登录
一、选择题
1. 如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是(
A.6.4米
B.7米
C.8米
D.9米
1. 如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是(
C
)A.6.4米
B.7米
C.8米
D.9米
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先从实际场景中抽象出几何模型：学生和旗杆均垂直于地面，因此人与自身影子、旗杆与自身影子分别构成直角三角形，两个三角形共享影子重合处的公共角，满足相似三角形的判定条件。我们可以先求出旗杆的总影长，再利用相似三角形对应边成比例的性质列等式求解旗杆高度。
【解析】
设学生头顶为点D，旗杆顶端为点E，由题意得：
CD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠ACD=∠ABE=90°
又
∵∠A为△ACD和△ABE的公共角
∴△ACD∽△ABE（两角分别相等的两个三角形相似）
旗杆的总影长AB=AC+BC=2+8=10（米）
根据相似三角形对应边成比例，得：$\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{AB}$
代入CD=1.6米，AC=2米，AB=10米，得：
$\frac{1.6}{BE}=\frac{2}{10}$
交叉相乘得：$2BE=1.6×10=16$
解得：$BE=8$（米）
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是将实际场景转化为几何中的相似三角形模型，准确找到对应边的比例关系即可求解，贴合生活场景，能锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先从实际场景中抽象出几何模型：学生和旗杆均垂直于地面，因此人与自身影子、旗杆与自身影子分别构成直角三角形，两个三角形共享影子重合处的公共角，满足相似三角形的判定条件。我们可以先求出旗杆的总影长，再利用相似三角形对应边成比例的性质列等式求解旗杆高度。
【解析】
设学生头顶为点D，旗杆顶端为点E，由题意得：
CD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠ACD=∠ABE=90°
又
∵∠A为△ACD和△ABE的公共角
∴△ACD∽△ABE（两角分别相等的两个三角形相似）
旗杆的总影长AB=AC+BC=2+8=10（米）
根据相似三角形对应边成比例，得：$\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{AB}$
代入CD=1.6米，AC=2米，AB=10米，得：
$\frac{1.6}{BE}=\frac{2}{10}$
交叉相乘得：$2BE=1.6×10=16$
解得：$BE=8$（米）
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是将实际场景转化为几何中的相似三角形模型，准确找到对应边的比例关系即可求解，贴合生活场景，能锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
2. ，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于(
A.60 m
B.40 m
C.30 m
D.20 m
B
)A.60 m
B.40 m
C.30 m
D.20 m
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的垂直关系，可推出AB与CD平行，进而证明△ABE和△DCE相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出河宽AB的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，CD⊥BC
∴∠B=∠C=90°，且AB//CD
∴∠A=∠D，又
∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等）
∴△ABE∽△DCE
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{CE}$
将BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m代入上式：
$\frac{AB}{20}=\frac{20}{10}$
解得：AB=40 m
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用题，解题核心是通过垂直关系找到相似三角形，利用相似性质建立等量关系求解，贴合生活实际，容易掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目给出的垂直关系，可推出AB与CD平行，进而证明△ABE和△DCE相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出河宽AB的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，CD⊥BC
∴∠B=∠C=90°，且AB//CD
∴∠A=∠D，又
∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等）
∴△ABE∽△DCE
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{CE}$
将BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m代入上式：
$\frac{AB}{20}=\frac{20}{10}$
解得：AB=40 m
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用题，解题核心是通过垂直关系找到相似三角形，利用相似性质建立等量关系求解，贴合生活实际，容易掌握。
【难度系数】
0.8
3. 图3是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,手电筒光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是(
A.6米
B.8米
C.18米
D.24米
B
)A.6米
B.8米
C.18米
D.24米
答案
3. B
解析
【分析】
首先根据平面镜反射的规律，可得入射角等于反射角，进而推出∠APB=∠CPD；再结合已知AB⊥BD、CD⊥BD，可得△ABP和△CDP的两个角对应相等，满足相似三角形的判定条件；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出古城墙CD的高度。
【解析】
解：由平面镜反射的性质可知，入射角等于反射角，因此∠APB=∠CPD。
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$
将AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米代入上式：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$
交叉相乘得：$1.8CD=1.2×12=14.4$
解得：$CD=\frac{14.4}{1.8}=8$（米）
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，需要结合平面镜反射规律得到等角以判定三角形相似，再通过相似的性质求解未知高度，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
首先根据平面镜反射的规律，可得入射角等于反射角，进而推出∠APB=∠CPD；再结合已知AB⊥BD、CD⊥BD，可得△ABP和△CDP的两个角对应相等，满足相似三角形的判定条件；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出古城墙CD的高度。
【解析】
解：由平面镜反射的性质可知，入射角等于反射角，因此∠APB=∠CPD。
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$
将AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米代入上式：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$
交叉相乘得：$1.8CD=1.2×12=14.4$
解得：$CD=\frac{14.4}{1.8}=8$（米）
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，需要结合平面镜反射规律得到等角以判定三角形相似，再通过相似的性质求解未知高度，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 一竹竿高为2米，影长为1米，同一时刻，某建筑物的影长为15米，则此建筑物的高度是
1. 一竹竿高为2米，影长为1米，同一时刻，某建筑物的影长为15米，则此建筑物的高度是
30
米。答案
1. 30
解析
【分析】
同一时刻的太阳光属于平行投影，此时不同物体的高度与自身影长的比值是固定的，本质是物体、影子和太阳光线构成的直角三角形相似，相似三角形对应边成比例。解题时我们可以先设建筑物的高度为未知数，再根据物高与影长的比例相等列等式求解即可。
【解析】
解：设此建筑物的高度为$x$米。
∵ 同一时刻下，物体高度与影长的比值相等
∴ $\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{竹竿影长}}=\frac{\mathrm{建筑物高度}}{\mathrm{建筑物影长}}$
代入已知数据得：$\frac{2}{1}=\frac{x}{15}$
解得：$x=2×15=30$
【答案】
30
【知识点】
平行投影性质；相似三角形应用；比例运算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，只要掌握平行投影下物高和影长成正比的规律，就能快速建立等量关系求解，计算量小，考查的是基础规律的应用能力。
【难度系数】
0.9
同一时刻的太阳光属于平行投影，此时不同物体的高度与自身影长的比值是固定的，本质是物体、影子和太阳光线构成的直角三角形相似，相似三角形对应边成比例。解题时我们可以先设建筑物的高度为未知数，再根据物高与影长的比例相等列等式求解即可。
【解析】
解：设此建筑物的高度为$x$米。
∵ 同一时刻下，物体高度与影长的比值相等
∴ $\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{竹竿影长}}=\frac{\mathrm{建筑物高度}}{\mathrm{建筑物影长}}$
代入已知数据得：$\frac{2}{1}=\frac{x}{15}$
解得：$x=2×15=30$
【答案】
30
【知识点】
平行投影性质；相似三角形应用；比例运算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，只要掌握平行投影下物高和影长成正比的规律，就能快速建立等量关系求解，计算量小，考查的是基础规律的应用能力。
【难度系数】
0.9
2. 一建筑物在图纸上所画的高度是20 cm，图纸上注明的比例尺是1∶1 000，则该建筑物的实际高度是
200
m.答案
2. 200
解析
【分析】
解题时首先明确比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离。已知图上建筑物高度和比例尺，我们可以先设实际高度为未知数，根据比例尺的等量关系列比例式求解，最后将计算得到的实际长度单位从厘米换算为米即可得到答案。
【解析】
设该建筑物的实际高度为$ x $ cm，根据比例尺的定义可得：
$\frac{\mathrm{图上高度}}{\mathrm{实际高度}}=\frac{1}{1000}$
代入图上高度20cm，列比例式：
$\frac{20}{x}=\frac{1}{1000}$
根据比例的基本性质解得：
$ x=20×1000=20000 \, \mathrm{cm} $
进行单位换算：因为$ 1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm} $，所以$ 20000\,\mathrm{cm}=20000÷100=200\,\mathrm{m} $。
【答案】
200
【知识点】
1. 比例尺的应用
2. 单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查比例尺的实际使用，解题的易错点是容易忽略单位换算，只要牢记比例尺公式、注意单位统一即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离。已知图上建筑物高度和比例尺，我们可以先设实际高度为未知数，根据比例尺的等量关系列比例式求解，最后将计算得到的实际长度单位从厘米换算为米即可得到答案。
【解析】
设该建筑物的实际高度为$ x $ cm，根据比例尺的定义可得：
$\frac{\mathrm{图上高度}}{\mathrm{实际高度}}=\frac{1}{1000}$
代入图上高度20cm，列比例式：
$\frac{20}{x}=\frac{1}{1000}$
根据比例的基本性质解得：
$ x=20×1000=20000 \, \mathrm{cm} $
进行单位换算：因为$ 1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm} $，所以$ 20000\,\mathrm{cm}=20000÷100=200\,\mathrm{m} $。
【答案】
200
【知识点】
1. 比例尺的应用
2. 单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查比例尺的实际使用，解题的易错点是容易忽略单位换算，只要牢记比例尺公式、注意单位统一即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
