登录
1. 下列多项式不能用平方差公式分解因式的是(
A.$1 - x^2$
B.$-x^2 -25$
C.$-16b^2 +9a^2$
D.$\frac{1}{4} - x^2$
B
).A.$1 - x^2$
B.$-x^2 -25$
C.$-16b^2 +9a^2$
D.$\frac{1}{4} - x^2$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式是二项式，两项符号相反，且两项都能写成某个整式的平方的形式，即满足$a^2 - b^2$的结构。解题时只需逐一验证每个选项是否符合上述条件即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，适用的多项式需满足：①是二项式；②两项符号相反；③每一项均可表示为某个整式的平方。
选项A：$1-x^2=1^2 - x^2$，满足平方差公式的结构，可分解为$(1+x)(1-x)$，不符合题意；
选项B：$-x^2 -25=-(x^2 +25)$，两项符号相同，不满足平方差公式的异号要求，无法用平方差公式分解，符合题意；
选项C：$-16b^2 +9a^2=(3a)^2 - (4b)^2$，满足平方差公式的结构，可分解为$(3a+4b)(3a-4b)$，不符合题意；
选项D：$\frac{1}{4}-x^2=(\frac{1}{2})^2 - x^2$，满足平方差公式的结构，可分解为$(\frac{1}{2}+x)(\frac{1}{2}-x)$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题是对平方差公式分解因式适用条件的直接考查，牢记“两项异号、两项均为整式平方”的判断要点即可快速解题，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式是二项式，两项符号相反，且两项都能写成某个整式的平方的形式，即满足$a^2 - b^2$的结构。解题时只需逐一验证每个选项是否符合上述条件即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，适用的多项式需满足：①是二项式；②两项符号相反；③每一项均可表示为某个整式的平方。
选项A：$1-x^2=1^2 - x^2$，满足平方差公式的结构，可分解为$(1+x)(1-x)$，不符合题意；
选项B：$-x^2 -25=-(x^2 +25)$，两项符号相同，不满足平方差公式的异号要求，无法用平方差公式分解，符合题意；
选项C：$-16b^2 +9a^2=(3a)^2 - (4b)^2$，满足平方差公式的结构，可分解为$(3a+4b)(3a-4b)$，不符合题意；
选项D：$\frac{1}{4}-x^2=(\frac{1}{2})^2 - x^2$，满足平方差公式的结构，可分解为$(\frac{1}{2}+x)(\frac{1}{2}-x)$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题是对平方差公式分解因式适用条件的直接考查，牢记“两项异号、两项均为整式平方”的判断要点即可快速解题，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 因式分解$(x-1)^2 -9$的结果是(
A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
D
).A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
答案
2. D
解析
【分析】
观察式子$(x-1)^2 -9$，发现它是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式的结构特征，因此可以考虑用平方差公式进行因式分解。解题时首先把9转化为$3^2$，将原式改写为$a^2 - b^2$的形式，其中$a=x-1$，$b=3$，再套用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$展开，最后化简括号内的整式即可得到结果，再对应选项选出答案。
【解析】
首先将原式变形为平方差的标准形式：
$(x-1)^2 -9 = (x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x-1$，$b=3$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=[(x-1)+3][(x-1)-3]\\&=(x-1+3)(x-1-3)\\&=(x+2)(x-4)\end{aligned}$
对应选项可得答案为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解
【点评】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是将$(x-1)$看作整体，准确识别出平方差的结构形式，套用公式后注意正确化简整式，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
观察式子$(x-1)^2 -9$，发现它是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式的结构特征，因此可以考虑用平方差公式进行因式分解。解题时首先把9转化为$3^2$，将原式改写为$a^2 - b^2$的形式，其中$a=x-1$，$b=3$，再套用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$展开，最后化简括号内的整式即可得到结果，再对应选项选出答案。
【解析】
首先将原式变形为平方差的标准形式：
$(x-1)^2 -9 = (x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x-1$，$b=3$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=[(x-1)+3][(x-1)-3]\\&=(x-1+3)(x-1-3)\\&=(x+2)(x-4)\end{aligned}$
对应选项可得答案为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解
【点评】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是将$(x-1)$看作整体，准确识别出平方差的结构形式，套用公式后注意正确化简整式，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 分解因式：$x^2 -4=$
(x+2)(x-2)
.答案
3. (x+2)(x-2)
解析
【分析】
首先观察待分解的式子，是两个项的差，且两项都可以写成平方的形式，符合平方差公式的结构特征，因此可以套用平方差公式进行因式分解。首先确定公式里的a和b：原式中第一项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；第二项4是$2^2$，对应$b^2$，即$b=2$，再代入公式即可得到分解结果。
【解析】
解：$x^2 - 4$
$=x^2 - 2^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x$，$b=2$可得：
$=(x+2)(x-2)$
【答案】
$(x+2)(x-2)$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确判断多项式的结构是否符合平方差公式的特征，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察待分解的式子，是两个项的差，且两项都可以写成平方的形式，符合平方差公式的结构特征，因此可以套用平方差公式进行因式分解。首先确定公式里的a和b：原式中第一项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；第二项4是$2^2$，对应$b^2$，即$b=2$，再代入公式即可得到分解结果。
【解析】
解：$x^2 - 4$
$=x^2 - 2^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x$，$b=2$可得：
$=(x+2)(x-2)$
【答案】
$(x+2)(x-2)$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确判断多项式的结构是否符合平方差公式的特征，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 把下列各式分解因式：
(1) $-16x^2 + y^2$；
(2) $4(x + y)^2 - 9(x - y)^2$；
(3) $(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2$。
(1) $-16x^2 + y^2$；
(2) $4(x + y)^2 - 9(x - y)^2$；
(3) $(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2$。
答案
4. 解 (1) $-16x^2 + y^2 = y^2 - 16x^2 =(y+4x)(y-4x)$.
