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7.如图所示的是将三角形绕直线$ l $旋转一周得到的立体图形，则旋转的三角形是下列选项中的（
A
B
C
D
B
）。A
B
C
D
答案
7.B
解析
【分析】
首先观察已知立体图形，它是由两个底面完全重合的圆锥拼接而成的。根据“面动成体”的原理，我们知道直角三角形绕它的一条直角边旋转一周会形成圆锥。要得到两个底对底的圆锥，说明旋转的平面图形绕直线l旋转后，能分别生成上下两个圆锥：即这个平面图形可拆分为两个有公共直角边（该公共直角边垂直于旋转轴l）的直角三角形，且两个直角三角形的另一条直角边都在直线l上，对应上下两个圆锥的高。接下来逐一分析选项：
1. 选项A：等腰三角形绕对称轴l旋转，仅能得到1个圆锥，不符合要求；
2. 选项B：该三角形有两个顶点在直线l上，过右侧顶点向l作垂线，可将其分为上下两个符合要求的直角三角形，旋转后恰好得到两个底重合的圆锥，符合立体图形特征；
3. 选项C：直角三角形绕l旋转仅得到1个圆锥，不符合；
4. 选项D：直角三角形与l有间距，旋转后得到的几何体不符合要求。
【解析】
首先明确目标立体图形是两个底面重合的圆锥组合体：
1. 圆锥的形成规律：直角三角形绕自身一条直角边旋转一周得到圆锥，圆锥的高为作为旋转轴的直角边，底面半径为另一条直角边的长度。
2. 逐一判断选项：
A选项：等腰三角形绕l旋转，仅生成1个圆锥，与题图立体图形不符，排除；
B选项：该三角形可分割为上下两个直角三角形，二者的公共直角边垂直于l，另外两条直角边均在l上。绕l旋转时，上下两个直角三角形各生成1个圆锥，且两个圆锥的底面是公共直角边旋转得到的同一个圆，即形成两个底重合的圆锥，与题图一致；
C选项：直角三角形绕l旋转仅生成1个圆锥，不符合要求，排除；
D选项：直角三角形与l不接触，旋转后得到的几何体不是两个底重合的圆锥，排除。
【答案】
B
【知识点】
面动成体，圆锥的形成
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的规律，解题关键是熟悉常见立体图形的形成过程，结合目标几何体的特征反向推导旋转前的平面图形。
【难度系数】
0.7
首先观察已知立体图形，它是由两个底面完全重合的圆锥拼接而成的。根据“面动成体”的原理，我们知道直角三角形绕它的一条直角边旋转一周会形成圆锥。要得到两个底对底的圆锥，说明旋转的平面图形绕直线l旋转后，能分别生成上下两个圆锥：即这个平面图形可拆分为两个有公共直角边（该公共直角边垂直于旋转轴l）的直角三角形，且两个直角三角形的另一条直角边都在直线l上，对应上下两个圆锥的高。接下来逐一分析选项：
1. 选项A：等腰三角形绕对称轴l旋转，仅能得到1个圆锥，不符合要求；
2. 选项B：该三角形有两个顶点在直线l上，过右侧顶点向l作垂线，可将其分为上下两个符合要求的直角三角形，旋转后恰好得到两个底重合的圆锥，符合立体图形特征；
3. 选项C：直角三角形绕l旋转仅得到1个圆锥，不符合；
4. 选项D：直角三角形与l有间距，旋转后得到的几何体不符合要求。
【解析】
首先明确目标立体图形是两个底面重合的圆锥组合体：
1. 圆锥的形成规律：直角三角形绕自身一条直角边旋转一周得到圆锥，圆锥的高为作为旋转轴的直角边，底面半径为另一条直角边的长度。
2. 逐一判断选项：
A选项：等腰三角形绕l旋转，仅生成1个圆锥，与题图立体图形不符，排除；
B选项：该三角形可分割为上下两个直角三角形，二者的公共直角边垂直于l，另外两条直角边均在l上。绕l旋转时，上下两个直角三角形各生成1个圆锥，且两个圆锥的底面是公共直角边旋转得到的同一个圆，即形成两个底重合的圆锥，与题图一致；
C选项：直角三角形绕l旋转仅生成1个圆锥，不符合要求，排除；
D选项：直角三角形与l不接触，旋转后得到的几何体不是两个底重合的圆锥，排除。
【答案】
B
【知识点】
面动成体，圆锥的形成
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的规律，解题关键是熟悉常见立体图形的形成过程，结合目标几何体的特征反向推导旋转前的平面图形。
【难度系数】
0.7
8.将半圆绕它的直径所在直线旋转$360°$，形成的几何体是（
A.圆柱
B.圆锥
C.正方体
D.球
D
）。A.圆柱
B.圆锥
C.正方体
D.球
答案
8.D
解析
【分析】
这道题考查面动成体的原理，解题时先结合所学的平面图形旋转形成立体图形的规律，逐一分析各选项对应的旋转生成条件，再匹配题目中“半圆绕直径所在直线旋转360°”的要求即可得出答案。首先要明确：不同平面图形绕指定轴旋转得到的立体图形是固定的，我们可以先回忆常见立体图形的形成方式，再和题干条件对应排除错误选项。
【解析】
根据“面动成体”的规律逐一分析选项：
1. 选项A：圆柱是由长方形绕它的一条边所在直线旋转360°形成的，不符合题意；
2. 选项B：圆锥是由直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转360°形成的，不符合题意；
3. 选项C：正方体是多面体，无法通过平面图形旋转得到，不符合题意；
4. 选项D：半圆上任意一点到直径（旋转轴）中点的距离都等于半圆的半径，绕直径旋转360°后，得到的几何体上所有点到该中点的距离都相等，正好是球的特征，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
面动成体；立体图形的形成
