC,\therefore ∠ EAD=∠ B,\therefore AD// BC.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C,\because ∠ EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角,
$\therefore ∠ EAC=∠ B+∠ C=2∠ B,$
$\therefore ∠ B=\dfrac{1}{2}∠ EAC,\therefore ∠ EAD=∠ B,\therefore AD// BC.$
5.「2026江苏苏州昆山月考」如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，则下列结论不正确的是（
A.$BD=CD$
B.$∠ BAC=∠ ABC$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
B
）A.$BD=CD$
B.$∠ BAC=∠ ABC$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
答案
5.B $\because AB=AC,AD$ 是 $BC$ 边上的高, $\therefore ∠ BAD=∠ CAD,$
$BD=CD,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC,S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}BD· AD=\dfrac{1}{2}CD· AD=S_{△ ACD}$,故选项 A,C,D 中的结论都正确.根据已知条件无法证明 $∠ BAC=∠ ABC$,故选项 B 中的结论不正确.故选 B.
$BD=CD,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC,S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}BD· AD=\dfrac{1}{2}CD· AD=S_{△ ACD}$,故选项 A,C,D 中的结论都正确.根据已知条件无法证明 $∠ BAC=∠ ABC$,故选项 B 中的结论不正确.故选 B.
6.「2026江苏徐州邳州期中」如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$平分$∠ BAC$,点$E$是$AD$的中点,连接$CE$,若$△ DCE$的面积为$4$,则$△ ABC$的面积为
16
.答案
6.答案 16
解析 $\because$ 点 $E$ 是 $AD$ 的中点, $△ DCE$ 的面积为 4,
$\therefore S_{△ ACD}=2S_{△ DCE}=8,\because AB=AC,AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore BD=CD,\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ ACD}=16.$ 故答案为 16.
解析 $\because$ 点 $E$ 是 $AD$ 的中点, $△ DCE$ 的面积为 4,
$\therefore S_{△ ACD}=2S_{△ DCE}=8,\because AB=AC,AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore BD=CD,\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ ACD}=16.$ 故答案为 16.
7.「2026 江苏无锡江阴期中」如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$AD$为$△ ABC$的中线.以点$A$圆心,$AD$长为半径画弧,与$AB$,$AC$分别交于点$E$,$F$,连接$DE$,$DF$.
(1)求证:$△ ADE≌△ ADF$.
(2)若$∠ BAC=80°$,求$∠ BDE$的度数.
(1)求证:$△ ADE≌△ ADF$.
(2)若$∠ BAC=80°$,求$∠ BDE$的度数.
答案
7.解析 (1)证明:$\because AB=AC,AD$ 为 $△ ABC$ 的中线,
$\therefore ∠ EAD=∠ FAD$,由作图可知 $AE=AF$,又 $\because AD=AD$,
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because AB=AC,AD$ 为 $△ ABC$ 的中线, $\therefore AD⊥ BC$,
$∠ BAD=∠ CAD,\therefore ∠ ADB=90°,\because ∠ BAC=80°,$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=40°$,由作图可知 $AD=AE,\therefore ∠ ADE=∠ AED=\dfrac{1}{2}(180°-∠ BAD)=\dfrac{1}{2}×(180°-40°)=70°,$
$\therefore ∠ BDE=∠ ADB-∠ ADE=90°-70°=20°.$
$\therefore ∠ EAD=∠ FAD$,由作图可知 $AE=AF$,又 $\because AD=AD$,
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because AB=AC,AD$ 为 $△ ABC$ 的中线, $\therefore AD⊥ BC$,
$∠ BAD=∠ CAD,\therefore ∠ ADB=90°,\because ∠ BAC=80°,$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=40°$,由作图可知 $AD=AE,\therefore ∠ ADE=∠ AED=\dfrac{1}{2}(180°-∠ BAD)=\dfrac{1}{2}×(180°-40°)=70°,$
$\therefore ∠ BDE=∠ ADB-∠ ADE=90°-70°=20°.$
