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① 解不等式：
(1) $\frac{3}{4}x ＞ 12$；
(2) $-2x + 3 ≤ -1$。
(1) $\frac{3}{4}x ＞ 12$；
(2) $-2x + 3 ≤ -1$。
答案
1.(1)$x＞16$
(2)$x≥2$
(2)$x≥2$
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式的求解，解题思路与一元一次方程类似，核心是利用不等式的基本性质逐步将不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，需注意：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。
(1) 对于$\frac{3}{4}x＞12$，只需将x的系数化为1，两边同时乘正数$\frac{4}{3}$即可，不等号方向不变；
(2) 对于$-2x + 3 ≤ -1$，先移项合并常数项，再将x的系数化为1，此时系数为负数，需注意改变不等号方向。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{3}{4}x＞12$：
不等式两边同时乘$\frac{4}{3}$，不等号方向不变，得：
$x＞12×\frac{4}{3}$
计算得$x＞16$
(2) 解不等式$-2x + 3 ≤ -1$：
第一步，移项，将常数项移到不等号右侧，得：
$-2x ≤ -1 - 3$
合并同类项，得：
$-2x ≤ -4$
第二步，系数化为1，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x≥2$
【答案】
(1)$x＞16$；(2)$x≥2$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考查题型，解题的易错点是当不等式两边同时乘除负数时，容易忘记改变不等号方向，熟练掌握不等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次不等式的求解，解题思路与一元一次方程类似，核心是利用不等式的基本性质逐步将不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，需注意：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。
(1) 对于$\frac{3}{4}x＞12$，只需将x的系数化为1，两边同时乘正数$\frac{4}{3}$即可，不等号方向不变；
(2) 对于$-2x + 3 ≤ -1$，先移项合并常数项，再将x的系数化为1，此时系数为负数，需注意改变不等号方向。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{3}{4}x＞12$：
不等式两边同时乘$\frac{4}{3}$，不等号方向不变，得：
$x＞12×\frac{4}{3}$
计算得$x＞16$
(2) 解不等式$-2x + 3 ≤ -1$：
第一步，移项，将常数项移到不等号右侧，得：
$-2x ≤ -1 - 3$
合并同类项，得：
$-2x ≤ -4$
第二步，系数化为1，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x≥2$
【答案】
(1)$x＞16$；(2)$x≥2$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考查题型，解题的易错点是当不等式两边同时乘除负数时，容易忘记改变不等号方向，熟练掌握不等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
②已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边长分别为（
A.24cm和12cm
B.16cm和22cm
C.20cm和16cm
D.22cm和16cm
D
）A.24cm和12cm
B.16cm和22cm
C.20cm和16cm
D.22cm和16cm
答案
2.D
解析
【分析】
解题首先要运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD=BD。再结合两个三角形的周长条件，通过等量代换将△DBC的周长转化为AC+BC，再结合等腰三角形AB=AC的性质，找到两个周长的差值对应等腰三角形的腰长，进而分别求出腰长和底边长。
【解析】
∵AB的垂直平分线交AC于D
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD
已知△ABC是等腰三角形，AB=AC
△ABC的周长：$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=2AB+BC=60\mathrm{cm}$ ①
△DBC的周长：$C_{△ DBC}=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=AB+BC=38\mathrm{cm}$ ②
用①式减去②式可得：
$2AB+BC-(AB+BC)=60-38$
解得$AB=22\mathrm{cm}$
将$AB=22\mathrm{cm}$代入②式，得$22+BC=38$，解得$BC=16\mathrm{cm}$
即△ABC的腰长为22cm，底边长为16cm，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何周长计算的常见题型，核心是利用垂直平分线的性质做线段等量代换，将未知的周长表达式转化为已知的线段和，再通过方程思想求解线段长度，熟练掌握相关性质和等量代换方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题首先要运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD=BD。再结合两个三角形的周长条件，通过等量代换将△DBC的周长转化为AC+BC，再结合等腰三角形AB=AC的性质，找到两个周长的差值对应等腰三角形的腰长，进而分别求出腰长和底边长。
【解析】
∵AB的垂直平分线交AC于D
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD
已知△ABC是等腰三角形，AB=AC
△ABC的周长：$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=2AB+BC=60\mathrm{cm}$ ①
△DBC的周长：$C_{△ DBC}=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=AB+BC=38\mathrm{cm}$ ②
用①式减去②式可得：
$2AB+BC-(AB+BC)=60-38$
解得$AB=22\mathrm{cm}$
