1.如图，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，从点$D$向$AB$,$AC$两边作垂线段，垂足分别为$E$,$F$.下列结论错误的是().

A.$DE = DF$
B.$AE = AF$
C.$BD = CD$
D.$\angle ADE = \angle ADF$

C

$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，从点$D$向$AB，AC$两边作垂线段，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以$DE=DF$，故选项A正确。
在$\triangle ADE$和$\triangle ADF$中，$\angle AED=\angle AFD=90°$，$\angle EAD=\angle FAD$，$AD=AD$，所以$\triangle ADE\cong\triangle ADF(AAS)$，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以$AE=AF$，故选项B正确。
因为$\triangle ADE\cong\triangle ADF$，根据全等三角形的性质，对应角相等，所以$\angle ADE=\angle ADF$，故选项D正确。
而只有当$AB=AC$时，依据等腰三角形三线合一，才有$BD=CD$，在这里，无法证明其相等，故选项C错误。
本题要求选择结论错误的，

2.如图，点$M$,$N$分别是$OA$,$OB$边上的点，点$P$在射线$OC$上.下列条件中，不能推出$OC$平分$\angle AOB$的是().

A.$PM = PN$,$OM = ON$
B.$PM = PN$,$\angle PMO = \angle PNO$
C.$PM \perp OA$,$PN \perp OB$,$PM = PN$
D.$\angle AMP = \angle BNP$,$\angle MPO = \angle NPO$

B

选项A中，OM=ON，PM=PN，OP=OP，由SSS可证△OMP≌△ONP，得∠MOP=∠NOP，OC平分∠AOB；选项C中，PM⊥OA，PN⊥OB且PM=PN，由角平分线判定定理知OC平分∠AOB；选项D中，∠AMP=∠BNP，∠MPO=∠NPO，由三角形外角性质得∠MOP=∠NOP，OC平分∠AOB；选项B中，PM=PN，∠PMO=∠PNO，OP为公共边，是SSA条件，无法判定△OMP≌△ONP，不能推出∠MOP=∠NOP。

3.三角形中到三边的距离相等的点是().

A.3条边的垂直平分线的交点
B.3条高的交点
C.3条中线的交点
D.3条角平分线的交点

D

根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离都相等，此点为三角形的内心。选项A是外心，到三个顶点距离相等；选项B是垂心；选项C是重心。所以答案为D。

4.如图，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE \perp AC$，垂足为$E$，$BF // AC$，交$ED$的延长线于点$F$，且$BC$恰好平分$\angle ABF$，$AE = 2BF$.给出下列$4$个结论：①$DE = DF$；②$DB = DC$；③$AD \perp BC$；④$AC = 3BF$.其中，正确的结论有().

A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$1$个

A

∵BF//AC，∴∠C=∠FBC（内错角相等）.
∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠FBC，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC（等角对等边），即△ABC为等腰三角形.
∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），且BD=DC（中线），故②DB=DC、③AD⊥BC正确.
∵BF//AC，DE⊥AC，∴DF⊥BF（平行线间垂线性质），即∠BFD=∠CED=90°.
在△FDB和△EDC中，∠BFD=∠CED=90°，∠FDB=∠EDC（对顶角），BD=DC，∴△FDB≌△EDC（AAS），∴DE=DF（对应边相等），BF=EC（对应边相等），故①DE=DF正确.
∵AE=2BF，EC=BF，∴AC=AE+EC=2BF+BF=3BF，故④AC=3BF正确.
综上，①②③④均正确，共4个.