5. 如图,王叔叔在相距2 m的两棵树之间拴了一根绳子,做成一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5 m,绳子自然下垂可近似看成抛物线形.身高为1 m的小明距离树0.5 m时,头部刚好接触到绳子,求绳子的最低点与地面的距离.
答案
解：
以两棵树底部的中点为原点，地面所在直线为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 + k $。
由题意可知，抛物线过点$(1, 2.5)$和$(-0.5, 1)$，代入解析式得：
$\begin{cases}a + k = 2.5 \\0.25a + k = 1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$ 0.75a = 1.5 $，解得$ a = 2 $。
将$ a = 2 $代入$ a + k = 2.5 $，得$ 2 + k = 2.5 $，解得$ k = 0.5 $。
所以抛物线的顶点坐标为$(0, 0.5)$。
答：绳子的最低点与地面的距离为0.5m。
以两棵树底部的中点为原点，地面所在直线为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 + k $。
由题意可知，抛物线过点$(1, 2.5)$和$(-0.5, 1)$，代入解析式得：
$\begin{cases}a + k = 2.5 \\0.25a + k = 1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$ 0.75a = 1.5 $，解得$ a = 2 $。
将$ a = 2 $代入$ a + k = 2.5 $，得$ 2 + k = 2.5 $，解得$ k = 0.5 $。
所以抛物线的顶点坐标为$(0, 0.5)$。
答：绳子的最低点与地面的距离为0.5m。
例1 画出二次函数 $y=x^{2}-2x-3$ 的图像,根据图像回答下列问题:
(1) 写出图像与x轴、y轴的交点坐标.
(2) 当x取何值时,$y=0$? 这里x的取值与方程 $x^{2}-2x-3=0$ 的解有什么关系?
(3) x取什么值时,函数值y大于0? x取什么值时,函数值y小于0?
分析 利用二次函数的图像的性质,令 $x^{2}-2x-3=0$,即可求图像与x轴的交点坐标.
解 画出图像(图5-15).
(1) 图像与x轴的交点坐标是$(-1,0)$、$(3,0)$,与y轴的交点坐标是$(0,-3)$.
(2) 当$x=-1$或$x=3$时,$y=0$,x的取值与方程 $x^{2}-2x-3=0$ 的解相同.
(3) 当$x＜-1$或$x＞3$时,$y＞0$;当$-1＜x＜3$时,$y＜0$.
(1) 写出图像与x轴、y轴的交点坐标.
(2) 当x取何值时,$y=0$? 这里x的取值与方程 $x^{2}-2x-3=0$ 的解有什么关系?
(3) x取什么值时,函数值y大于0? x取什么值时,函数值y小于0?
分析 利用二次函数的图像的性质,令 $x^{2}-2x-3=0$,即可求图像与x轴的交点坐标.
解 画出图像(图5-15).
(1) 图像与x轴的交点坐标是$(-1,0)$、$(3,0)$,与y轴的交点坐标是$(0,-3)$.
(2) 当$x=-1$或$x=3$时,$y=0$,x的取值与方程 $x^{2}-2x-3=0$ 的解相同.
(3) 当$x＜-1$或$x＞3$时,$y＞0$;当$-1＜x＜3$时,$y＜0$.
答案
解：
(1) 令$y=0$，则$x^{2}-2x-3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，
解得$x=-1$或$x=3$，
所以图像与x轴的交点坐标是$(-1,0)$、$(3,0)$；
令$x=0$，则$y=0^{2}-2×0-3=-3$，
所以图像与y轴的交点坐标是$(0,-3)$。
(2) 当$x=-1$或$x=3$时，$y=0$，
$x$的取值与方程$x^{2}-2x-3=0$的解完全相同。
(3) 由图像可知，
当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$；
当$-1＜x＜3$时，$y＜0$。
(1) 令$y=0$，则$x^{2}-2x-3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，
解得$x=-1$或$x=3$，
所以图像与x轴的交点坐标是$(-1,0)$、$(3,0)$；
令$x=0$，则$y=0^{2}-2×0-3=-3$，
所以图像与y轴的交点坐标是$(0,-3)$。
(2) 当$x=-1$或$x=3$时，$y=0$，
$x$的取值与方程$x^{2}-2x-3=0$的解完全相同。
(3) 由图像可知，
当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$；
当$-1＜x＜3$时，$y＜0$。
例2 已知二次函数 $y=(x+m)^{2}+k$ 的图像(图5-16).
(1) 请描述该函数的最值;
(2) 根据图中提供的信息求二次函数的表达式;
(3) 求图像与x轴交点的坐标.
分析 观察图形,二次函数的图像的顶点坐标是$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$,代入$y=(x+m)^{2}+k$求得函数表达式.
解 (1) 当$x=\frac{5}{2}$时,y取最小值$-\frac{9}{4}$.
(2) 将顶点坐标$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$代入$y=(x+m)^{2}+k$,得$y=(x-\frac{5}{2})^{2}-\frac{9}{4}$,
即$y=x^{2}-5x+4$.
(3) 当$y=0$时,$x^{2}-5x+4=0$,得$x_{1}=1$,$x_{2}=4$.
所以图像与x轴交点的坐标是$(1,0)$、$(4,0)$.
(1) 请描述该函数的最值;
(2) 根据图中提供的信息求二次函数的表达式;
(3) 求图像与x轴交点的坐标.
分析 观察图形,二次函数的图像的顶点坐标是$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$,代入$y=(x+m)^{2}+k$求得函数表达式.
解 (1) 当$x=\frac{5}{2}$时,y取最小值$-\frac{9}{4}$.
(2) 将顶点坐标$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$代入$y=(x+m)^{2}+k$,得$y=(x-\frac{5}{2})^{2}-\frac{9}{4}$,
即$y=x^{2}-5x+4$.
(3) 当$y=0$时,$x^{2}-5x+4=0$,得$x_{1}=1$,$x_{2}=4$.
所以图像与x轴交点的坐标是$(1,0)$、$(4,0)$.
答案
解：
(1) 当$x=\frac{5}{2}$时，$y$取得最小值$-\frac{9}{4}$。
(2) 将顶点坐标$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$代入$y=(x+m)^2+k$，得：
$y=(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4}$
展开整理得：$y=x^2-5x+4$
即二次函数的表达式为$y=x^2-5x+4$。
(3) 令$y=0$，则$x^2-5x+4=0$，
因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，
所以图像与$x$轴交点的坐标为$(1,0)$、$(4,0)$。
(1) 当$x=\frac{5}{2}$时，$y$取得最小值$-\frac{9}{4}$。
(2) 将顶点坐标$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$代入$y=(x+m)^2+k$，得：
$y=(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4}$
展开整理得：$y=x^2-5x+4$
即二次函数的表达式为$y=x^2-5x+4$。
(3) 令$y=0$，则$x^2-5x+4=0$，
因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，
所以图像与$x$轴交点的坐标为$(1,0)$、$(4,0)$。
