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一、选择题
1. 一个等腰三角形两边长分别为 $ 2\sqrt{3} $ 和 $ 5\sqrt{2} $，则它的周长为(
A.$ 2\sqrt{3}+10\sqrt{2} $
B.$ 4\sqrt{3}+5\sqrt{2} $
C.$ 4\sqrt{3}+5\sqrt{2} $ 或 $ 2\sqrt{3}+10\sqrt{2} $
D.以上都不对
1. 一个等腰三角形两边长分别为 $ 2\sqrt{3} $ 和 $ 5\sqrt{2} $，则它的周长为(
A
)。A.$ 2\sqrt{3}+10\sqrt{2} $
B.$ 4\sqrt{3}+5\sqrt{2} $
C.$ 4\sqrt{3}+5\sqrt{2} $ 或 $ 2\sqrt{3}+10\sqrt{2} $
D.以上都不对
答案
1. A
解析
情况1：腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为$5\sqrt{2}$。
$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3}=\sqrt{16×3}=\sqrt{48}$，$5\sqrt{2}=\sqrt{25×2}=\sqrt{50}$，$\sqrt{48}＜\sqrt{50}$，即$4\sqrt{3}＜5\sqrt{2}$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况2：腰长为$5\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$。
$5\sqrt{2}+5\sqrt{2}=10\sqrt{2}$，$10\sqrt{2}＞\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；$5\sqrt{2}+2\sqrt{3}＞5\sqrt{2}$，满足三角形三边关系。
周长为$5\sqrt{2}+5\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$。
A
$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3}=\sqrt{16×3}=\sqrt{48}$，$5\sqrt{2}=\sqrt{25×2}=\sqrt{50}$，$\sqrt{48}＜\sqrt{50}$，即$4\sqrt{3}＜5\sqrt{2}$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况2：腰长为$5\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$。
$5\sqrt{2}+5\sqrt{2}=10\sqrt{2}$，$10\sqrt{2}＞\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；$5\sqrt{2}+2\sqrt{3}＞5\sqrt{2}$，满足三角形三边关系。
周长为$5\sqrt{2}+5\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$。
A
2. 下列计算正确的是(
A.$ 2\sqrt{3}+4\sqrt{2}=6\sqrt{5} $
B.$ \sqrt{27}÷\sqrt{3}=3 $
C.$ 3\sqrt{3}×3\sqrt{2}=3\sqrt{6} $
D.$ \sqrt{(-3)^2}=-3 $
B
)。A.$ 2\sqrt{3}+4\sqrt{2}=6\sqrt{5} $
B.$ \sqrt{27}÷\sqrt{3}=3 $
C.$ 3\sqrt{3}×3\sqrt{2}=3\sqrt{6} $
D.$ \sqrt{(-3)^2}=-3 $
答案
2. B
解析
【分析】
这道题是二次根式运算的选择题，需根据二次根式的运算法则和性质逐个分析选项：首先明确同类二次根式才能合并，二次根式乘除运算的规则，以及$\sqrt{a^2}=|a|$的性质。通过对每个选项的运算过程进行验证，判断其计算是否正确。
【解析】
逐个选项分析如下：
选项A：$2\sqrt{3}$与$4\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不是同类二次根式，不能合并，因此该选项计算错误；
选项B：根据二次根式除法法则，$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=\sqrt{27÷3}=\sqrt{9}=3$，计算正确；
选项C：根据二次根式乘法法则，$3\sqrt{3}×3\sqrt{2}=(3×3)×\sqrt{3×2}=9\sqrt{6}≠3\sqrt{6}$，计算错误；
选项D：根据二次根式的性质，$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$（二次根式的结果为非负数），计算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的基础运算与核心性质，易错点在于混淆同类二次根式的合并条件、忽略二次根式的非负性。解题时需紧扣运算法则，逐个选项严谨验证，避免粗心失误。
【难度系数】
0.7
这道题是二次根式运算的选择题，需根据二次根式的运算法则和性质逐个分析选项：首先明确同类二次根式才能合并，二次根式乘除运算的规则，以及$\sqrt{a^2}=|a|$的性质。通过对每个选项的运算过程进行验证，判断其计算是否正确。
【解析】
逐个选项分析如下：
选项A：$2\sqrt{3}$与$4\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不是同类二次根式，不能合并，因此该选项计算错误；
选项B：根据二次根式除法法则，$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=\sqrt{27÷3}=\sqrt{9}=3$，计算正确；
