23. (11分)已知$M$是等边$\triangle ABC$的边$BC$上的点。
(1)如图1，过点$M$作$MN // AC$，交边$AB$于点$N$，求证：$BM = BN$；
(2)如图2，在图1的基础上连接$AM$，过点$M$作$\angle AMH = 60°$，$MH$与$\triangle ABC$的外角$\angle ACD$的平分线相交于点$H$。
①若$\angle CAM = 45°$，则$\angle HMC =$$°$；
②求证：$\triangle ANM \cong \triangle MCH$。

(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∠C=60°．
∵MN//AC，∴∠NMB=∠C=60°（两直线平行，同位角相等）．
在△BMN中，∠B=60°，∠NMB=60°，
∴∠BNM=180°-∠B-∠NMB=60°．
∴△BMN是等边三角形（三个角都是60°的三角形是等边三角形），
∴BM=BN．
(2)①15
②证明：
由(1)知△BMN是等边三角形，∴BN=BM=MN，∠BNM=60°，∠NMB=60°，
∴∠ANM=180°-∠BNM=120°（平角定义）．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，
∴AB-BN=BC-BM，即AN=MC．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，外角∠ACD=180°-∠ACB=120°．
∵CH平分∠ACD，∴∠HCD=∠ACD/2=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠HCD=60°+60°=120°，故∠ANM=∠MCH．
设∠BAM=α，则∠CAM=∠BAC-∠BAM=60°-α．
在△AMC中，∠AMC=180°-∠CAM-∠ACB=180°-(60°-α)-60°=60°+α．
∵∠AMH=60°，且∠AMC=∠AMH+∠HMC，
∴∠HMC=∠AMC-∠AMH=(60°+α)-60°=α，即∠HMC=∠BAM=∠MAN．
在△ANM和△MCH中，
∠MAN=∠HMC，
AN=MC，
∠ANM=∠MCH，
∴△ANM≌△MCH（ASA）．

24. (12分)如图，$\angle ABN = 60°$，点$C$为射线$BN$上的定点，点$E$为线段$AB$延长线上的定点，且$BE = AB = 12$，点$A$关于射线$BN$的对称点为$D$，连接$BD$，$CD$，$DE$。
(1)求证：$\angle BAC = \angle BDC$；
(2)若$P$为直线$BC$上的一个动点，求当$\triangle PDE$的周长最小时点$P$所在的位置，并求出$\triangle PDE$的周长的最小值。

(1) ∵A,D关于射线BN对称,∴BA=BD,∠ABN=∠DBN=60°.
∵点C在BN上,∴∠ABC=∠ABN=60°,∠DBC=∠DBN=60°,∴∠ABC=∠DBC.
在△ABC和△DBC中,
$\left\{\begin{array}{l} BA=BD,\\ ∠ABC=∠DBC,\\ BC=BC,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DBC(SAS),∴∠BAC=∠BDC.
(2) ∵A,D关于BN对称,∴PD=PA.△PDE周长=PD+PE+DE=PA+PE+DE.
∵DE为定值,∴需PA+PE最小.
∵E在AB延长线上,BE=AB,∴B为AE中点.
A(6,6√3),E(-6,-6√3),直线AE:y=√3x,与BN(x轴)交于B(0,0).
∴P与B重合时,PA+PE=AE=24.
DE=12,∴周长最小值=24+12=36.
综上,点P与点B重合,△PDE周长最小值为36.
(1) 得证; (2) P与B重合,最小值36.