(2) $4(x + y)^2 - 9(x - y)^2 =[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)]=(5x-y)(5y-x)$.
(3) $(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2 =[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]=(5x+5)(x-9)=5(x+1)(x-9)$.
(2) $4(x + y)^2 - 9(x - y)^2 =[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)]=(5x-y)(5y-x)$.
(3) $(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2 =[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]=(5x+5)(x-9)=5(x+1)(x-9)$.
解析
【分析】
这三道因式分解题均适用平方差公式求解，解题思路如下：首先牢记平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，第一步先将原式变形为两个代数式平方的差的形式，确定公式中$a$、$b$对应的代数式；第二步套用平方差公式写成两个因式相乘的形式；第三步对得到的因式进行化简，若有公因式要提取公因式，保证因式分解彻底，每个因式无法再分解为止。
(1)题可调整原式顺序为$y^2-16x^2$，对应$a=y$、$b=4x$，直接套用公式即可；(2)题可将$4(x+y)^2$转化为$[2(x+y)]^2$，$9(x-y)^2$转化为$[3(x-y)]^2$，对应$a=2(x+y)$、$b=3(x-y)$，套用公式后再合并同类项；(3)题直接对应$a=3x-2$、$b=2x+7$，套用公式化简后提取公因式即可得到最终结果。
【解析】
(1) 先调整原式顺序使其符合平方差结构：
$-16x^2 + y^2 = y^2 - 16x^2 = y^2 - (4x)^2$
根据平方差公式代入得：
$=(y+4x)(y-4x)$
(2) 先将原式改写为平方的差的形式：
$4(x + y)^2 - 9(x - y)^2 = [2(x+y)]^2 - [3(x-y)]^2$
套用平方差公式得：
$=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)]$
分别化简两个因式：
$2(x+y)+3(x-y)=2x+2y+3x-3y=5x-y$
$2(x+y)-3(x-y)=2x+2y-3x+3y=5y-x$
因此原式$=(5x-y)(5y-x)$
(3) 原式为平方差结构，直接套用公式：
$(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2 =[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]$
分别化简两个因式：
$(3x-2)+(2x+7)=5x+5$，$(3x-2)-(2x+7)=x-9$
提取$5x+5$的公因式5，得：
$=5(x+1)(x-9)$
【答案】
(1) $(y+4x)(y-4x)$
(2) $(5x-y)(5y-x)$
(3) $5(x+1)(x-9)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，整式化简
【点评】
本题考查用平方差公式进行因式分解的能力，解题核心是准确识别平方差的结构特征，分解后要注意检查结果是否彻底，避免遗漏公因式未提取的问题。
【难度系数】
0.8
这三道因式分解题均适用平方差公式求解，解题思路如下：首先牢记平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，第一步先将原式变形为两个代数式平方的差的形式，确定公式中$a$、$b$对应的代数式；第二步套用平方差公式写成两个因式相乘的形式；第三步对得到的因式进行化简，若有公因式要提取公因式，保证因式分解彻底，每个因式无法再分解为止。
(1)题可调整原式顺序为$y^2-16x^2$，对应$a=y$、$b=4x$，直接套用公式即可；(2)题可将$4(x+y)^2$转化为$[2(x+y)]^2$，$9(x-y)^2$转化为$[3(x-y)]^2$，对应$a=2(x+y)$、$b=3(x-y)$，套用公式后再合并同类项；(3)题直接对应$a=3x-2$、$b=2x+7$，套用公式化简后提取公因式即可得到最终结果。
【解析】
(1) 先调整原式顺序使其符合平方差结构：
$-16x^2 + y^2 = y^2 - 16x^2 = y^2 - (4x)^2$
根据平方差公式代入得：
$=(y+4x)(y-4x)$
(2) 先将原式改写为平方的差的形式：
$4(x + y)^2 - 9(x - y)^2 = [2(x+y)]^2 - [3(x-y)]^2$
套用平方差公式得：
$=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)]$
分别化简两个因式：
$2(x+y)+3(x-y)=2x+2y+3x-3y=5x-y$
$2(x+y)-3(x-y)=2x+2y-3x+3y=5y-x$
因此原式$=(5x-y)(5y-x)$
(3) 原式为平方差结构，直接套用公式：
