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1.等边三角形ABC的两条中线BD和CE相交所夹钝角的度数为 （
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
C
）A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件等边三角形入手，首先回忆等边三角形的核心性质：①每个内角均为60°；②中线、高、对应角的角平分线三线合一。两条中线BD、CE相交，我们可以先找到它们的交点，把夹角放在三角形中求解：利用三线合一得出两条中线分别平分等边三角形的两个底角，算出小角的度数后，再结合三角形内角和定理即可求出夹角的度数，注意题目要求的是钝角的度数，排除锐角夹角即可。
【解析】
设BD与CE的交点为O。
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是AC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
同理，CE是AB边上的中线，CE平分∠ACB
∴∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
在△BOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC = 180° - ∠DBC - ∠ECB = 180° - 30° - 30° = 120°
120°是钝角，即两条中线相交所夹钝角的度数为120°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的特点，将所求夹角转化到三角形中利用内角和求解，是等边三角形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件等边三角形入手，首先回忆等边三角形的核心性质：①每个内角均为60°；②中线、高、对应角的角平分线三线合一。两条中线BD、CE相交，我们可以先找到它们的交点，把夹角放在三角形中求解：利用三线合一得出两条中线分别平分等边三角形的两个底角，算出小角的度数后，再结合三角形内角和定理即可求出夹角的度数，注意题目要求的是钝角的度数，排除锐角夹角即可。
【解析】
设BD与CE的交点为O。
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是AC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
同理，CE是AB边上的中线，CE平分∠ACB
∴∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
在△BOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC = 180° - ∠DBC - ∠ECB = 180° - 30° - 30° = 120°
120°是钝角，即两条中线相交所夹钝角的度数为120°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的特点，将所求夹角转化到三角形中利用内角和求解，是等边三角形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 下列条件中,不能判定△ABC是等边三角形的是 （
A.∠A=∠B=∠C
B.AB=AC,∠B=60°
C.∠A=60°,∠B=60°
D.AB=AC,且∠B=∠C
D
）A.∠A=∠B=∠C
B.AB=AC,∠B=60°
C.∠A=60°,∠B=60°
D.AB=AC,且∠B=∠C
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。解题时逐一分析每个选项是否符合上述判定定理，排除可以判定等边三角形的选项，剩下的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：∠A=∠B=∠C，三角形内角和为180°，可推出三个角均为60°，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形，排除；
B选项：AB=AC说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形，排除；
C选项：∠A=60°，∠B=60°，根据三角形内角和可得∠C=180°-60°-60°=60°，三个角都相等，可以判定△ABC是等边三角形，排除；
D选项：AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就可以推出∠B=∠C，该条件仅能说明△ABC是等腰三角形，无法证明有角为60°或三边相等，不能判定是等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础考查题，重点区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，只要熟练掌握相关定理即可快速得分，注意不要将等腰三角形的性质和等边三角形的判定混淆。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要回忆等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。解题时逐一分析每个选项是否符合上述判定定理，排除可以判定等边三角形的选项，剩下的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：∠A=∠B=∠C，三角形内角和为180°，可推出三个角均为60°，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形，排除；
B选项：AB=AC说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形，排除；
C选项：∠A=60°，∠B=60°，根据三角形内角和可得∠C=180°-60°-60°=60°，三个角都相等，可以判定△ABC是等边三角形，排除；
D选项：AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就可以推出∠B=∠C，该条件仅能说明△ABC是等腰三角形，无法证明有角为60°或三边相等，不能判定是等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础考查题，重点区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，只要熟练掌握相关定理即可快速得分，注意不要将等腰三角形的性质和等边三角形的判定混淆。
【难度系数】
0.85
3.如图，$∠ AOB=90°$，以点O为圆心，适当长为半径画一条弧交直角的两边于A，B两点，若再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，与$\overset{\frown}{AB}$交于点C，则$∠ BOC=$
30°
。答案
3. 30°
解析
【分析】
首先根据题目中的尺规作图步骤，利用同圆半径相等，可得OA=OC；再结合第二步以A为圆心、OA为半径画弧的操作，可得AC=OA，因此OA=OC=AC，可判断△OAC为等边三角形，得到∠AOC的度数，最后用∠AOB的度数减去∠AOC的度数即可求出∠BOC的大小。
【解析】
解：由尺规作图的性质可知：
OA、OC都是以O为圆心的弧的半径，故OA=OC；