将$AB=22\mathrm{cm}$代入②式，得$22+BC=38$，解得$BC=16\mathrm{cm}$
即△ABC的腰长为22cm，底边长为16cm，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何周长计算的常见题型，核心是利用垂直平分线的性质做线段等量代换，将未知的周长表达式转化为已知的线段和，再通过方程思想求解线段长度，熟练掌握相关性质和等量代换方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
③ 关于x的不等式$3x - a ≤ 0$只有两个正整数解，则a的取值范围是（
A.$6 ＜ a ＜ 9$
B.$6 ≤ a ＜ 9$
C.$6 ≤ a ≤ 9$
D.$6 ＜ a ≤ 9$
B
）A.$6 ＜ a ＜ 9$
B.$6 ≤ a ＜ 9$
C.$6 ≤ a ≤ 9$
D.$6 ＜ a ≤ 9$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先求解一元一次不等式得到x的取值范围，再根据“只有两个正整数解”的条件确定这两个正整数解为1和2，最后根据正整数解的限制建立关于a的不等式组，求解即可得到a的取值范围，注意要准确判断边界值是否能取到。
【解析】
首先解不等式$3x - a ≤ 0$：
移项得$3x ≤ a$，
系数化为1得$x ≤ \frac{a}{3}$。
已知该不等式只有两个正整数解，因此这两个正整数解只能是1和2。
要保证只有这两个正整数解，需满足：$\frac{a}{3}$大于等于2（否则正整数解只有1个），且$\frac{a}{3}$小于3（否则正整数解会有1、2、3共3个），即：
$\begin{cases}\frac{a}{3} ≥ 2 \\\frac{a}{3} ＜ 3\end{cases}$
分别解两个不等式：
第一个不等式两边同乘3得$a ≥ 6$；
第二个不等式两边同乘3得$a ＜ 9$。
综上，a的取值范围是$6 ≤ a ＜ 9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的整数解应用
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式整数解的典型题型，解题核心是先求出含参数的不等式解集，再结合整数解的个数确定参数边界的取值范围，易错点是边界值的取舍判断，需代入验证避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解题时先求解一元一次不等式得到x的取值范围，再根据“只有两个正整数解”的条件确定这两个正整数解为1和2，最后根据正整数解的限制建立关于a的不等式组，求解即可得到a的取值范围，注意要准确判断边界值是否能取到。
【解析】
首先解不等式$3x - a ≤ 0$：
移项得$3x ≤ a$，
系数化为1得$x ≤ \frac{a}{3}$。
已知该不等式只有两个正整数解，因此这两个正整数解只能是1和2。
要保证只有这两个正整数解，需满足：$\frac{a}{3}$大于等于2（否则正整数解只有1个），且$\frac{a}{3}$小于3（否则正整数解会有1、2、3共3个），即：
$\begin{cases}\frac{a}{3} ≥ 2 \\\frac{a}{3} ＜ 3\end{cases}$
分别解两个不等式：
第一个不等式两边同乘3得$a ≥ 6$；
第二个不等式两边同乘3得$a ＜ 9$。
综上，a的取值范围是$6 ≤ a ＜ 9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的整数解应用
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式整数解的典型题型，解题核心是先求出含参数的不等式解集，再结合整数解的个数确定参数边界的取值范围，易错点是边界值的取舍判断，需代入验证避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
④如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24 cm，△OAB的周长是18cm，则EF=
3
cm. 答案
4.3
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可以先算出OA与OB的长度和；再结合△OAB的周长，就能求出AB的长度；最后观察到E、F分别是AO、BO的中点，符合三角形中位线的判定条件，利用三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$
2. 已知$AC+BD=24\mathrm{cm}$，代入可得：
$OA+OB=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×24=12\mathrm{cm}$
3. 已知$△ OAB$的周长是$18\mathrm{cm}$，即$OA+OB+AB=18\mathrm{cm}$，因此：
$AB=18-(OA+OB)=18-12=6\mathrm{cm}$
4. 因为E、F分别是AO、BO的中点，所以EF是$△ OAB$的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得：
$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础题，核心是对平行四边形对角线性质和三角形中位线定理的应用，解题的关键点是先通过周长关系求出AB的长度，再利用中位线性质得到EF的长度，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可以先算出OA与OB的长度和；再结合△OAB的周长，就能求出AB的长度；最后观察到E、F分别是AO、BO的中点，符合三角形中位线的判定条件，利用三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$
2. 已知$AC+BD=24\mathrm{cm}$，代入可得：
$OA+OB=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×24=12\mathrm{cm}$
3. 已知$△ OAB$的周长是$18\mathrm{cm}$，即$OA+OB+AB=18\mathrm{cm}$，因此：
$AB=18-(OA+OB)=18-12=6\mathrm{cm}$
4. 因为E、F分别是AO、BO的中点，所以EF是$△ OAB$的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得：
$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础题，核心是对平行四边形对角线性质和三角形中位线定理的应用，解题的关键点是先通过周长关系求出AB的长度，再利用中位线性质得到EF的长度，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
