1. 到圆心的距离不大于半径的点的集合是 （）

A.圆的外部
B.圆的内部
C.圆
D.圆的内部和圆

1. D

【分析】
解题时首先明确“不大于”的数学含义是小于或等于，再结合点与圆的位置关系的判定规则对应分析：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，点和圆的位置关系共三种：d＞r对应圆外，d=r对应圆上（即圆本身），d＜r对应圆内。题目要求d≤r的点的集合，只需将d＜r和d=r对应的点的范围合并，即可得出结果。
【解析】
设圆的半径为r，任意一点到圆心的距离为d。
根据点与圆的位置关系判定规则：
1. 当d ＞ r时，点在圆的外部；
2. 当d = r时，点在圆上，也就是圆本身；
3. 当d ＜ r时，点在圆的内部。
题干中“到圆心的距离不大于半径”即满足d ≤ r，包含d ＜ r和d = r两种情况，对应的点的集合就是圆的内部和圆。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是忽略“不大于”包含等于的情况，遗漏距离等于半径的圆上的点，误选B选项，掌握点和圆的三种位置关系的判定即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

2. (2024·台湾)△ABC中，∠B=55°，∠C=65°.今分别以B，C为圆心，BC长为半径画圆B，圆C，关于A点位置，下列叙述正确的是 （）

A.在圆B外部，在圆C内部
B.在圆B外部，在圆C外部
C.在圆B内部，在圆C内部
D.在圆B内部，在圆C外部

2. A

【分析】
要判断点A与圆B、圆C的位置关系，首先明确点与圆的位置关系判断规则：点到圆心的距离d＞半径r时，点在圆外；d=r时，点在圆上；d＜r时，点在圆内。本题中圆B、圆C的半径均为BC，因此只需分别比较AB与BC、AC与BC的长度大小即可。首先利用三角形内角和求出∠A的度数，再结合三角形“大角对大边”的性质比较线段长度，就能得出结论。
【解析】
1. 计算∠A的度数：
根据三角形内角和为180°，可得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-55°-65°=60°$。
2. 利用大角对大边比较线段长度：
在$△ ABC$中，∠C对边为AB，∠A对边为BC，∠B对边为AC。
① 因为$∠ C=65°＞∠ A=60°$，所以$AB＞BC$，即点A到圆心B的距离大于圆B的半径BC，因此点A在圆B外部。
② 因为$∠ B=55°＜∠ A=60°$，所以$AC＜BC$，即点A到圆心C的距离小于圆C的半径BC，因此点A在圆C内部。
综上，点A在圆B外部，在圆C内部，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；三角形内角和定理；三角形大角对大边
【点评】
本题将点和圆的位置关系与三角形基础性质结合考查，解题核心是把点的位置判断转化为线段长度的比较，熟练掌握三角形边角对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.75

3. 已知$\odot O$的半径为$r=5$，点$P$和圆心$O$之间的距离为$d$，且方程$x^2 - \sqrt{5}x + \frac{d}{4}=0$没有实数根.则点$P$与$\odot O$的位置关系是（）

A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.不能确定

3. C

【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是先求出点P到圆心的距离$d$的取值范围，再和半径$r=5$比较。首先根据方程没有实数根的条件，利用一元二次方程根的判别式列不等式，解出$d$的范围后，再结合点与圆位置关系的判定规则即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当根的判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 - \sqrt{5}x + \frac{d}{4}=0$中，$a=1$，$b=-\sqrt{5}$，$c=\frac{d}{4}$，因此：
$\Delta=(-\sqrt{5})^2 - 4×1×\frac{d}{4}=5-d$
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，即：
$5-d＜0$
解得$d＞5$
已知$\odot O$的半径$r=5$，因此$d＞r$，根据点与圆的位置关系判定规则，可知点P在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的判定和几何中点与圆的位置关系结合考查，解题关键是熟练掌握两个知识点的性质，运算难度较低。
【难度系数】
0.7

4. 在矩形ABCD中，AB=8，BC=3√5，点P在边AB上，且BP=3AP，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点B，C均在⊙P外
B.点B在⊙P外，点C在⊙P内
C.点B在⊙P内，点C在⊙P外
D.点B，C均在⊙P内

4. C

【分析】要判断点B、C与⊙P的位置关系，需根据“点到圆心的距离d与半径r的大小关系”判定：d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外。解题步骤如下：①先根据AB的长度和BP=3AP的关系，求出AP、BP的长度；②结合矩形的直角性质，用勾股定理分别算出半径PD的长度，以及点B、C到点P的距离；③将各距离与半径PD比较，即可得出结论。
【解析】
解：
∵AB=8，BP=3AP，
∴AP + 3AP = 8，解得AP=2，BP=6。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=3√5。
在Rt△APD中，由勾股定理得：
PD² = AP² + AD² = 2² + (3√5)² = 4 + 45 = 49，
∴⊙P的半径r=PD=7。
∵PB=6 ＜ 7，
∴点B在⊙P内。
在Rt△PBC中，由勾股定理得：
PC² = BP² + BC² = 6² + (3√5)² = 36 + 45 = 81，
∴PC=9 ＞ 7，
∴点C在⊙P外。
综上，点B在⊙P内，点C在⊙P外，故选C。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题核心是熟练掌握点与圆位置关系的判定方法，结合勾股定理准确计算各线段长度即可求解，是这类题型的典型考法。
【难度系数】0.7

5. 如图，$\odot O$和直线$l$相交于$A,B$两点，半径$r$为10 cm，$OC⊥ l$于点$C$，$OC=6$ cm，点$P$在直线$l$上. 请根据以下条件分别说明点$P$与$\odot O$的位置关系：
(1) $PC=4$ cm；(2) $PC=8$ cm；(3) $PC=10$ cm.

