三、解答题(共30分) A

答案略

11.(7分)如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=
DF.请判断△ABC是什么三角形，并说明理由.

△ABC是等腰三角形。
理由：
∵D是BC中点，∴BD=CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°。
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CD，DE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）。
∴∠B=∠C。
∴AB=AC。
∴△ABC是等腰三角形。

12.(7分)如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点0,过点O作DE//BC,分别交
AB,AC于点D,E.
求证:DE=BD+EC.

∵ 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线相交于点 $O$，
$\therefore \angle ABO = \angle OBC, \angle ACO = \angle OCB$。
∵ $DE // BC$，
$\therefore \angle DOB = \angle OBC = \angle ABO, \angle EOC = \angle OCB = \angle ACO$，
$\therefore BD = OD, EC = OE$。
∵ $DE = DO + OE$，
$\therefore DE = BD + EC$。

13.(8分)如图,点A',B',C'分别在等边△ABC的三边上,且AC'=BA'=CB'.
求证:△A'B'C'是等边三角形.
14.(8分)如图,△ABD,△AEC都是等边三角形.
求证:BE=DC.

13题证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°。
设AC'=BA'=CB'=x，AB=BC=CA=a，
则BC'=AB-AC'=a-x，A'C=BC-BA'=a-x，AB'=AC-CB'=a-x，
∴BC'=A'C=AB'=a-x。
在△AC'B'和△BA'C'中：
$\begin{cases} AC'=BA'（已知）\\ ∠A=∠B（等边三角形内角均为60°）\\ AB'=BC'（已证） \end{cases}$
∴△AC'B'≌△BA'C'（SAS），
∴B'C'=A'C'（全等三角形对应边相等）。
同理，在△BA'C'和△CB'A'中：
$\begin{cases} BA'=CB'（已知）\\ ∠B=∠C（等边三角形内角均为60°）\\ BC'=A'C（已证） \end{cases}$
∴△BA'C'≌△CB'A'（SAS），
∴A'C'=B'A'（全等三角形对应边相等）。
∴B'C'=A'C'=B'A'，
∴△A'B'C'是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）。
14题证明：
∵△ABD和△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC（等边三角形三边相等），
∠BAD=∠CAE=60°（等边三角形内角为60°）。
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC（等式性质），
即∠DAC=∠BAE。
在△ABE和△ADC中：
$\begin{cases} AB=AD（已证）\\ ∠BAE=∠DAC（已证）\\ AE=AC（已证） \end{cases}$
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC（全等三角形对应边相等）。