用移项方法解“$ax + b = cx + d$”类型的一元一次方程。
解方程：$3x + 20 = 4x - 25$。
把原方程左边的20变为移到右边，把右边的$4x$变为移到左边，可得。
像上面那样把等式一边的某项后移到另一边，叫作移项。

-20 -4x 3x−4x=−25−20 变号

【分析】
解题前首先明确移项的核心规则：从等式一边移动到另一边的项必须改变符号，未移动的项符号保持不变。本题需要把含未知数的项统一移到等号左侧、常数项统一移到等号右侧，结合移项规则和移项的定义即可逐一填空。
【解析】
1. 原方程为$3x + 20 = 4x - 25$，将左边的$+20$移到右边时需要变号，即变为$-20$；
2. 将右边的$+4x$移到左边时需要变号，即变为$-4x$；
3. 未移动的项保留原有符号，移项后可得式子：$3x-4x=-25-20$；
4. 根据移项的定义，把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项。
【答案】
$-20$；$-4x$；$3x-4x=-25-20$；变号
【知识点】
移项法则；一元一次方程解法
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题，重点考查移项的概念和操作规则，核心易错点是移项时忘记改变符号，熟练掌握本知识点是后续求解复杂一元一次方程的前提。
【难度系数】
0.8

典例1 $81x - 144 = 69x.$

解 移项,得 $81x - 69x = 144$.合并同类项,得 $12x = 144$.系数化为1,得 $x = 12$.

【分析】
这是一道一元一次方程求解的基础题，解题思路遵循移项解一元一次方程的常规步骤：首先观察方程，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，注意移项要变号；接着合并同类项，将方程化简为$ax=b$（$a≠0$）的形式；最后将未知数的系数化为1，即可求出方程的解。
【解析】
解：移项，得 $81x - 69x = 144$
合并同类项，得 $12x = 144$
系数化为1，得 $x = 12$
【答案】
$x=12$
【知识点】
一元一次方程的解法；移项法则；合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项规则的运用，注意移项时所移动的项符号必须改变，该题型是解更复杂方程的基础，需要熟练掌握解题步骤。
【难度系数】
0.9

举一反三 在解方程过程中，对于两个变形，甲：$-x -2x = -5 +2$变形成$-3x=-3$。乙：$3x -2=7$变形成$3x=7+2$。下列说法正确的是（）。

A.甲变形的依据是合并同类项，乙变形的依据是移项
B.两个变形的依据均为移项
C.甲变形的依据是移项，乙变形的依据是合并同类项
D.两个变形的依据均为合并同类项
2. 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题

A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确合并同类项和移项的概念：合并同类项是将方程中相同类型的项（如同类的含未知数的项、常数项）合并为一项，运算时系数相加，字母和字母的指数不变；移项是将方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，依据是等式的性质1。接下来分别分析甲、乙的变形：先看甲的变形，等号左右两边都是同类项的合并操作；再看乙的变形，是将左边的常数项移到等号右边，符号发生了改变，属于移项操作，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 分析甲的变形：$-x -2x = -5 +2$，等号左边是两个含$x$的同类项，合并后得$-3x$，等号右边是两个常数项，合并后得$-3$，因此甲的变形依据是合并同类项。
2. 分析乙的变形：$3x -2=7$，将等号左边的$-2$改变符号后移到等号右边，得到$3x=7+2$，因此乙的变形依据是移项。
综上，甲变形依据是合并同类项，乙变形依据是移项，对应选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项；移项；解一元一次方程
【点评】
本题考查解一元一次方程的基础步骤区分，核心是准确掌握合并同类项和移项的概念差异，是一元一次方程相关知识的基础考查题型，熟练掌握相关概念即可快速判断。
【难度系数】
0.85

典例2《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘1辆车，则余2辆空车；若每2人乘1辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人。
(1)设有x辆车，根据题意，用含有x的式子填空：
“若每3人乘1辆车，则余2辆空车”即共有辆车坐满3人，则车上人数可表示为；“若每2人乘1辆车，则余9人需步行”即共有辆车坐满2人，则车上人数可表示为。
(2)列出方程，求出问题的答案并写出解答过程。

(1) $(x - 2)$ $3(x - 2)$ $x$ $2x$
(2)根据乘车总人数不变,列得方程
$3(x - 2) = 2x + 9$,
解得 $x = 15$,
所以 $2x + 9 = 2×15 + 9 = 39$.
答:共有15辆车,39人.