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考察对面动成体规律的理解和应用，只要熟记常见立体图形对应的平面旋转生成方式，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查面动成体的原理，解题时先结合所学的平面图形旋转形成立体图形的规律，逐一分析各选项对应的旋转生成条件，再匹配题目中“半圆绕直径所在直线旋转360°”的要求即可得出答案。首先要明确：不同平面图形绕指定轴旋转得到的立体图形是固定的，我们可以先回忆常见立体图形的形成方式，再和题干条件对应排除错误选项。
【解析】
根据“面动成体”的规律逐一分析选项：
1. 选项A：圆柱是由长方形绕它的一条边所在直线旋转360°形成的，不符合题意；
2. 选项B：圆锥是由直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转360°形成的，不符合题意；
3. 选项C：正方体是多面体，无法通过平面图形旋转得到，不符合题意；
4. 选项D：半圆上任意一点到直径（旋转轴）中点的距离都等于半圆的半径，绕直径旋转360°后，得到的几何体上所有点到该中点的距离都相等，正好是球的特征，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
面动成体；立体图形的形成
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考察对面动成体规律的理解和应用，只要熟记常见立体图形对应的平面旋转生成方式，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
9.一个长方形的长为4 cm，宽为2 cm，将这个长方形绕一边旋转一周后得到的几何体的体积是
16π cm³ 或 32π cm³
。（结果保留π）答案
9.$16π\ \mathrm{cm}^3$ 或 $32π\ \mathrm{cm}^3$
解析
【分析】
解决本题首先要明确“面动成体”的原理，长方形绕任意一边旋转一周得到的几何体是圆柱。由于题目未指定旋转轴是长还是宽，因此需要分两种情况讨论：分别以长方形的长、宽为旋转轴，确定对应情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
长方形绕一边旋转一周得到的几何体是圆柱，圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（其中$r$为底面半径，$h$为圆柱的高），分两种情况计算：
1. 绕长所在的直线旋转：
此时圆柱的高$h=4\ \mathrm{cm}$，底面半径$r=2\ \mathrm{cm}$，
体积$V_1=π× 2^2× 4=16π\ \mathrm{cm}^3$。
2. 绕宽所在的直线旋转：
此时圆柱的高$h=2\ \mathrm{cm}$，底面半径$r=4\ \mathrm{cm}$，
体积$V_2=π× 4^2× 2=32π\ \mathrm{cm}^3$。
综上，得到的几何体的体积为$16π\ \mathrm{cm}^3$或$32π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
$16π\ \mathrm{cm}^3$ 或 $32π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
1. 面动成体
2. 圆柱体积计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略未指定旋转轴的条件，只计算其中一种旋转情况导致漏解，解题时遇到这类没有明确限定条件的题目，要注意分析所有可能的情况，避免遗漏答案。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确“面动成体”的原理，长方形绕任意一边旋转一周得到的几何体是圆柱。由于题目未指定旋转轴是长还是宽，因此需要分两种情况讨论：分别以长方形的长、宽为旋转轴，确定对应情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
长方形绕一边旋转一周得到的几何体是圆柱，圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（其中$r$为底面半径，$h$为圆柱的高），分两种情况计算：
1. 绕长所在的直线旋转：
此时圆柱的高$h=4\ \mathrm{cm}$，底面半径$r=2\ \mathrm{cm}$，
体积$V_1=π× 2^2× 4=16π\ \mathrm{cm}^3$。
2. 绕宽所在的直线旋转：
此时圆柱的高$h=2\ \mathrm{cm}$，底面半径$r=4\ \mathrm{cm}$，
体积$V_2=π× 4^2× 2=32π\ \mathrm{cm}^3$。
综上，得到的几何体的体积为$16π\ \mathrm{cm}^3$或$32π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
$16π\ \mathrm{cm}^3$ 或 $32π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
1. 面动成体
