1.下列方程中,没有实数根的是().

A.$x^2-4x + 4 = 0$
B.$x^2 - 2x = -5$
C.$x^2 - 2x = 0$
D.$x^2 - 2x = 3$

B

判断一元二次方程是否有实数根可根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$来判断，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根。
选项A：对于方程$x^2 - 4x + 4 = 0$，其中$a = 1$，$b = -4$，$c = 4$，则$\Delta=(-4)^{2}-4×1×4=16 - 16 = 0$，该方程有两个相等的实数根。
选项B：将方程$x^2 - 2x = -5$移项化为标准形式为$x^2 - 2x + 5 = 0$，其中$a = 1$，$b = -2$，$c = 5$，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×5=4 - 20 = -16\lt0$，该方程没有实数根。
选项C：方程$x^2 - 2x = 0$中$a = 1$，$b = -2$，$c = 0$，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×0=4\gt0$，该方程有两个不相等的实数根。
选项D：将方程$x^2 - 2x = 3$移项化为标准形式为$x^2 - 2x - 3 = 0$，其中$a = 1$，$b = -2$，$c = -3$，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-3)=4 + 12 = 16\gt0$，该方程有两个不相等的实数根。

2. 如图,某小区有一块长为18 m、宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为$60 m^2$,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若人行道宽为$x$ m,则可以列出关于$x$的方程为().


A.$x^2 + 9x - 8 = 0$
B.$x^2 - 9x - 8 = 0$
C.$x^2 - 9x + 8 = 0$
D.$2x^2 - 9x + 8 = 0$

C

设人行道宽为$x$米。
垂直方向（空地宽$6m$）：绿地总宽为$6 - 2x$（上下各$x$宽通道）。
水平方向（空地长$18m$）：两块绿地并排，中间及两侧各$x$宽通道，绿地总长度为$18 - 3x$（左右各$x$，中间$x$，共$3x$），每块绿地长为$\frac{18 - 3x}{2}$。
每块绿地面积为$\frac{18 - 3x}{2} × (6 - 2x)$，两块面积之和为$60m^2$，则：
$2 × \left[\frac{18 - 3x}{2} × (6 - 2x)\right] = 60$，化简得$(18 - 3x)(6 - 2x) = 120$，进一步化简：
$3(6 - x) × 2(3 - x) = 120$，即$6(6 - x)(3 - x) = 120$，$(6 - x)(3 - x) = 20$，展开得$x^2 - 9x + 18 = 20$，$x^2 - 9x + 8 = 0$。

3.若关于$x$的方程$kx^2 - 6x + 9 = 0$有实数根,则$k$的取值范围是().

A.$k ＜ 1$且$k \neq 0$
B.$k ＜ 1$
C.$k \leq 1$且$k \neq 0$
D.$k \leq 1$

D

当$k=0$时，方程化为$-6x + 9 = 0$，有实数根；
当$k\neq0$时，方程为一元二次方程，根据判别式$\Delta=b^2 - 4ac$，其中$a = k$，$b = -6$，$c = 9$，则$\Delta = (-6)^2 - 4× k×9 = 36 - 36k$，因为方程有实数根，所以$\Delta\geq0$，即$36 - 36k\geq0$，解得$k\leq1$且$k\neq0$。
综合以上两种情况，$k$的取值范围是$k\leq1$。

4.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + kb + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则一次函数$y = kx + b$的图象可能是().

B

对于一元二次方程$x^2 - 2x + kb + 1 = 0$，判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(kb + 1) = 4 - 4(kb + 1) = -4kb$。因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即$-4kb ＞ 0$，得$kb ＜ 0$，故$k$与$b$异号。一次函数$y = kx + b$中，$k$与$b$异号时，图象可能为：$k ＞ 0$、$b ＜ 0$（过一、三、四象限）或$k ＜ 0$、$b ＞ 0$（过一、二、四象限）。结合选项，符合条件的为B。

5.欧几里得的《原本》记载,形如$x^2 + ax = b^2$的方程的图解法如图:画Rt$\triangle ABC$,使$\angle ACB = 90^{\circ}$, $BC = \frac{a}{2}$,$AC = b$,再在斜边AB上截取$BD = \frac{a}{2}$,则该方程的一个正根是().


A.$AC$的长
B.$AD$的长
C.$BC$的长
D.$CD$的长

B

设$AD = x$，则斜边$AB = AD + DB = x + \frac{a}{2}$。在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得$AB^2 = AC^2 + BC^2$，即$(x + \frac{a}{2})^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$。展开并化简：$x^2 + ax + (\frac{a}{2})^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$，得$x^2 + ax = b^2$。故方程的正根为$AD$的长。

6.根据下表中的对应值,判断一元二次方程$x^2 - 4x + 2 = 0$的解的取值范围是.

$0.5 ＜ x ＜ 1$或$3 ＜ x ＜ 3.5$

观察表格，当$x=0.5$时，$x^2 - 4x + 2 = 0.25$；当$x=1$时，$x^2 - 4x + 2=-1$，因为$0.25$到$-1$跨度包含$0$，所以在$0.5$到$1$之间有一个解。当$x=3$时，$x^2 - 4x + 2=-1$；当$x=3.5$时，$x^2 - 4x + 2=0.25$，因为$-1$到$0.25$跨度包含$0$，所以在$3$到$3.5$之间有另一个解。

7.若$(x^2 + y^2)^2 - 5(x^2 + y^2) - 6 = 0$,则$x^2 + y^2 =$.

6

设$t = x^{2} + y^{2}$，因为$x^{2}\geq0$，$y^{2}\geq0$，所以$t\geq0$。
原方程可化为$t^{2}-5t - 6 = 0$，
分解因式得$(t - 6)(t + 1)=0$，
则$t - 6 = 0$或$t + 1 = 0$，
解得$t = 6$或$t=-1$，
又因为$t\geq0$，所以舍去$t = - 1$，
即$x^{2}+y^{2}=6$。