【分析】
这是一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住“乘车总人数不变”这个不变量。第一小问需结合题干描述分析两种乘车场景的载人车辆数：①每3人乘1辆车余2辆空车，说明坐满的车辆数是总车数减去空车数，再用单辆车人数乘坐满的车辆数即可表示总人数；②每2人乘1辆车余9人步行，说明所有车辆都坐满2人，坐满的车辆数等于总车辆数，用单辆车人数乘总车辆数可表示车上人数，总人数还要加步行的9人。第二小问利用两种场景总人数相等列方程，再按移项解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
(1) 设共有x辆车：
“若每3人乘1辆车，则余2辆空车”，坐满3人的车辆数为总车数减去空车数，即$(x-2)$辆，总人数可表示为$3(x-2)$；
“若每2人乘1辆车，则余9人需步行”，所有车辆都坐满2人，即$x$辆车坐满2人，车上人数可表示为$2x$，总人数为$2x+9$。
(2) 根据乘车总人数不变，列方程：
$3(x - 2) = 2x + 9$
展开左边得：$3x - 6 = 2x + 9$
移项得：$3x - 2x = 9 + 6$
合并同类项得：$x = 15$
将$x=15$代入$2x+9$计算总人数：$2×15 + 9 = 39$（人）
【答案】
(1) $(x - 2)$；$3(x - 2)$；$x$；$2x$
(2) 共有15辆车，39人。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题关键是找准题目中的不变量建立等量关系，能帮助学生掌握将实际问题转化为数学方程的方法，巩固移项解一元一次方程的步骤。
【难度系数】
0.8

举一反三 有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？若设在学校住宿的学生有x人，那么根据题意，可列出方程为().

A.$\frac{x}{4} +5 = \frac{x -100}{3}$
B.$\frac{x +5}{4} = \frac{x -100}{3}$
C.$4x -5 = 3x +100$
D.$\frac{x}{4} -5 = \frac{x +100}{3}$

A

【分析】
本题是一元一次方程实际应用类题目，解题核心是找到题目中不变的量作为等量关系，本题中学校的宿舍总数量是固定不变的，我们可以分别用含x的式子表示两种住宿安排对应的宿舍总数量，令二者相等即可列出方程。首先分析第一种安排：总人数为x，每间住4人，住满的宿舍数为$\frac{x}{4}$，空出5间，因此总宿舍数=住满的宿舍数+空宿舍数，即$\frac{x}{4}+5$。再分析第二种安排：每间住3人，100人没床位，说明只有$x-100$人住进宿舍且宿舍全部住满，因此总宿舍数=入住人数÷每间入住人数，即$\frac{x-100}{3}$，最后根据总宿舍数相等列等式即可。
【解析】
本题的等量关系为：两种住宿安排下，学校的宿舍总间数相等。
1. 表示第一种安排的总宿舍数：
已知学生总人数为x，每间宿舍住4人时，住满学生的宿舍数量为$\frac{x}{4}$间，此时空出5间宿舍，因此总宿舍数为$\frac{x}{4} + 5$。
2. 表示第二种安排的总宿舍数：
每间宿舍住3人时，有100人没有床位，即实际住进宿舍的人数为$(x-100)$人，此时宿舍全部住满，因此总宿舍数为$\frac{x-100}{3}$。
3. 根据总宿舍数相等列方程：
可得$\frac{x}{4} +5 = \frac{x - 100}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系确定；列一元一次方程
【点评】
本题属于分配类的一元一次方程应用题，解题关键是抓住题干中不变的量建立等量关系，审题时要准确理解“空出宿舍”“无床位”等表述的含义，避免列式时出现符号错误。
【难度系数】
0.7