选项C：根据二次根式乘法法则，$3\sqrt{3}×3\sqrt{2}=(3×3)×\sqrt{3×2}=9\sqrt{6}≠3\sqrt{6}$，计算错误；
选项D：根据二次根式的性质，$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$（二次根式的结果为非负数），计算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的基础运算与核心性质，易错点在于混淆同类二次根式的合并条件、忽略二次根式的非负性。解题时需紧扣运算法则，逐个选项严谨验证，避免粗心失误。
【难度系数】
0.7
3. 若 $ a $，$ b $ 都是有理数，且 $ a+\sqrt{2}b=(3 - 2\sqrt{2})^2 $，则(
A.$ a = 11 $，$ b = -6 $
B.$ a = 17 $，$ b = -6 $
C.$ a = 11 $，$ b = -12 $
D.$ a = 17 $，$ b = -12 $
D
)。A.$ a = 11 $，$ b = -6 $
B.$ a = 17 $，$ b = -6 $
C.$ a = 11 $，$ b = -12 $
D.$ a = 17 $，$ b = -12 $
答案
3. D
解析
$(3 - 2\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2×3×2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$
因为$a + \sqrt{2}b = 17 - 12\sqrt{2}$，且$a$，$b$都是有理数，所以$a = 17$，$b = -12$
D
因为$a + \sqrt{2}b = 17 - 12\sqrt{2}$，且$a$，$b$都是有理数，所以$a = 17$，$b = -12$
D
二、填空题
4. 计算：$ \sqrt{12}+\sqrt{3}= $
4. 计算：$ \sqrt{12}+\sqrt{3}= $
$ 3\sqrt{3} $
。答案
4. $ 3\sqrt{3} $
解析
【分析】
要解决这道二次根式加法题，需遵循二次根式的加法运算规则：只有同类二次根式才能合并。首先将非最简二次根式$\sqrt{12}$化为最简二次根式，再与$\sqrt{3}$合并同类二次根式即可得到结果。具体思考步骤：①利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）化简$\sqrt{12}$；②将化简后的结果与$\sqrt{3}$合并，同类二次根式合并时，系数相加，根式部分不变。
【解析】
$\begin{aligned}\sqrt{12}+\sqrt{3}&=\sqrt{4×3}+\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=(2+1)\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式加法的基础题型，核心在于掌握二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，难度较低，旨在巩固二次根式的基本运算能力，需熟练运用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.9
要解决这道二次根式加法题，需遵循二次根式的加法运算规则：只有同类二次根式才能合并。首先将非最简二次根式$\sqrt{12}$化为最简二次根式，再与$\sqrt{3}$合并同类二次根式即可得到结果。具体思考步骤：①利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）化简$\sqrt{12}$；②将化简后的结果与$\sqrt{3}$合并，同类二次根式合并时，系数相加，根式部分不变。
【解析】
$\begin{aligned}\sqrt{12}+\sqrt{3}&=\sqrt{4×3}+\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=(2+1)\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式加法的基础题型，核心在于掌握二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，难度较低，旨在巩固二次根式的基本运算能力，需熟练运用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.9
5. 计算：$ (\sqrt{50}-\sqrt{8})÷\sqrt{2}= $
3
；$ \sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{6}= $2
。答案
5. 3 2
解析
$(\sqrt{50}-\sqrt{8})÷\sqrt{2}$
$=(5\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}÷\sqrt{2}$
$=3$
$\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{6}$
$=\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×\sqrt{3}+\sqrt{6}$
$=2-\sqrt{6}+\sqrt{6}$
$=2$
$=(5\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}÷\sqrt{2}$
$=3$
$\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{6}$
$=\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×\sqrt{3}+\sqrt{6}$
$=2-\sqrt{6}+\sqrt{6}$
$=2$
6. 如图所示，从一个大正方形中可截去面积为 32 和 18 的两个小正方形，则原大正方形的周长为
$ 28\sqrt{2} $
。答案
6. $ 28\sqrt{2} $
解析
