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一、将下列各比化成最简整数比。
$32 : 48$
$0.75 : \frac{5}{8}$
$\frac{4}{5}$时 : $45$分
$0.35$平方千米 : $25$公顷
$32 : 48$
$0.75 : \frac{5}{8}$
$\frac{4}{5}$时 : $45$分
$0.35$平方千米 : $25$公顷
答案
1. 2:3
2. 6:5
3. 16:15
4. 7:5
2. 6:5
3. 16:15
4. 7:5
解析
【分析】
化简比的依据是比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。解题时按比的类型分情况处理：①整数比：找到前项和后项的最大公因数，同时除以最大公因数即可；②小数与分数混合的比：可先统一为分数形式，再同时乘两个分母的最小公倍数转化为整数比，再化简；③带单位的比：首先根据单位进率统一单位，消去单位后再按普通比的方法化简，注意时间进率是1时=60分，面积进率是1平方千米=100公顷。
【解析】
1. 化简$32:48$
32和48的最大公因数是16，前项、后项同时除以16：
$32:48=(32÷16):(48÷16)=2:3$
2. 化简$0.75:\frac{5}{8}$
先把$0.75$化成分数$\frac{3}{4}$，再同时乘4和8的最小公倍数8：
$0.75:\frac{5}{8}=\frac{3}{4}:\frac{5}{8}=(\frac{3}{4}×8):(\frac{5}{8}×8)=6:5$
3. 化简$\frac{4}{5}$时$:45$分
先统一单位：$\frac{4}{5}$时$=\frac{4}{5}×60=48$分，再化简整数比：
$\frac{4}{5}$时$:45$分$=48$分$:45$分$=(48÷3):(45÷3)=16:15$
4. 化简$0.35$平方千米$:25$公顷
先统一单位：$0.35$平方千米$=0.35×100=35$公顷，再化简整数比：
$0.35$平方千米$:25$公顷$=35$公顷$:25$公顷$=(35÷5):(25÷5)=7:5$
【答案】
1. $2:3$
2. $6:5$
3. $16:15$
4. $7:5$
【知识点】
比的基本性质，比的化简，单位换算
【点评】
本题考查不同类型比的化简方法，解题核心是熟练运用比的基本性质，注意带单位的比必须先统一单位再化简，避免因忽略单位进率导致错误。
【难度系数】
0.8
化简比的依据是比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。解题时按比的类型分情况处理：①整数比：找到前项和后项的最大公因数，同时除以最大公因数即可；②小数与分数混合的比：可先统一为分数形式，再同时乘两个分母的最小公倍数转化为整数比，再化简；③带单位的比：首先根据单位进率统一单位，消去单位后再按普通比的方法化简，注意时间进率是1时=60分，面积进率是1平方千米=100公顷。
【解析】
1. 化简$32:48$
32和48的最大公因数是16，前项、后项同时除以16：
$32:48=(32÷16):(48÷16)=2:3$
2. 化简$0.75:\frac{5}{8}$
先把$0.75$化成分数$\frac{3}{4}$，再同时乘4和8的最小公倍数8：
$0.75:\frac{5}{8}=\frac{3}{4}:\frac{5}{8}=(\frac{3}{4}×8):(\frac{5}{8}×8)=6:5$
3. 化简$\frac{4}{5}$时$:45$分
先统一单位：$\frac{4}{5}$时$=\frac{4}{5}×60=48$分，再化简整数比：
$\frac{4}{5}$时$:45$分$=48$分$:45$分$=(48÷3):(45÷3)=16:15$
4. 化简$0.35$平方千米$:25$公顷
先统一单位：$0.35$平方千米$=0.35×100=35$公顷，再化简整数比：
$0.35$平方千米$:25$公顷$=35$公顷$:25$公顷$=(35÷5):(25÷5)=7:5$
【答案】
1. $2:3$
2. $6:5$
3. $16:15$
4. $7:5$
【知识点】
比的基本性质，比的化简，单位换算
【点评】
本题考查不同类型比的化简方法，解题核心是熟练运用比的基本性质，注意带单位的比必须先统一单位再化简，避免因忽略单位进率导致错误。
【难度系数】
0.8
1.把3：4的前项乘5，要使比值不变，比的后项应加上(
16
)；把a：6的后项加上12，要使比值不变，比的前项应该(乘3或加上2a
)。答案
1. 16，乘3或加上2a
解析
【分析】
