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任务一
探究一元二次方程的根与系数的关系
探究1：利用实例归纳根与系数的关系.
(1)用语言叙述你发现的规律；
(2)若方程$ax^2+bx+c=0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，请用式子表示你发现的规律.
探究2：利用求根公式推导根与系数的关系.
(韦达定理)
由求根公式可知，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根分别为$x_1=\_\_\_\_\_\_$，$x_2=\_\_\_\_\_\_$.
由此可得 $x_1+x_2=$
$=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$，
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}$.
探究3：利用式子恒等推导根与系数的关系
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个根$x_1$和$x_2$，则方程左边可分解因式为$a(x-x_1)(x-x_2)$，即$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2 -a(\_\_\_\_\_\_)x +a\_\_\_\_\_\_$.
根据两式恒等对应项完全相等可得$-a(\_\_\_\_\_\_)=b$，$a\_\_\_\_\_\_=c$.
因此 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$.
新知生成：一元二次方程的根与系数的关系如下.
(1)语言叙述：一元二次方程两个根的和等于________系数与________系数的比的相反数，两个根的积等于________与________系数的比.
(2)数学表示：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$.
探究一元二次方程的根与系数的关系
探究1：利用实例归纳根与系数的关系.
(1)用语言叙述你发现的规律；
(2)若方程$ax^2+bx+c=0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，请用式子表示你发现的规律.
探究2：利用求根公式推导根与系数的关系.
(韦达定理)
由求根公式可知，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根分别为$x_1=\_\_\_\_\_\_$，$x_2=\_\_\_\_\_\_$.
由此可得 $x_1+x_2=$
$=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}$.
探究3：利用式子恒等推导根与系数的关系
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个根$x_1$和$x_2$，则方程左边可分解因式为$a(x-x_1)(x-x_2)$，即$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2 -a(\_\_\_\_\_\_)x +a\_\_\_\_\_\_$.
根据两式恒等对应项完全相等可得$-a(\_\_\_\_\_\_)=b$，$a\_\_\_\_\_\_=c$.
因此 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$.
新知生成：一元二次方程的根与系数的关系如下.
(1)语言叙述：一元二次方程两个根的和等于________系数与________系数的比的相反数，两个根的积等于________与________系数的比.
(2)数学表示：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$.
答案
探究1
(1)两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.
(2)$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
探究2 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
探究3 $x_1+x_2$ $x_1x_2$ $x_1+x_2$ $x_1x_2$
新知生成
(1)一次项 二次项 常数项 二次项
(2)$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
(1)两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.
(2)$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
探究2 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
探究3 $x_1+x_2$ $x_1x_2$ $x_1+x_2$ $x_1x_2$
新知生成
(1)一次项 二次项 常数项 二次项
(2)$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系设置三层探究任务，解题时可按照探究的逻辑顺序逐步推导：①探究1先通过实例计算、对比根与各项系数的关系，归纳出文字和符号规律；②探究2结合已学的一元二次方程求根公式，通过代数运算（加法、乘法）验证规律；③探究3利用因式分解与多项式乘法展开，根据恒等式对应项系数相等的性质推导规律，最终总结得到根与系数关系的完整结论。
【解析】
探究1
(1) 计算多个一元二次方程的两根之和、两根之积，对比方程的二次项系数、一次项系数、常数项，可发现：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比。
(2) 设方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，即可将规律用符号表示为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
探究2
回忆一元二次方程求根公式，$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；两根相加时带根号的项互为相反数抵消，即可推导出$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；两根相乘符合平方差公式，化简后可推导出$x_1x_2=\frac{c}{a}$，验证了探究1的规律。
探究3
先展开$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$，乘以$a$后得$ax^2 -a(x_1+x_2)x +a x_1x_2$；该式与$ax^2+bx+c$恒等，因此对应项系数相等：一次项系数$-a(x_1+x_2)=b$，常数项$a x_1x_2=c$，整理后也可得到根与系数的关系。
新知生成
结合前面的推导结论即可总结：(1) 一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比；(2) 符号表示为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
探究1
(1)两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.
