教材母题◆（九上 P₉₈ T₁ 改编）如图，$AB$ 是$\odot O$的直径，$D$ 是半圆$\overset{\frown}{AB}$的中点，过点 $B$ 的切线 $BC$ 与 $AD$ 的延长线交于点 $C$，连接 $OC$.

(1)求$\tan∠ COB$的值；
(2)延长 $CO$ 交$\odot O$于点 $E$，连接 $DE$.求$\tan∠ ADE$的值.

(1)设⊙O半径为r，以O为原点，AB为x轴建立坐标系，则A(-r,0),B(r,0),D(0,r)。AD方程：y=x+r，BC为切线且⊥OB，故BC:x=r，交点C(r,2r)。在Rt△OBC中，tan∠COB=BC/OB=2r/r=2。
(2)CO方程：y=2x，与⊙O:x²+y²=r²交于E(-r/√5,-2r/√5)。DA斜率k1=1，DE斜率k2=( -2r/√5 - r)/(-r/√5 - 0)=2+√5。tan∠ADE=|(k2 - k1)/(1 + k1k2)|=|(1 + √5)/(3 + √5)|=(√5 - 1)/2。

(1)设⊙O半径为r，以O为原点，AB为x轴建立坐标系，则A(-r,0),B(r,0),D(0,r)。AD方程：y=x+r，BC为切线且⊥OB，故BC:x=r，交点C(r,2r)。在Rt△OBC中，tan∠COB=BC/OB=2r/r=2。
(2)CO方程：y=2x，与⊙O:x²+y²=r²交于E(-r/√5,-2r/√5)。DA斜率k1=1，DE斜率k2=( -2r/√5 - r)/(-r/√5 - 0)=2+√5。tan∠ADE=|(k2 - k1)/(1 + k1k2)|=|(1 + √5)/(3 + √5)|=(√5 - 1)/2。

【教材变式 1】 如图，$△ ABC$ 内接于$\odot O$，$CD$ 是$\odot O$的直径，且$\tan∠ CAB=\frac{1}{3}$.
(1)求$\tan∠ BCD$的值；
(2)若$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BC}$，求$\sin∠ ABC$的值.

(1)3；(2)$\frac{3}{5}$

(1)连接BD，∵CD是⊙O直径，∴∠CBD=90°。∵∠CAB与∠CDB所对弧均为$\overset{\frown}{CB}$，∴∠CAB=∠CDB。设∠CAB=∠CDB=α，tanα=$\frac{1}{3}$。在Rt△BCD中，∠BCD=90°-α，∴tan∠BCD=tan(90°-α)=cotα=$\frac{1}{\tanα}$=3。
(2)设$\overset{\frown}{BC}=x$，则$\overset{\frown}{AC}=2x$，∠ABC=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=x$，∠CAB=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=\frac{x}{2}$。设∠CAB=α，则α=$\frac{x}{2}$，∠ABC=2α。已知tanα=$\frac{1}{3}$，设直角三角形中对边为1，邻边为3，斜边=$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，∴sinα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$。sin∠ABC=sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{1}{\sqrt{10}}$×$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。

【教材变式 2】 如图，$AB$ 为$\odot O$的直径，$DB$，$DE$ 分别与$\odot O$相切于点 $B$，$E$，$AD$ 交$\odot O$于点 $M$，连接 $EM$.
(1)求证：$∠ AME=\frac{1}{2}∠ BDE$；
(2)若$\cos∠ BDE=\frac{3}{5}$，求$\sin∠ AME$的值.

(1)证明见解析；(2)√5/5

(1)连接OE，∵DB、DE是⊙O切线，∴DB=DE，OB⊥DB，OE⊥DE，∴∠OBD=∠OED=90°。在四边形OBDE中，∠BDE+∠BOE=180°，即∠BOE=180°-∠BDE。∵AB是直径，∠AOB=180°，∴∠AOE=∠AOB-∠BOE=∠BDE。∵∠AME是弧AE所对圆周角，∠AOE是弧AE所对圆心角，∴∠AME=1/2∠AOE=1/2∠BDE。
(2)设∠BDE=2α，则∠AME=α，cos2α=3/5。由cos2α=1-2sin²α，得3/5=1-2sin²α，解得sin²α=1/5，sinα=√5/5（α为锐角），即sin∠AME=√5/5。