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【变式训练 1】 如图，在等腰△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 的延长线上，∠ADB = ∠BAC，BE⊥AD 交 AC 于点 F。
(1)求证：AD = BD；
(2)若∠CAD = 12°，求∠BAC 的度数。
(1)求证：AD = BD；
(2)若∠CAD = 12°，求∠BAC 的度数。
答案
变式训练 1 (1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB。
∵∠ACB 是△ACD 的一个外角,
∴∠ACB=∠CAD+∠ADB。
∵∠ADB=∠BAC,
∴∠ACB=∠CAD+∠BAC=∠BAD。
∴∠BAD=∠ABC。
∴AD=BD。
(2)解:设∠BAC=x°,则∠ADB=x°。
∵AD=BD。
∴∠BAD=∠ABD=$\frac{180°-x°}{2}$。
又
∵∠CAD=12°,
∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=12°+x°。
∴$\frac{180°-x°}{2}$=12°+x°。
解得 x=52。
∴∠BAC=52°。
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB。
∵∠ACB 是△ACD 的一个外角,
∴∠ACB=∠CAD+∠ADB。
∵∠ADB=∠BAC,
∴∠ACB=∠CAD+∠BAC=∠BAD。
∴∠BAD=∠ABC。
∴AD=BD。
(2)解:设∠BAC=x°,则∠ADB=x°。
∵AD=BD。
∴∠BAD=∠ABD=$\frac{180°-x°}{2}$。
又
∵∠CAD=12°,
∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=12°+x°。
∴$\frac{180°-x°}{2}$=12°+x°。
解得 x=52。
∴∠BAC=52°。
例 2 用反证法证明：如果 a + b ＞ 0，那么 a，b 中至少有一个大于零。
答案
【证明】
假设 $a$，$b$ 都不大于零，
即 $a ≤ 0$，$b ≤ 0$，
根据同号相加取同号（或非正数相加仍为非正数）的性质，
得 $a + b ≤ 0$，
这与已知条件 $a + b ＞ 0$ 产生矛盾，
由此，假设不成立，
因此，$a$，$b$ 中至少有一个大于零。
假设 $a$，$b$ 都不大于零，
即 $a ≤ 0$，$b ≤ 0$，
根据同号相加取同号（或非正数相加仍为非正数）的性质，
得 $a + b ≤ 0$，
这与已知条件 $a + b ＞ 0$ 产生矛盾，
由此，假设不成立，
因此，$a$，$b$ 中至少有一个大于零。
【变式训练 2】 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角。
已知：在△ABC 中，AB = AC。
求证：∠B，∠C 必为锐角。
已知：在△ABC 中，AB = AC。
求证：∠B，∠C 必为锐角。
答案
变式训练 2 证明:假设∠B,∠C 都不是锐角,即∠B,∠C 为直角或钝角。
∵AB=AC,
∴∠B=∠C。
当∠B,∠C 都是直角时,∠B+∠C=180°,
这与三角形内角和定理矛盾;
当∠B,∠C 都是钝角时,∠B+∠C＞180°,
这与三角形内角和定理矛盾。
综上所述,假设不成立,
∴∠B,∠C 必为锐角。
∵AB=AC,
∴∠B=∠C。
当∠B,∠C 都是直角时,∠B+∠C=180°,
这与三角形内角和定理矛盾;
当∠B,∠C 都是钝角时,∠B+∠C＞180°,
这与三角形内角和定理矛盾。
综上所述,假设不成立,
∴∠B,∠C 必为锐角。
1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC 于点 D。若 BC = 10，AD = 6，则图中阴影部分的面积是(
A.60
B.30
C.20
D.15
D
)A.60
B.30
C.20
D.15
答案
1. D
解析
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×10=5，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×10×6=30，
∵AD是△ABC的对称轴，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×30=15。
D