(2)$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
探究2 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
探究3 $x_1+x_2$ $x_1x_2$ $x_1+x_2$ $x_1x_2$
新知生成
(1)一次项 二次项 常数项 二次项
(2)$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 多项式恒等变形
3. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题以分层探究的形式呈现韦达定理的推导过程，既帮助学生理解根与系数关系的来龙去脉，又巩固了求根公式、多项式乘法等旧知识，侧重对知识生成过程的考察，属于基础类探究题。
【难度系数】
0.8
本题围绕一元二次方程根与系数的关系设置三层探究任务，解题时可按照探究的逻辑顺序逐步推导：①探究1先通过实例计算、对比根与各项系数的关系，归纳出文字和符号规律；②探究2结合已学的一元二次方程求根公式，通过代数运算（加法、乘法）验证规律；③探究3利用因式分解与多项式乘法展开，根据恒等式对应项系数相等的性质推导规律，最终总结得到根与系数关系的完整结论。
【解析】
探究1
(1) 计算多个一元二次方程的两根之和、两根之积，对比方程的二次项系数、一次项系数、常数项，可发现：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比。
(2) 设方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，即可将规律用符号表示为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
探究2
回忆一元二次方程求根公式，$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；两根相加时带根号的项互为相反数抵消，即可推导出$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；两根相乘符合平方差公式，化简后可推导出$x_1x_2=\frac{c}{a}$，验证了探究1的规律。
探究3
先展开$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$，乘以$a$后得$ax^2 -a(x_1+x_2)x +a x_1x_2$；该式与$ax^2+bx+c$恒等，因此对应项系数相等：一次项系数$-a(x_1+x_2)=b$，常数项$a x_1x_2=c$，整理后也可得到根与系数的关系。
新知生成
结合前面的推导结论即可总结：(1) 一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比；(2) 符号表示为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
探究1
(1)两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.
(2)$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
探究2 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
探究3 $x_1+x_2$ $x_1x_2$ $x_1+x_2$ $x_1x_2$
新知生成
(1)一次项 二次项 常数项 二次项
(2)$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 多项式恒等变形
3. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题以分层探究的形式呈现韦达定理的推导过程，既帮助学生理解根与系数关系的来龙去脉，又巩固了求根公式、多项式乘法等旧知识，侧重对知识生成过程的考察，属于基础类探究题。
【难度系数】
0.8
求下列方程的两根之和与两根之积：
(1)$x^2 - 3x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 3x - 5 = 0$；
(3)$\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0$。
(1)$x^2 - 3x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 3x - 5 = 0$；
(3)$\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0$。
答案
(1)$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$
(2)$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{5}{2}$
(3)$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=0$
(2)$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{5}{2}$
(3)$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=0$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：①先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，此时两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；②逐一确定每个小题方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数的正负号；③将对应系数代入公式计算，即可得到两根之和与两根之积。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$：
(1) 方程$x^2 - 3x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{(-3)}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$；
(2) 方程$2x^2 + 3x - 5 = 0$中，$a=2$，$b=3$，$c=-5$，
代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$；
(3) 方程$\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0$的一般形式为$\frac{1}{3}x^2 - 2x + 0 = 0$，其中$a=\frac{1}{3}$，$b=-2$，$c=0$，
代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{(-2)}{\frac{1}{3}}=6$，$x_1x_2=\frac{0}{\frac{1}{3}}=0$。
【答案】
(1)$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$
(2)$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{5}{2}$
(3)$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是准确识别方程的各项系数并注意符号，计算难度低，熟练掌握韦达定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：①先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，此时两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；②逐一确定每个小题方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数的正负号；③将对应系数代入公式计算，即可得到两根之和与两根之积。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$：
(1) 方程$x^2 - 3x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{(-3)}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$；
(2) 方程$2x^2 + 3x - 5 = 0$中，$a=2$，$b=3$，$c=-5$，
代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$；
(3) 方程$\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0$的一般形式为$\frac{1}{3}x^2 - 2x + 0 = 0$，其中$a=\frac{1}{3}$，$b=-2$，$c=0$，
代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{(-2)}{\frac{1}{3}}=6$，$x_1x_2=\frac{0}{\frac{1}{3}}=0$。
【答案】
(1)$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$
(2)$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{5}{2}$
(3)$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是准确识别方程的各项系数并注意符号，计算难度低，熟练掌握韦达定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
