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4. 如图，点B，C，D在一条直线上，且∠A = 33°，∠ACD = 60°，则∠B =
27°
。答案
4. 27°
解析
解：
∵点B，C，D在一条直线上，
∴∠ACD是△ABC的外角，
∵∠ACD = ∠A + ∠B，∠A = 33°，∠ACD = 60°，
∴∠B = ∠ACD - ∠A = 60° - 33° = 27°。
故答案为：27°
∵点B，C，D在一条直线上，
∴∠ACD是△ABC的外角，
∵∠ACD = ∠A + ∠B，∠A = 33°，∠ACD = 60°，
∴∠B = ∠ACD - ∠A = 60° - 33° = 27°。
故答案为：27°
5. 如图，在△ABC中，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线。若∠ABP = 20°，∠ACP = 50°，则∠P =
30°
。答案
5. 30°
解析
解：
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠PBC=∠ABP=20°。
∵CP是∠ACB外角的平分线，∠ACP=50°，
∴∠ACM=2∠ACP=100°（M为BC延长线上一点）。
∵∠ACM是△ABC的外角，
∴∠BAC=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°。
在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=80°+50°=130°。
在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠BCP=180°-20°-130°=30°。
30°
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠PBC=∠ABP=20°。
∵CP是∠ACB外角的平分线，∠ACP=50°，
∴∠ACM=2∠ACP=100°（M为BC延长线上一点）。
∵∠ACM是△ABC的外角，
∴∠BAC=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°。
在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=80°+50°=130°。
在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠BCP=180°-20°-130°=30°。
30°
6. 如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，点N为△ABC的两个外角的平分线的交点。已知以下结论：
① ∠A = ∠N；
② ∠BMC + ∠BNC = 180°；
③ ∠BMC = ∠A + $\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠ACB；
④ ∠N = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。
其中正确的是
① ∠A = ∠N；
② ∠BMC + ∠BNC = 180°；
③ ∠BMC = ∠A + $\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠ACB；
④ ∠N = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。
其中正确的是
②③④
(填写序号)。答案
6. ②③④
解析
证明：
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°。
结论①：
N为△ABC两个外角平分线交点，设外角为∠DBC、∠ECB（D在AB延长线，E在AC延长线）。
∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，BN、CN分别平分∠DBC、∠ECB。
∠NBC=1/2∠DBC=1/2(∠A+∠ACB)，∠NCB=1/2∠ECB=1/2(∠A+∠ABC)。
∠N=180°-∠NBC-∠NCB=180°-1/2(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-1/2(180°+∠A)=90°-1/2∠A≠∠A，①错误。
结论②：
BM、CM分别平分∠ABC、∠ACB，∠MBC=1/2∠ABC，∠MCB=1/2∠ACB。
∠BMC=180°-∠MBC-∠MCB=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=90°+1/2∠A。
由①知∠N=90°-1/2∠A，故∠BMC+∠BNC=90°+1/2∠A+90°-1/2∠A=180°，②正确。
结论③：
∠BMC=180°-1/2∠ABC-1/2∠ACB=∠A+1/2∠ABC+1/2∠ACB（
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB），③正确。
结论④：
由①推导知∠N=90°-1/2∠A，④正确。
综上，正确的是②③④。
②③④
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°。
结论①：
N为△ABC两个外角平分线交点，设外角为∠DBC、∠ECB（D在AB延长线，E在AC延长线）。
∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，BN、CN分别平分∠DBC、∠ECB。
∠NBC=1/2∠DBC=1/2(∠A+∠ACB)，∠NCB=1/2∠ECB=1/2(∠A+∠ABC)。
∠N=180°-∠NBC-∠NCB=180°-1/2(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-1/2(180°+∠A)=90°-1/2∠A≠∠A，①错误。
结论②：
BM、CM分别平分∠ABC、∠ACB，∠MBC=1/2∠ABC，∠MCB=1/2∠ACB。
∠BMC=180°-∠MBC-∠MCB=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=90°+1/2∠A。
由①知∠N=90°-1/2∠A，故∠BMC+∠BNC=90°+1/2∠A+90°-1/2∠A=180°，②正确。
结论③：
∠BMC=180°-1/2∠ABC-1/2∠ACB=∠A+1/2∠ABC+1/2∠ACB（
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB），③正确。
结论④：
由①推导知∠N=90°-1/2∠A，④正确。
综上，正确的是②③④。
②③④
7. 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，求∠1 + ∠2 + ∠3的度数。
答案
7. 360°
解析
解：
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠ABC+∠ACB，
∵∠2是△ABC的外角，
∴∠2=∠BAC+∠ACB，
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠3=∠BAC+∠ABC，
∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠1+∠2+∠3=2×180°=360°。
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠ABC+∠ACB，
∵∠2是△ABC的外角，
∴∠2=∠BAC+∠ACB，
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠3=∠BAC+∠ABC，
∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠1+∠2+∠3=2×180°=360°。
8. 如图，点O是△ABC内一点，∠A = 72°，∠ACO = 30°，∠ABO = 22°，求∠BOC的度数。
答案
8. ∠BOC = 124°
解析
证明：在△ABC中，∠A=72°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=108°。
∵∠ABO=22°，∠ACO=30°，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB-∠ABO-∠ACO=108°-22°-30°=56°。
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-56°=124°。
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=108°。
∵∠ABO=22°，∠ACO=30°，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB-∠ABO-∠ACO=108°-22°-30°=56°。
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-56°=124°。
9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC，点F是AD上的一点，FE的延长线交BC的延长线于点G。
求证：
(1)∠EGH ＞ ∠ADE；
(2)∠EGH = ∠ADE + ∠A + ∠AEF。
求证：
(1)∠EGH ＞ ∠ADE；
(2)∠EGH = ∠ADE + ∠A + ∠AEF。
答案
9. 证明：(1)
∵∠EGH 是△FBG 的一个外角，
∴∠EGH ＞ ∠B。
∵DE // BC，
∴∠B = ∠ADE。
∴∠EGH ＞ ∠ADE。
(2)
∵∠BFE 是△AFE 的一个外角，
∴∠BFE = ∠A + ∠AEF。
∵∠EGH 是△BFG 的一个外角，
∴∠EGH = ∠B + ∠BFE。
∴∠EGH = ∠B + ∠A + ∠AEF。
又
∵DE // BC，
∴∠B = ∠ADE。
∴∠EGH = ∠ADE + ∠A + ∠AEF。
∵∠EGH 是△FBG 的一个外角，
∴∠EGH ＞ ∠B。
∵DE // BC，
∴∠B = ∠ADE。
∴∠EGH ＞ ∠ADE。
(2)
∵∠BFE 是△AFE 的一个外角，
∴∠BFE = ∠A + ∠AEF。
∵∠EGH 是△BFG 的一个外角，
∴∠EGH = ∠B + ∠BFE。
∴∠EGH = ∠B + ∠A + ∠AEF。
又
∵DE // BC，
∴∠B = ∠ADE。
∴∠EGH = ∠ADE + ∠A + ∠AEF。