面积为32的小正方形边长为$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，面积为18的小正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，原大正方形边长为$4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$，周长为$4×7\sqrt{2}=28\sqrt{2}$。
三、解答题
7. 计算：
(1) $ \sqrt{3}+\sqrt{12}-3\sqrt{18}+7\sqrt{2} $；
(2) $ \sqrt{8\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{3}{8}}-\sqrt{54}+\sqrt{\frac{1}{3}} $；
(3) $ (\sqrt{12}+\sqrt{1\frac{1}{3}})×\sqrt{3} $；
(4) $ \sqrt{\frac{2}{3}}-(\frac{1}{6}\sqrt{24}-\frac{3}{2}\sqrt{12}) $。
7. 计算：
(1) $ \sqrt{3}+\sqrt{12}-3\sqrt{18}+7\sqrt{2} $；
(2) $ \sqrt{8\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{3}{8}}-\sqrt{54}+\sqrt{\frac{1}{3}} $；
(3) $ (\sqrt{12}+\sqrt{1\frac{1}{3}})×\sqrt{3} $；
(4) $ \sqrt{\frac{2}{3}}-(\frac{1}{6}\sqrt{24}-\frac{3}{2}\sqrt{12}) $。
答案
7. (1) $ 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} $ (2) $ 2\sqrt{3} - \dfrac{13}{4}\sqrt{6} $ (3) 8 (4) $ 3\sqrt{3} $
解析
(1) $\sqrt{3}+\sqrt{12}-3\sqrt{18}+7\sqrt{2}$
$=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-9\sqrt{2}+7\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{8\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{3}{8}}-\sqrt{54}+\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=\sqrt{\frac{25}{3}}-\frac{\sqrt{6}}{4}-3\sqrt{6}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{5\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{4}-3\sqrt{6}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3}-\frac{13}{4}\sqrt{6}$
(3) $(\sqrt{12}+\sqrt{1\frac{1}{3}})×\sqrt{3}$
$=(2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3})×\sqrt{3}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$
$=8$
(4) $\sqrt{\frac{2}{3}}-(\frac{1}{6}\sqrt{24}-\frac{3}{2}\sqrt{12})$
$=\frac{\sqrt{6}}{3}-(\frac{1}{6}×2\sqrt{6}-\frac{3}{2}×2\sqrt{3})$
$=\frac{\sqrt{6}}{3}-(\frac{\sqrt{6}}{3}-3\sqrt{3})$
$=3\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-9\sqrt{2}+7\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{8\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{3}{8}}-\sqrt{54}+\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=\sqrt{\frac{25}{3}}-\frac{\sqrt{6}}{4}-3\sqrt{6}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{5\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{4}-3\sqrt{6}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3}-\frac{13}{4}\sqrt{6}$
(3) $(\sqrt{12}+\sqrt{1\frac{1}{3}})×\sqrt{3}$
$=(2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3})×\sqrt{3}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$
$=8$
(4) $\sqrt{\frac{2}{3}}-(\frac{1}{6}\sqrt{24}-\frac{3}{2}\sqrt{12})$
$=\frac{\sqrt{6}}{3}-(\frac{1}{6}×2\sqrt{6}-\frac{3}{2}×2\sqrt{3})$
$=\frac{\sqrt{6}}{3}-(\frac{\sqrt{6}}{3}-3\sqrt{3})$
$=3\sqrt{3}$