2. 圆柱体积计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略未指定旋转轴的条件，只计算其中一种旋转情况导致漏解，解题时遇到这类没有明确限定条件的题目，要注意分析所有可能的情况，避免遗漏答案。
【难度系数】
0.7
10.【综合与实践】如图,在直角三角形ABC中,已知AC的长是4 cm,BC的长是3 cm,AB的长是5 cm,求:
(1)以AC边所在直线为轴旋转360°后得到的几何图形的体积(如图①);
(2)以AB边所在直线为轴旋转360°后得到的几何图形的体积(如图②)。
(结果保留π)
(1)以AC边所在直线为轴旋转360°后得到的几何图形的体积(如图①);
(2)以AB边所在直线为轴旋转360°后得到的几何图形的体积(如图②)。
(结果保留π)
答案
10.解:(1)以 AC 边所在直线为轴旋转 360°后得到的几何图形的体积: $\frac{1}{3}×π×3^2×4=12π(\mathrm{cm}^3)$。
(2)以 AB 边所在直线为轴旋转 360°后得到的几何图形为两个共底面的圆锥,两圆锥的高分别为 OA,OB,底面圆的半径是 OC。由等面积法,得 $OC=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{cm})$,此几何图形的体积: $\frac{1}{3}×π×2.4^2×5=\frac{48}{5}π(\mathrm{cm}^3)$。
(2)以 AB 边所在直线为轴旋转 360°后得到的几何图形为两个共底面的圆锥,两圆锥的高分别为 OA,OB,底面圆的半径是 OC。由等面积法,得 $OC=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{cm})$,此几何图形的体积: $\frac{1}{3}×π×2.4^2×5=\frac{48}{5}π(\mathrm{cm}^3)$。
解析
【分析】
(1) 首先判断以AC为轴旋转360°得到的几何体是圆锥：AC作为旋转轴是圆锥的高，垂直于AC的BC是圆锥的底面半径，直接代入圆锥体积公式计算即可。
(2) 以AB为轴旋转360°得到的是两个底面重合的圆锥组合体：两个圆锥的高之和等于AB的长度，底面半径是直角三角形ABC斜边AB上的高OC，首先用等面积法求出OC的长度，再将两个圆锥的体积相加（高之和为AB，可合并计算）得到总体积。
【解析】
(1) 以AC边所在直线为轴旋转360°，得到底面半径$r=BC=3\mathrm{cm}$，高$h=AC=4\mathrm{cm}$的圆锥，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$，代入得：
$V=\frac{1}{3}×π×3^2×4=12π(\mathrm{cm}^3)$。
(2) 以AB边所在直线为轴旋转360°，得到两个共底面的圆锥组合体，两圆锥的高分别为OA、OB，且$OA+OB=AB=5\mathrm{cm}$，底面圆半径为斜边上的高OC。
根据直角三角形面积的两种计算方法：$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AB×OC$，代入数值解得：
$OC=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{cm})$。
组合体的体积为两个圆锥体积之和：
$V=\frac{1}{3}×π×OC^2×OA + \frac{1}{3}×π×OC^2×OB = \frac{1}{3}×π×OC^2×(OA+OB)$
代入$OA+OB=5\mathrm{cm}$，$OC=2.4\mathrm{cm}$得：
$V=\frac{1}{3}×π×2.4^2×5=\frac{48}{5}π(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1) $\boxed{12π\mathrm{cm}^3}$
(2) $\boxed{\frac{48}{5}π\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
圆锥体积计算，面动成体，等面积法求高
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的识别及相关体积计算，解题关键是准确判断旋转后得到的几何体形状，找准对应底面半径和高的数值，第二问借助等面积法求斜边上的高是解题的突破口。
【难度系数】
0.65
(1) 首先判断以AC为轴旋转360°得到的几何体是圆锥：AC作为旋转轴是圆锥的高，垂直于AC的BC是圆锥的底面半径，直接代入圆锥体积公式计算即可。
(2) 以AB为轴旋转360°得到的是两个底面重合的圆锥组合体：两个圆锥的高之和等于AB的长度，底面半径是直角三角形ABC斜边AB上的高OC，首先用等面积法求出OC的长度，再将两个圆锥的体积相加（高之和为AB，可合并计算）得到总体积。
【解析】
(1) 以AC边所在直线为轴旋转360°，得到底面半径$r=BC=3\mathrm{cm}$，高$h=AC=4\mathrm{cm}$的圆锥，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$，代入得：
$V=\frac{1}{3}×π×3^2×4=12π(\mathrm{cm}^3)$。
(2) 以AB边所在直线为轴旋转360°，得到两个共底面的圆锥组合体，两圆锥的高分别为OA、OB，且$OA+OB=AB=5\mathrm{cm}$，底面圆半径为斜边上的高OC。