又因为以A为圆心，OA长为半径画弧交$\overset{\frown}{AB}$于C，因此AC=OA；
∴OA=OC=AC，即△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB - ∠AOC=90°-60°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合尺规作图考查等边三角形的相关知识，解题的核心是从作图步骤中提炼出线段相等的条件，进而判断三角形形状，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中的尺规作图步骤，利用同圆半径相等，可得OA=OC；再结合第二步以A为圆心、OA为半径画弧的操作，可得AC=OA，因此OA=OC=AC，可判断△OAC为等边三角形，得到∠AOC的度数，最后用∠AOB的度数减去∠AOC的度数即可求出∠BOC的大小。
【解析】
解：由尺规作图的性质可知：
OA、OC都是以O为圆心的弧的半径，故OA=OC；
又因为以A为圆心，OA长为半径画弧交$\overset{\frown}{AB}$于C，因此AC=OA；
∴OA=OC=AC，即△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB - ∠AOC=90°-60°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合尺规作图考查等边三角形的相关知识，解题的核心是从作图步骤中提炼出线段相等的条件，进而判断三角形形状，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数.
答案
4.(1)证明:在△ABC和△ADE中,$\begin{cases} BC=DE, \\ ∠B=∠D, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)解:由(1)得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=180°-60°=120°,
∴∠ACE=60°.
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)解:由(1)得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=180°-60°=120°,
∴∠ACE=60°.
解析
【分析】
(1)要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：题目给出AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，刚好符合全等三角形判定中的“SAS”定理，直接代入对应条件即可完成证明。
(2)求∠ACE的度数时，先利用第(1)问的全等结论，得到对应边AC=AE、对应角∠DAE=∠BAC=60°，可知△ACE是顶角为60°的等腰三角形，再结合三角形内角和为180°、等腰三角形两底角相等的性质，即可计算出∠ACE的度数。
【解析】
(1)证明:在△ABC和△ADE中,
$\begin{cases} BC=DE, \\ ∠B=∠D, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE(SAS)。
(2)解:由(1)得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠AEC=∠ACE。
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=180°-60°=120°,
∴∠ACE=60°。
【答案】
(1)△ABC≌△ADE证明成立；
(2)$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，综合考查全等三角形的判定、性质以及等腰三角形的性质，解题核心是先通过已知条件证明三角形全等，再利用全等转化边角关系求解角度，熟练掌握相关基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：题目给出AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，刚好符合全等三角形判定中的“SAS”定理，直接代入对应条件即可完成证明。
(2)求∠ACE的度数时，先利用第(1)问的全等结论，得到对应边AC=AE、对应角∠DAE=∠BAC=60°，可知△ACE是顶角为60°的等腰三角形，再结合三角形内角和为180°、等腰三角形两底角相等的性质，即可计算出∠ACE的度数。
【解析】
(1)证明:在△ABC和△ADE中,
$\begin{cases} BC=DE, \\ ∠B=∠D, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE(SAS)。
(2)解:由(1)得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠AEC=∠ACE。
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=180°-60°=120°,
∴∠ACE=60°。
【答案】
(1)△ABC≌△ADE证明成立；
(2)$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，综合考查全等三角形的判定、性质以及等腰三角形的性质，解题核心是先通过已知条件证明三角形全等，再利用全等转化边角关系求解角度，熟练掌握相关基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC= （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
C
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
5.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用等边三角形的性质，结合“三线合一”求出∠DBC的度数；再根据题意可知DB=DE，即△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠ABC=60°
∵ BD是等边△ABC边AC上的高，根据等边三角形“三线合一”的性质，BD平分∠ABC
∴ ∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
由作图可知：DB=DE，即△BDE是等腰三角形
∴ ∠DEC=∠DBC=30°
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三线合一
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查特殊三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，理清角之间的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先利用等边三角形的性质，结合“三线合一”求出∠DBC的度数；再根据题意可知DB=DE，即△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠ABC=60°
∵ BD是等边△ABC边AC上的高，根据等边三角形“三线合一”的性质，BD平分∠ABC
∴ ∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