$(3x - 2)^2 - (2x + 7)^2 =[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]$
分别化简两个因式：
$(3x-2)+(2x+7)=5x+5$，$(3x-2)-(2x+7)=x-9$
提取$5x+5$的公因式5，得：
$=5(x+1)(x-9)$
【答案】
(1) $(y+4x)(y-4x)$
(2) $(5x-y)(5y-x)$
(3) $5(x+1)(x-9)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，整式化简
【点评】
本题考查用平方差公式进行因式分解的能力，解题核心是准确识别平方差的结构特征，分解后要注意检查结果是否彻底，避免遗漏公因式未提取的问题。
【难度系数】
0.8
5. 利用因式分解简便运算：
(1)$1001^2 - 999^2$；(2)$999^2 - 1$.
(1)$1001^2 - 999^2$；(2)$999^2 - 1$.
答案
5. 解 (1) 原式 $=(1001 - 999)×(1001 + 999)=2×2000=4000$.
(2) 原式 $=(999 + 1)×(999 - 1)=1000×998=998000$.
(2) 原式 $=(999 + 1)×(999 - 1)=1000×998=998000$.
解析
【分析】
这两道题均可利用平方差公式因式分解实现简便运算，平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，用该公式计算可避免直接计算大数平方，降低运算量。
(1) 算式$1001^2 - 999^2$是典型的两数平方差结构，直接将$a=1001$、$b=999$代入平方差公式，先算两个括号内的加减法，再算乘法即可；
(2) 算式$999^2 -1$中，可将$1$改写为$1^2$，此时算式也符合两数平方差结构，将$a=999$、$b=1$代入公式计算即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1001+999)×(1001-999)\\&=2000×2\\&=4000\end{aligned}$
(2) 先将常数改写为平方形式，再利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=999^2 -1^2\\&=(999+1)×(999-1)\\&=1000×998\\&=998000\end{aligned}$
【答案】
(1)$4000$；(2)$998000$
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题核心是考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要灵活对算式中的常数进行变形，使其符合因式分解的公式特征，从而简化运算，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题均可利用平方差公式因式分解实现简便运算，平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，用该公式计算可避免直接计算大数平方，降低运算量。
(1) 算式$1001^2 - 999^2$是典型的两数平方差结构，直接将$a=1001$、$b=999$代入平方差公式，先算两个括号内的加减法，再算乘法即可；
(2) 算式$999^2 -1$中，可将$1$改写为$1^2$，此时算式也符合两数平方差结构，将$a=999$、$b=1$代入公式计算即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1001+999)×(1001-999)\\&=2000×2\\&=4000\end{aligned}$
(2) 先将常数改写为平方形式，再利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=999^2 -1^2\\&=(999+1)×(999-1)\\&=1000×998\\&=998000\end{aligned}$
【答案】
(1)$4000$；(2)$998000$
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题核心是考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要灵活对算式中的常数进行变形，使其符合因式分解的公式特征，从而简化运算，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
6. 先分解因式，再求值：$(4a + b)^2 - 9b^2$，其中$a + b = 2$，$b - 2a = 3$。
答案
6. 解 $(4a + b)^2 - 9b^2$
$=(4a + b + 3b)(4a + b - 3b)$
$=(4a + 4b)(4a - 2b)$
$=8(a + b)(2a - b)$.
当 $a + b = 2$,$b - 2a = 3$ 时，
原式 $=8×2×(-3)=-48$.
$=(4a + b + 3b)(4a + b - 3b)$
$=(4a + 4b)(4a - 2b)$
$=8(a + b)(2a - b)$.
当 $a + b = 2$,$b - 2a = 3$ 时，
原式 $=8×2×(-3)=-48$.
