6. 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 120^{\circ}$，点$D$在线段$BC$上. 当$\triangle ADC$为直角三角形时，$\angle ADB$的度数为 ()

A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$或$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$或$120^{\circ}$

D

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=120°$，则$\angle B=\angle C=\frac{180° -120°}{2}=30°$。点$D$在线段$BC$上，$\triangle ADC$为直角三角形，分两种情况：
1. 若$\angle ADC=90°$，则$\angle ADB=180° -\angle ADC=90°$；
2. 若$\angle DAC=90°$，则$\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC=120° -90°=30°$，在$\triangle ABD$中，$\angle ADB=180° -\angle B-\angle BAD=180° -30° -30°=120°$。
综上，$\angle ADB=90°$或$120°$。

7. 如图，将等边$\triangle APQ$的边$PQ$向两边延长，使$PB = QC = PQ$，则$\angle BAC$的度数为 ()

A.$120^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

A

∵△APQ是等边三角形，∴AP=AQ=PQ，∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°，PB=PQ=QC，∴PB=AP，QC=AQ。
在△ABP中，AP=BP，∠APB=180°-∠APQ=120°，∴∠BAP=(180°-120°)/2=30°。
在△AQC中，AQ=CQ，∠AQC=180°-∠AQP=120°，∴∠CAQ=(180°-120°)/2=30°。
∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=30°+60°+30°=120°。

8. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = 5$，点$D$在边$AB$上，$AD = 3.6$，过点$D$作$DE \perp AC$于点$E$，过点$E$作$EF \perp BC$于点$F$，则$CF$的长是 ()

A.$2.2$
B.$2$
C.$1.8$
D.$1.6$

D

∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°，AC=AB=5。
在Rt△ADE中，∠A=60°，∠AED=90°，AD=3.6，
∴AE=AD·cos60°=3.6×0.5=1.8。
∴EC=AC-AE=5-1.8=3.2。
在Rt△EFC中，∠C=60°，∠EFC=90°，EC=3.2，
∴CF=EC·cos60°=3.2×0.5=1.6。

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 30^{\circ}$，$AD \perp AB$，垂足为$A$，交$BC$于点$D$，过点$D$的直线$m$恰好垂直平分线段$AC$，$AD = 3$，则$BC$的长是 ()

A.$6$
B.$9$
C.$12$
D.$18$

B

设直线m与AC交于点E，∵m垂直平分AC，∴D在AC垂直平分线上，∴DA=DC（垂直平分线性质）。∵AD=3，∴DC=3。
∵DA=DC，∠C=30°，∴∠CAD=∠C=30°（等腰三角形性质）。
∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°。在△ABD中，∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°（外角性质），∴∠B=180°-∠BAD-∠ADB=30°。
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=3（30°角对直角边），∴BD=2AD=6（直角三角形30°角性质）。
∵BC=BD+DC，∴BC=6+3=9。

10. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为$40^{\circ}$，则顶角的度数为 ()

A.$50^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$50^{\circ}$或$120^{\circ}$
D.$50^{\circ}$或$130^{\circ}$

D

本题可分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。
情况一：当等腰三角形为锐角三角形时
此时等腰三角形一腰上的高在三角形内部，已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为$40^{\circ}$，因为一腰上的高与该腰垂直，所以顶角为$90^{\circ} - 40^{\circ}=50^{\circ}$。
情况二：当等腰三角形为钝角三角形时
此时等腰三角形一腰上的高在三角形外部，一腰上的高与另一腰所夹的角为$40^{\circ}$，则高与腰的延长线所夹的角为$90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，所以顶角为$180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。
综上，顶角的度数为$50^{\circ}$或$130^{\circ}$。

11. 如图，在一个房间内，有一架长为1.6米的梯子(图中$CM$)斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为$75^{\circ}$. 如果梯子底端$C$不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为$45^{\circ}$，那么$MN$的长是米.

1.6

解：在$Rt\triangle ACM$中，$\angle ACM=75°$，$CM=1.6$米，
$\sin75°=\frac{AM}{CM}$，则$AM=CM·\sin75°=1.6\sin75°$。
在$Rt\triangle BCN$中，$\angle BCN=45°$，$CN=CM=1.6$米，
$\sin45°=\frac{BN}{CN}$，则$BN=CN·\sin45°=1.6\sin45°$。
因为$AB$为房间宽度，$AC=CM·\cos75°=1.6\cos75°$，$BC=CN·\cos45°=1.6\cos45°$，且$AM$、$BN$均垂直于$AB$，所以$MN$的水平距离为$AB=AC+BC=1.6(\cos75°+\cos45°)$，竖直距离为$|AM - BN|=1.6|\sin75° - \sin45°|$。
由三角函数公式：$\sin75°=\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\cos75°=\cos(45°+30°)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
水平距离：$1.6\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1.6\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{4}\right)=1.6\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=0.4(\sqrt{6}+\sqrt{2})$。
竖直距离：$1.6\left|\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=1.6\left|\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{4}\right|=1.6\left|\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right|=0.4(\sqrt{6}-\sqrt{2})$。
$MN=\sqrt{[0.4(\sqrt{6}+\sqrt{2})]^2 + [0.4(\sqrt{6}-\sqrt{2})]^2}=0.4\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}=0.4\sqrt{6+2\sqrt{12}+2 + 6-2\sqrt{12}+2}=0.4\sqrt{16}=0.4×4=1.6$。
又因为$CM=CN=1.6$，$\angle MCN=180° - 75° - 45°=60°$，所以$\triangle MCN$为等边三角形，$MN=CM=1.6$。
$1.6$

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 20$，$BC = 16$，$AD$平分$\angle BAC$，交$BC$于点$D$，$E$为$AC$的中点，连接$DE$，则$\triangle CDE$的周长为.

28

∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC=BC/2=8（三线合一）。
在Rt△ADC中，AC=20，DC=8，
由勾股定理得：AD=√(AC²-DC²)=√(20²-8²)=12√2（此处修正：应为√(400-64)=√336=4√21，原计算错误，正确计算如下：
AD=√(20² - 8²)=√(400 - 64)=√336=4√21，但后续DE为中线，直角三角形斜边中线等于斜边一半，E为AC中点，故DE=EC=AC/2=10。
△CDE周长=CD + DE + EC=8 + 10 + 10=28。

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$BO$平分$\angle ABC$，$CO$平分$\angle ACB$，过点$O$作$MN // BC$交$AB$于点$M$，交$AC$于点$N$. 若$\triangle ANM$的周长为15，$\triangle ABC$的周长为24，则$BC =$.

9

1. 由于 $BO$ 平分 $\angle ABC$，$CO$ 平分 $\angle ACB$，且 $MN // BC$，
所以$\angle MOB = \angle OBC = \angle MBO$，$\angle NOC = \angle OCB = \angle NCO$，
因此$BM = MO$，$NO = CN$。
2. 计算 $\triangle ANM$ 的周长：
$周长(\triangle ANM) = AM + AN + MN$，
由于 $MN = MO + ON = BM + CN$，
所以$周长(\triangle ANM) = AM + BM + AN + CN = AB + AC$，
已知 $\triangle ANM$ 的周长为 15，
因此$AB + AC = 15$。
3. 已知 $\triangle ABC$ 的周长为 24，
所以$AB + AC + BC = 24$，
代入 $AB + AC = 15$，
得$BC = 24 - 15 = 9$。