5. (1) 点$P$在$\odot O$内 (2) 点$P$在$\odot O$上 (3) 点$P$在$\odot O$外

【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是比较点P到圆心O的距离OP与圆半径$r=10\ \mathrm{cm}$的大小：若$OP＜r$，点在圆内；若$OP=r$，点在圆上；若$OP＞r$，点在圆外。已知$OC⊥ l$，因此$△ OCP$是直角三角形，可通过勾股定理，结合已知的$OC=6\ \mathrm{cm}$和不同的PC长度计算OP的长度，再和半径比较即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$半径$r=10\ \mathrm{cm}$，$\because OC⊥ l$，$\therefore ∠ OCP=90°$，在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，由勾股定理可得：$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}$，其中$OC=6\ \mathrm{cm}$。
(1) 当$PC=4\ \mathrm{cm}$时：
$OP=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\ \mathrm{cm}$，
$\because \sqrt{52}＜10$，即$OP＜r$，
$\therefore$点P在$\odot O$内；
(2) 当$PC=8\ \mathrm{cm}$时：
$OP=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$，
$\because OP=r$，
$\therefore$点P在$\odot O$上；
(3) 当$PC=10\ \mathrm{cm}$时：
$OP=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}\ \mathrm{cm}$，
$\because \sqrt{136}＞10$，即$OP＞r$，
$\therefore$点P在$\odot O$外。
【答案】
(1) 点$P$在$\odot O$内 (2) 点$P$在$\odot O$上 (3) 点$P$在$\odot O$外
【知识点】
点与圆的位置关系判定、勾股定理、垂直的性质
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是明确位置关系的判定规则，结合勾股定理求出点到圆心的距离，再与半径比较即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8

6. 如图,已知在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=10$,$BC=8$,$CD⊥ AB$于点$D$,$O$为$AB$的中点.
(1) 以点$C$为圆心,6为半径作$\odot C$,试判断点$A$,$D$,$B$与$\odot C$的位置关系;
(2) 当$\odot C$的半径为多少时,点$D$在$\odot C$上?

6. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°,AB=10,BC=8$,由勾股定理得:$AC=6$,由三角形面积公式得:$\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CD. \because AB=10,AC=6,BC=8,\therefore CD=4.8.$
(1) $\because AC=6,\therefore$ 点A在圆上,$\because BC=8＞6,\therefore$ 点B在圆外. $\because CD=4.8＜6,\therefore$ 点D在圆内.
(2) $\because CD=4.8,\therefore \odot C$的半径为4.8时,点D在$\odot C$上.

【分析】
判断点与圆的位置关系的核心是比较点到圆心的距离和圆半径的大小：距离等于半径时，点在圆上；距离大于半径时，点在圆外；距离小于半径时，点在圆内。因此首先需要求出点A、B、D到圆心C的距离：先在Rt△ABC中用勾股定理计算AC的长度，再用直角三角形等面积法计算斜边上的高CD的长度，BC为已知条件，将三个距离分别和半径比较即可解决第(1)问；第(2)问根据点在圆上的条件，半径等于点到圆心的距离，直接取CD的长度即可。
【解析】
首先计算所需线段长度：
在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AB=10$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
由三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，代入$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×CD$，解得$CD=4.8$
(1) 已知$\odot C$的半径为6：
$\because AC=6$，等于半径，$\therefore$点A在$\odot C$上；
$\because BC=8＞6$，大于半径，$\therefore$点B在$\odot C$外；
$\because CD=4.8＜6$，小于半径，$\therefore$点D在$\odot C$内。
(2) 若点D在$\odot C$上，则$\odot C$的半径等于CD的长度，即半径为4.8。
【答案】
(1) 点A在$\odot C$上，点B在$\odot C$外，点D在$\odot C$内；
(2) 当$\odot C$的半径为4.8时，点D在$\odot C$上。
【知识点】
勾股定理，点与圆的位置关系，等面积法求高
【点评】
本题是基础题型，考察点与圆位置关系的判定规则，结合直角三角形的性质计算相关线段长度即可求解，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.8

7. 如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以点A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为 ()

A.$2\sqrt{2}＜r＜\sqrt{17}$
B.$\sqrt{17}＜r≤3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17}＜r＜5$
D.$5＜r＜\sqrt{29}$

7. B

【分析】
解决本题的核心是利用点与圆的位置关系判断规则：点到圆心的距离$d＜r$时，点在圆内；$d=r$时，点在圆上；$d＞r$时，点在圆外。解题时首先用勾股定理计算所有除A外的格点到A的距离，再对距离进行排序，要恰好3个点在圆内，就需要保证$r$大于这3个点的距离，同时小于等于第4个点的距离，确保第4个及更远处的点不在圆内，即可得到$r$的取值范围。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各格点到点A的距离，从小到大排列为：$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$，$3\sqrt{2}$，$5$，$5$，$\sqrt{29}$。
要使得除点A外恰好有3个格点在圆内，即距离A小于$r$的格点恰好有3个：
当$r＞\sqrt{17}$时，距离为$\sqrt{17}$的3个格点满足$d＜r$，在圆内；
当$r≤3\sqrt{2}$时，距离为$3\sqrt{2}$及更远的格点满足$d≥r$，不在圆内。
综上，$r$的取值范围为$\sqrt{17}＜r≤3\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题需要结合勾股定理计算点到圆心的距离，再根据点与圆的位置关系确定半径的取值范围，解题时注意区分圆内和圆上的点，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.6