由作图可知：DB=DE，即△BDE是等腰三角形
∴ ∠DEC=∠DBC=30°
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三线合一
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查特殊三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，理清角之间的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.(2025·徐州期中)如图，△ABD是等边三角形，AC=AD，∠CBD=15°，则∠BDC的度数为（
A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
D
）A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
答案
6.D
解析
【分析】解题时先从等边三角形的性质入手，先得到相等的边和60°的内角，结合AC=AD推导得出AB=AC，确定△ABC为等腰三角形；再根据已知的∠CBD求出∠ABC的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠BAC，进而得到∠CAD的度数；接着判定△ACD为等腰三角形，求出∠ADC的度数，最后将∠ADB与∠ADC相加即可得到∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵△ABD是等边三角形
∴AB=AD=BD，∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°
∵AC=AD
∴AB=AC，△ABC为等腰三角形
∵∠CBD=15°
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°+15°=75°
∴∠ACB=∠ABC=75°
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-75°×2=30°
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=60°-30°=30°
∵AC=AD，△ACD为等腰三角形
∴∠ADC=(180°-∠CAD)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°+75°=135°
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】本题是等边三角形和等腰三角形性质的综合应用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的度数，理清各个角之间的关系是解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵△ABD是等边三角形
∴AB=AD=BD，∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°
∵AC=AD
∴AB=AC，△ABC为等腰三角形
∵∠CBD=15°
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°+15°=75°
∴∠ACB=∠ABC=75°
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-75°×2=30°
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=60°-30°=30°
∵AC=AD，△ACD为等腰三角形
∴∠ADC=(180°-∠CAD)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°+75°=135°
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】本题是等边三角形和等腰三角形性质的综合应用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的度数，理清各个角之间的关系是解题的关键。
【难度系数】0.7
7.(2025·宿迁宿城区期末)如图,在等边三角形ABC中,BC=8,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先利用等边三角形的性质得到三边长相等、各内角为60°，再结合D是AB中点求出AD的长度；接着在含有30°角的直角△ADF中，根据30°角所对直角边等于斜边一半求出AF的长度，进而得到FC的长度；同理在直角△FEC中求出EC的长度，最后用BC的长度减去EC即可得到BE的长。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BC=8，
∴AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠A=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴FC=AC-AF=8-2=6，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=90°，
在Rt△FEC中，∠CFE=90°-∠C=30°，
∴EC=$\frac{1}{2}$FC=3，
∴BE=BC-EC=8-3=5。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，线段的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查特殊三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握30°直角三角形的边的数量关系，按步骤逐步推导即可得到结果，是等边三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等边三角形的性质得到三边长相等、各内角为60°，再结合D是AB中点求出AD的长度；接着在含有30°角的直角△ADF中，根据30°角所对直角边等于斜边一半求出AF的长度，进而得到FC的长度；同理在直角△FEC中求出EC的长度，最后用BC的长度减去EC即可得到BE的长。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BC=8，
∴AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠A=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴FC=AC-AF=8-2=6，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=90°，
在Rt△FEC中，∠CFE=90°-∠C=30°，
∴EC=$\frac{1}{2}$FC=3，
∴BE=BC-EC=8-3=5。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，线段的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查特殊三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握30°直角三角形的边的数量关系，按步骤逐步推导即可得到结果，是等边三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