解析
【分析】
首先观察待化简式子的结构，发现其符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的特征，因此第一步先用平方差公式分解因式；分解后对得到的两个因式合并同类项，再提取公因式整理，即可得到含有已知代数式$a+b$、$2a-b$的形式；注意到已知$b-2a=3$，可推出$2a-b=-3$，最后直接将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
先对原式分解因式：
$\begin{aligned}(4a + b)^2 - 9b^2&=(4a + b)^2 - (3b)^2\\&=(4a + b + 3b)(4a + b - 3b)\\&=(4a + 4b)(4a - 2b)\\&=4(a+b)·2(2a - b)\\&=8(a+b)(2a - b)\end{aligned}$
已知$a + b = 2$，$b - 2a = 3$，因此$2a - b=-(b-2a)=-3$，代入化简后的式子得：
原式$=8×2×(-3)=-48$
【答案】
$-48$
【知识点】
平方差公式分解因式；提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题将因式分解与代数式求值结合考查，核心是通过识别平方差公式的结构对式子化简，再利用整体思想代入求值，省去了解二元一次方程组的步骤，降低了计算量，同时也考查了学生对公式结构的识别能力和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察待化简式子的结构，发现其符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的特征，因此第一步先用平方差公式分解因式；分解后对得到的两个因式合并同类项，再提取公因式整理，即可得到含有已知代数式$a+b$、$2a-b$的形式；注意到已知$b-2a=3$，可推出$2a-b=-3$，最后直接将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
先对原式分解因式：
$\begin{aligned}(4a + b)^2 - 9b^2&=(4a + b)^2 - (3b)^2\\&=(4a + b + 3b)(4a + b - 3b)\\&=(4a + 4b)(4a - 2b)\\&=4(a+b)·2(2a - b)\\&=8(a+b)(2a - b)\end{aligned}$
已知$a + b = 2$，$b - 2a = 3$，因此$2a - b=-(b-2a)=-3$，代入化简后的式子得：
原式$=8×2×(-3)=-48$
【答案】
$-48$
【知识点】
平方差公式分解因式；提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题将因式分解与代数式求值结合考查，核心是通过识别平方差公式的结构对式子化简，再利用整体思想代入求值，省去了解二元一次方程组的步骤，降低了计算量，同时也考查了学生对公式结构的识别能力和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 设 $ n $ 为整数，试说明 $(2n+1)^2 - 25$ 能被4整除。
答案
7. 解 $(2n+1)^2 - 25$
$=(2n+1)^2 - 5^2$
$=(2n+1+5)(2n+1-5)$
$=(2n+6)(2n-4)$
$=4(n+3)(n-2)$.
$\because n$ 为整数，
$\therefore (2n+1)^2 - 25$ 能被 4 整除.
$=(2n+1)^2 - 5^2$
$=(2n+1+5)(2n+1-5)$
$=(2n+6)(2n-4)$
$=4(n+3)(n-2)$.
$\because n$ 为整数，
$\therefore (2n+1)^2 - 25$ 能被 4 整除.
解析
【分析】
要证明一个整式能被4整除，只需将该整式变形为“4与一个整数的乘积”的形式即可。首先观察原式的结构，$(2n+1)^2 -25$是两个平方项相减，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此先利用平方差公式对原式因式分解，再对分解后的两个因式化简，提取公因式后验证是否含有因数4，最后结合n是整数的条件，说明剩余因式的乘积为整数，即可完成证明。
【解析】
先对原式利用平方差公式因式分解，再逐步化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - 25&=(2n+1)^2 - 5^2\\&=(2n+1+5)(2n+1-5)\\&=(2n+6)(2n-4)\\&=4(n+3)(n-2)\end{aligned}$
因为n是整数，所以$n+3$和$n-2$均为整数，即$(n+3)(n-2)$是整数，因此$4(n+3)(n-2)$是4的整数倍，可得$(2n+1)^2 - 25$能被4整除。
【答案】
$(2n+1)^2 - 25$
$=(2n+1)^2 - 5^2$
$=(2n+1+5)(2n+1-5)$
$=(2n+6)(2n-4)$
$=4(n+3)(n-2)$
$\because n$为整数，
$\therefore (2n+1)^2 - 25$能被4整除。
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题是整式整除的基础题型，核心考查因式分解的应用，解题的关键是准确识别平方差的结构特征，通过因式分解整理出系数为4的形式，结合整数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明一个整式能被4整除，只需将该整式变形为“4与一个整数的乘积”的形式即可。首先观察原式的结构，$(2n+1)^2 -25$是两个平方项相减，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此先利用平方差公式对原式因式分解，再对分解后的两个因式化简，提取公因式后验证是否含有因数4，最后结合n是整数的条件，说明剩余因式的乘积为整数，即可完成证明。