3. 如图4,为测量某市区鼓楼的高AB,在距B点50 m的C处安装测倾器,其中测倾器的光线DA与水平线的夹角为$45°$,测倾器的高CD为1.3 m,则鼓楼高AB为
51.3
m.答案
3. 51.3
解析
【分析】
要计算鼓楼的高度AB，我们可以通过作辅助线把问题转化为矩形和直角三角形的计算问题：首先过D作DE⊥AB于E，此时四边形BCDE为矩形，可得到DE与BC、BE与CD的等量关系；再结合光线与水平线夹角为45°的条件，可知Rt△ADE是等腰直角三角形，得到AE与DE相等，最后将AE和BE相加就能求出AB的长度。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$，垂足为E。
由题意可得四边形BCDE是矩形，因此：
$DE=BC=50\mathrm{m}$，$BE=CD=1.3\mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ ADE=45°$，即$∠ A=∠ ADE$，
$\therefore AE=DE=50\mathrm{m}$
$\therefore AB=AE+BE=50+1.3=51.3\mathrm{m}$
【答案】
51.3
【知识点】
仰角测量应用，矩形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的实际测量类题型，解题核心是通过作辅助线将实际问题转化为常见的几何图形计算，利用特殊角45°得到直角三角形边的相等关系即可快速求解，计算量小。
【难度系数】
0.85
要计算鼓楼的高度AB，我们可以通过作辅助线把问题转化为矩形和直角三角形的计算问题：首先过D作DE⊥AB于E，此时四边形BCDE为矩形，可得到DE与BC、BE与CD的等量关系；再结合光线与水平线夹角为45°的条件，可知Rt△ADE是等腰直角三角形，得到AE与DE相等，最后将AE和BE相加就能求出AB的长度。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$，垂足为E。
由题意可得四边形BCDE是矩形，因此：
$DE=BC=50\mathrm{m}$，$BE=CD=1.3\mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ ADE=45°$，即$∠ A=∠ ADE$，
$\therefore AE=DE=50\mathrm{m}$
$\therefore AB=AE+BE=50+1.3=51.3\mathrm{m}$
【答案】
51.3
【知识点】
仰角测量应用，矩形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的实际测量类题型，解题核心是通过作辅助线将实际问题转化为常见的几何图形计算，利用特殊角45°得到直角三角形边的相等关系即可快速求解，计算量小。
【难度系数】
0.85
4. 如图5,小明用一块有一个锐角为$30°$的直角三角板测量树高,已知小明离树的距离为4米,DE为1.6米,现量得三角板的两条直角边FG约为0.2米,AG约为0.28米,则树高约为
4.46
米(精确到0.01米).答案
4. 4.46
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，可知三角板所在的直角三角形和树上方的直角三角形存在公共角和两个相等的直角，可判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出树高出小明身高部分的长度，最后加上DE的长度即可得到树的总高度。
【解析】
解：由题意得：$FG⊥ AD$，$CD⊥ AD$，
$\therefore ∠ AGF=∠ ADC=90°$，
又$\because ∠ FAG=∠ CAD$（公共角），
$\therefore △ AFG ∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{FG}{CD}=\frac{AG}{AD}$。
已知$FG=0.2\mathrm{m}$，$AG=0.28\mathrm{m}$，$AD=4\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{0.2}{CD}=\frac{0.28}{4}$，
解得$CD=\frac{0.2×4}{0.28}\approx2.857\mathrm{m}$。
又$\because DE=1.6\mathrm{m}$，
$\therefore$树高$CE=CD+DE\approx2.857+1.6\approx4.46\mathrm{m}$。
【答案】
4.46
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，实际高度测量
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题的核心是准确找到相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解未知线段，这类题目贴近生活，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，可知三角板所在的直角三角形和树上方的直角三角形存在公共角和两个相等的直角，可判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出树高出小明身高部分的长度，最后加上DE的长度即可得到树的总高度。
【解析】
解：由题意得：$FG⊥ AD$，$CD⊥ AD$，
$\therefore ∠ AGF=∠ ADC=90°$，
又$\because ∠ FAG=∠ CAD$（公共角），
$\therefore △ AFG ∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{FG}{CD}=\frac{AG}{AD}$。
已知$FG=0.2\mathrm{m}$，$AG=0.28\mathrm{m}$，$AD=4\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{0.2}{CD}=\frac{0.28}{4}$，
解得$CD=\frac{0.2×4}{0.28}\approx2.857\mathrm{m}$。
又$\because DE=1.6\mathrm{m}$，
$\therefore$树高$CE=CD+DE\approx2.857+1.6\approx4.46\mathrm{m}$。
【答案】
4.46
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，实际高度测量
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题的核心是准确找到相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解未知线段，这类题目贴近生活，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