根据直角三角形面积的两种计算方法：$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AB×OC$，代入数值解得：
$OC=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{cm})$。
组合体的体积为两个圆锥体积之和：
$V=\frac{1}{3}×π×OC^2×OA + \frac{1}{3}×π×OC^2×OB = \frac{1}{3}×π×OC^2×(OA+OB)$
代入$OA+OB=5\mathrm{cm}$，$OC=2.4\mathrm{cm}$得：
$V=\frac{1}{3}×π×2.4^2×5=\frac{48}{5}π(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1) $\boxed{12π\mathrm{cm}^3}$
(2) $\boxed{\frac{48}{5}π\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
圆锥体积计算，面动成体，等面积法求高
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的识别及相关体积计算，解题关键是准确判断旋转后得到的几何体形状，找准对应底面半径和高的数值，第二问借助等面积法求斜边上的高是解题的突破口。
【难度系数】
0.65
11.【数学游戏】把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面是现成的，所以其他三个面必须用刀切3次才能切出来。那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切几次？为什么？
答案
11.解:要把一个正方体分割成 27 个小正方体,至少需要用刀切 6 次。因为最中间的 1 个小正方体的六个面都不是现成的,所以这六个面必须用刀切 6 次才能切出来,所以至少切 6 次。
解析
【分析】
我们可以从两个方向梳理解题思路：第一，从切割规律入手，正方体的切割都是沿长、宽、高3个互相垂直的方向进行的，要得到27个小正方体，27=3×3×3，说明每个方向都要把大正方体分成3等份，而将1条线段分成n份需要切(n-1)次，就能计算总切割次数；第二，从特殊小正方体的特征入手，27个小正方体中最中间的那个，没有任何一个面来自原来大正方体的表面，6个面都需要用刀切出来，每一刀最多只能切出这个小正方体的1个面，由此可直接判断最少切割次数，两种思路可互相验证。
【解析】
解：首先，27个小正方体在大正方体内呈3×3×3的排列形式。
正方体的切割沿长、宽、高三个互相垂直的方向进行，若要将一个方向的棱长分成3等份，需要切割的次数为3-1=2次，三个方向总共需要切割的次数为2×3=6次。
我们也可通过中间小正方体的特征验证：27个小正方体中最中心的1个小正方体，六个面都不是原来大正方体的表面，每个面都必须通过刀切才能形成，每一刀最多只能切出这个小正方体的1个面，所以至少需要切6次才能得到这6个面，无法用更少的次数完成分割。
【答案】
要把一个正方体分割成 27 个小正方体,至少需要用刀切 6 次。因为最中间的 1 个小正方体的六个面都不是现成的,所以这六个面必须用刀切 6 次才能切出来,所以至少切 6 次。
【知识点】
正方体的分割、空间想象能力、立体图形特征
【点评】
这道题需要结合立体图形的结构特点分析，避免盲目猜测切割次数，既可以按三个切割方向分别计算次数求和，也可以通过分析特殊位置小正方体的面的来源快速得出结论，能有效锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.6
我们可以从两个方向梳理解题思路：第一，从切割规律入手，正方体的切割都是沿长、宽、高3个互相垂直的方向进行的，要得到27个小正方体，27=3×3×3，说明每个方向都要把大正方体分成3等份，而将1条线段分成n份需要切(n-1)次，就能计算总切割次数；第二，从特殊小正方体的特征入手，27个小正方体中最中间的那个，没有任何一个面来自原来大正方体的表面，6个面都需要用刀切出来，每一刀最多只能切出这个小正方体的1个面，由此可直接判断最少切割次数，两种思路可互相验证。
【解析】
解：首先，27个小正方体在大正方体内呈3×3×3的排列形式。
正方体的切割沿长、宽、高三个互相垂直的方向进行，若要将一个方向的棱长分成3等份，需要切割的次数为3-1=2次，三个方向总共需要切割的次数为2×3=6次。
我们也可通过中间小正方体的特征验证：27个小正方体中最中心的1个小正方体，六个面都不是原来大正方体的表面，每个面都必须通过刀切才能形成，每一刀最多只能切出这个小正方体的1个面，所以至少需要切6次才能得到这6个面，无法用更少的次数完成分割。
【答案】
要把一个正方体分割成 27 个小正方体,至少需要用刀切 6 次。因为最中间的 1 个小正方体的六个面都不是现成的,所以这六个面必须用刀切 6 次才能切出来,所以至少切 6 次。
【知识点】
正方体的分割、空间想象能力、立体图形特征
【点评】
这道题需要结合立体图形的结构特点分析，避免盲目猜测切割次数，既可以按三个切割方向分别计算次数求和，也可以通过分析特殊位置小正方体的面的来源快速得出结论，能有效锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.6
