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8. 若方程$2x^2 - 12x - 10 = 0$用配方法可配成$(x + p)^2 = q$的形式，则直线$y = px + q$不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C 将方程$2x^2 - 12x - 10 = 0$两边同除以2,得$x^2 - 6x - 5 = 0$,配方,得$(x-3)^2 = 14$,$\therefore p = -3 ＜ 0$,$q = 14 ＞ 0$,$\therefore$ 直线$y = px + q$经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
9. 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$b+c=8, bc = a^2 -12a +52$,则$△ ABC$的周长等于
14
。答案
14 因为$b+c=8$,所以$b = 8 - c$. 又因为$bc = a^2 -12a +52$,所以$(8 - c)c = a^2 -12a +52$,整理,得$a^2 -12a + c^2 -8c +52 = 0$,配方,得$(a-6)^2 + (c-4)^2 = 0$,所以$a-6=0$,$c-4=0$,解得$a=6$,$c=4$,所以$b=8-4=4$,则$△ ABC$的周长等于$6+4+4=14$.
10. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a,b,c是常数,a≠0)$配方后为$(x - 2)^2 = d(d是常数)$,则$\frac{b}{a} =$
-4
.答案
-4 方程$ax^2 + bx + c = 0$配方,得$a(x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a}$,$\therefore \dfrac{b}{2a} = -2$,$\therefore \dfrac{b}{a} = -4$.
11. 配方法解一元二次方程 $ ax^2 + bx - c = 0(a ≠ 0,c＞0) $ 得到 $ (x - c)^2 = 4c^2 $，若方程有一实数根为1，则 $ a - 3b = \underline{\hspace{5cm}} $。
答案
3 由$(x - c)^2 = 4c^2$,得$x - c = \pm 2c$,$\therefore x = c \pm 2c$,即$x = -c$或$x = 3c$. $\because$ 方程有一实数根为1,且$c＞0$,$\therefore 3c=1$,即$c=\dfrac{1}{3}$,$\therefore$ 原方程为$(x - \dfrac{1}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$,整理,得$x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$,$\therefore a=1$,$b=-\dfrac{2}{3}$,$\therefore a - 3b = 1 + 2 = 3$.
12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 3x^2 - 6x + 3p = 0 $，其中 $ p $ 是常数. 请用配方法解这个一元二次方程.
答案
解:方程两边都除以3,得$x^2 - 2x + p = 0$.
移项,得$x^2 - 2x = -p$.
配方,得$x^2 - 2x + 1 = 1 - p$,即$(x-1)^2 = 1 - p$.
①当$1-p＞0$,即$p＜1$时,$x - 1 = \pm \sqrt{1-p}$,
所以$x_1 = 1 + \sqrt{1-p}$,$x_2 = 1 - \sqrt{1-p}$;
②当$1-p=0$,即$p=1$时,$(x-1)^2 = 0$,所以$x_3 = x_4 = 1$;
③当$1-p＜0$,即$p＞1$时,原方程无实数根.
移项,得$x^2 - 2x = -p$.
配方,得$x^2 - 2x + 1 = 1 - p$,即$(x-1)^2 = 1 - p$.
①当$1-p＞0$,即$p＜1$时,$x - 1 = \pm \sqrt{1-p}$,
所以$x_1 = 1 + \sqrt{1-p}$,$x_2 = 1 - \sqrt{1-p}$;
②当$1-p=0$,即$p=1$时,$(x-1)^2 = 0$,所以$x_3 = x_4 = 1$;
③当$1-p＜0$,即$p＞1$时,原方程无实数根.
13. 模型观念 先阅读下面的例题,再按要求解答后面的问题.
例题:求代数式$2x^2 +4x +8$的最小值.
解:因为$2x^2 +4x +8 =2(x^2 +2x +1)+6=2(x+1)^2 +6≥6$,
所以当$x=-1$时,代数式$2x^2 +4x +8$取得最小值,最小值是6.
类题讲解
(1)求代数式$\frac{1}{2}m^2 +2m +3$的最小值.
(2)拓展:求代数式$-m^2 +3m +\frac{3}{4}$的最大值.
(3)应用:某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20 m的栅栏围成.如图,设AB = y m,请问:当y取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
例题:求代数式$2x^2 +4x +8$的最小值.
解:因为$2x^2 +4x +8 =2(x^2 +2x +1)+6=2(x+1)^2 +6≥6$,
所以当$x=-1$时,代数式$2x^2 +4x +8$取得最小值,最小值是6.
类题讲解
(1)求代数式$\frac{1}{2}m^2 +2m +3$的最小值.
(2)拓展:求代数式$-m^2 +3m +\frac{3}{4}$的最大值.
(3)应用:某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20 m的栅栏围成.如图,设AB = y m,请问:当y取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
答案
解:(1)$\dfrac{1}{2}m^2 + 2m + 3 = \dfrac{1}{2}(m^2 + 4m + 4) + 1 = \dfrac{1}{2}(m+2)^2 + 1 \ge 1$,
所以当$m=-2$时,代数式$\dfrac{1}{2}m^2 + 2m + 3$取得最小值,最小值是1.
(2)$-m^2 + 3m + \dfrac{3}{4} = -(m^2 - 3m + \dfrac{9}{4}) + \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} = -(m - \dfrac{3}{2})^2 + 3 \le 3$,
所以当$m = \dfrac{3}{2}$时,代数式$-m^2 + 3m + \dfrac{3}{4}$取得最大值,最大值是3.
(3)由题意,得花园的面积是$y(20-2y) = (-2y^2 + 20y)(\mathrm{m}^2)$.
因为$-2y^2 + 20y = -2(y-5)^2 + 50 \le 50$,
所以当$y=5$时,代数式$-2y^2 + 20y$取得最大值,最大值为50,
此时$20-2y = 10 ＜ 15$,符合题意.
所以当$y=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50\ \mathrm{m}^2$.
所以当$m=-2$时,代数式$\dfrac{1}{2}m^2 + 2m + 3$取得最小值,最小值是1.
(2)$-m^2 + 3m + \dfrac{3}{4} = -(m^2 - 3m + \dfrac{9}{4}) + \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} = -(m - \dfrac{3}{2})^2 + 3 \le 3$,
所以当$m = \dfrac{3}{2}$时,代数式$-m^2 + 3m + \dfrac{3}{4}$取得最大值,最大值是3.
(3)由题意,得花园的面积是$y(20-2y) = (-2y^2 + 20y)(\mathrm{m}^2)$.
因为$-2y^2 + 20y = -2(y-5)^2 + 50 \le 50$,
所以当$y=5$时,代数式$-2y^2 + 20y$取得最大值,最大值为50,
此时$20-2y = 10 ＜ 15$,符合题意.
所以当$y=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50\ \mathrm{m}^2$.