【解析】
先对原式利用平方差公式因式分解，再逐步化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - 25&=(2n+1)^2 - 5^2\\&=(2n+1+5)(2n+1-5)\\&=(2n+6)(2n-4)\\&=4(n+3)(n-2)\end{aligned}$
因为n是整数，所以$n+3$和$n-2$均为整数，即$(n+3)(n-2)$是整数，因此$4(n+3)(n-2)$是4的整数倍，可得$(2n+1)^2 - 25$能被4整除。
【答案】
$(2n+1)^2 - 25$
$=(2n+1)^2 - 5^2$
$=(2n+1+5)(2n+1-5)$
$=(2n+6)(2n-4)$
$=4(n+3)(n-2)$
$\because n$为整数，
$\therefore (2n+1)^2 - 25$能被4整除。
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题是整式整除的基础题型，核心考查因式分解的应用，解题的关键是准确识别平方差的结构特征，通过因式分解整理出系数为4的形式，结合整数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理:如对于多项式$x^4 - y^4$，因式分解的结果是$(x - y)(x + y)·(x^2 + y^2)$，若取$x=9,y=9$，则各个因式的值是$(x - y)=0,(x + y)=18,(x^2 + y^2)=162$，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式$4x^3 - xy^2$，取$x=10,y=10$时，用上述方法产生的密码可以是
103010
. (填一个即可)答案
8. 答案不唯一,例如:103010
解析 $4x^3 - xy^2 = x(2x + y)(2x - y)$
[或 $x(2x - y)(2x + y)$, 或 $(2x + y)(2x - y)x$ 等],把 $x=10,y=10$ 代入,
可得密码 103010(或 101030,或 301010).
解析 $4x^3 - xy^2 = x(2x + y)(2x - y)$
[或 $x(2x - y)(2x + y)$, 或 $(2x + y)(2x - y)x$ 等],把 $x=10,y=10$ 代入,
可得密码 103010(或 101030,或 301010).
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要按照因式分解的规范步骤对多项式$4x^3 - xy^2$进行分解：先观察多项式是否有公因式，优先提取公因式，再判断剩余部分是否可以用公式法继续分解；分解完成后将$x=10,y=10$代入每个因式，得到三个因式对应的数值，最后将这三个数值按任意顺序拼接，即可得到符合要求的密码。
【解析】
1. 对多项式$4x^3 - xy^2$进行因式分解：
① 提取公因式$x$：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$
② 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$4x^2 - y^2$（其中$a=2x,b=y$）：
$4x^2 - y^2=(2x+y)(2x-y)$
最终分解结果为：$4x^3 - xy^2 = x(2x+y)(2x-y)$
2. 代入$x=10,y=10$计算各因式的值：
$x=10$，$2x+y=2×10+10=30$，$2x-y=2×10-10=10$
3. 将三个因式的数值按顺序拼接，比如按$x、2x+y、2x-y$的顺序拼接，即可得到密码103010（调整因式顺序得到的101030、301010也符合要求）。
【答案】
103010（答案不唯一）
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景考查因式分解的实际应用，将数学知识和生活场景结合，趣味性较强，核心考查因式分解的基本操作，只要熟练掌握提公因式和公式法分解因式的步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要按照因式分解的规范步骤对多项式$4x^3 - xy^2$进行分解：先观察多项式是否有公因式，优先提取公因式，再判断剩余部分是否可以用公式法继续分解；分解完成后将$x=10,y=10$代入每个因式，得到三个因式对应的数值，最后将这三个数值按任意顺序拼接，即可得到符合要求的密码。
【解析】
1. 对多项式$4x^3 - xy^2$进行因式分解：
① 提取公因式$x$：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$
② 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$4x^2 - y^2$（其中$a=2x,b=y$）：
$4x^2 - y^2=(2x+y)(2x-y)$
最终分解结果为：$4x^3 - xy^2 = x(2x+y)(2x-y)$
2. 代入$x=10,y=10$计算各因式的值：
$x=10$，$2x+y=2×10+10=30$，$2x-y=2×10-10=10$
3. 将三个因式的数值按顺序拼接，比如按$x、2x+y、2x-y$的顺序拼接，即可得到密码103010（调整因式顺序得到的101030、301010也符合要求）。
【答案】
103010（答案不唯一）
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景考查因式分解的实际应用，将数学知识和生活场景结合，趣味性较强，核心考查因式分解的基本操作，只要熟练掌握提公因式和公式法分解因式的步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