解题的核心依据是比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。解题时先分析每一问中比的某一项的变化情况，再根据性质推出另一项需要做的对应变化，注意区分“乘几”和“加上几”的差异，计算“加上几”时用变化后的量减去原来的量即可。第一小问先确定前项乘5后，后项需要乘相同的数，再计算后项增加的量；第二小问先算出后项加上12后扩大到原来的几倍，再推出前项的变化方式。
【解析】
1. 计算第一个空：
3:4的前项乘5，根据比的基本性质，后项也要乘5才能保证比值不变。
原来的后项是4，乘5后变为：$4×5=20$
后项应加上的数为：$20-4=16$
2. 计算第二个空：
a:6的后项加上12后，后项变为：$6+12=18$
后项扩大的倍数为：$18÷6=3$，即后项乘了3
根据比的基本性质，前项也要乘3才能保证比值不变；
如果计算增加的量，变化后的前项是$a×3=3a$，所以应加上：$3a-a=2a$
因此前项可以乘3或加上2a。
【答案】
16，乘3或加上2a
【知识点】
比的基本性质
【点评】
本题是比的基本性质的典型应用，解题时要注意区分“扩大到原来的几倍”和“增加多少”的差异，不要直接将某一项增加的数值直接套用到另一项上，需要先计算变化的倍数再推导对应变化量。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。解题时先分析每一问中比的某一项的变化情况，再根据性质推出另一项需要做的对应变化，注意区分“乘几”和“加上几”的差异，计算“加上几”时用变化后的量减去原来的量即可。第一小问先确定前项乘5后，后项需要乘相同的数，再计算后项增加的量；第二小问先算出后项加上12后扩大到原来的几倍，再推出前项的变化方式。
【解析】
1. 计算第一个空：
3:4的前项乘5，根据比的基本性质，后项也要乘5才能保证比值不变。
原来的后项是4，乘5后变为：$4×5=20$
后项应加上的数为：$20-4=16$
2. 计算第二个空：
a:6的后项加上12后，后项变为：$6+12=18$
后项扩大的倍数为：$18÷6=3$，即后项乘了3
根据比的基本性质，前项也要乘3才能保证比值不变；
如果计算增加的量，变化后的前项是$a×3=3a$，所以应加上：$3a-a=2a$
因此前项可以乘3或加上2a。
【答案】
16，乘3或加上2a
【知识点】
比的基本性质
【点评】
本题是比的基本性质的典型应用，解题时要注意区分“扩大到原来的几倍”和“增加多少”的差异，不要直接将某一项增加的数值直接套用到另一项上，需要先计算变化的倍数再推导对应变化量。
【难度系数】
0.7
2.学校社团活动玩纸飞机投掷游戏。老师告诉大家：“要想飞得远，机翼长度与机身长度的比最好是2：3。”小秋用卡纸折了一架纸飞机，机翼长0.12 m，机身长0.18 m。他的纸飞机(
符合
)老师说的“最佳比”。(填“符合”或“不符合”)答案
2. 符合
解析
【分析】
要判断小秋的纸飞机是否符合最佳比，可按以下思路解题：首先写出小秋折的纸飞机机翼长度和机身长度的比，再根据比的基本性质把这个比化简为最简整数比，最后将化简结果和老师说的2:3的最佳比做对比，二者相等就符合，不等就不符合。
【解析】
先写出小秋的纸飞机机翼长度与机身长度的比：
$0.12:0.18$
根据比的基本性质，先把比的前项和后项同时乘100，转化为整数比：
$=(0.12×100):(0.18×100)$
$=12:18$
再把前项和后项同时除以二者的最大公因数6，得到最简整数比：
$=(12÷6):(18÷6)$
$=2:3$
化简后的比和老师说的最佳比完全一致。
【答案】
符合
【知识点】
比的化简；比的基本性质
【点评】
这道题是比的化简在生活场景中的实际应用，只要掌握化简比的基本方法，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断小秋的纸飞机是否符合最佳比，可按以下思路解题：首先写出小秋折的纸飞机机翼长度和机身长度的比，再根据比的基本性质把这个比化简为最简整数比，最后将化简结果和老师说的2:3的最佳比做对比，二者相等就符合，不等就不符合。
【解析】
先写出小秋的纸飞机机翼长度与机身长度的比：
$0.12:0.18$
根据比的基本性质，先把比的前项和后项同时乘100，转化为整数比：
$=(0.12×100):(0.18×100)$
$=12:18$
再把前项和后项同时除以二者的最大公因数6，得到最简整数比：
$=(12÷6):(18÷6)$
$=2:3$
化简后的比和老师说的最佳比完全一致。
【答案】
符合
【知识点】
比的化简；比的基本性质
【点评】
这道题是比的化简在生活场景中的实际应用，只要掌握化简比的基本方法，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
3. 李叔叔家种了辣椒、茄子、土豆三种蔬菜，种植面积分别是112平方米、80平方米、144平方米。辣椒、茄子、土豆的种植面积的最简整数比是(
7:5:9
)。答案
3. 7:5:9
解析
【分析】
要计算三种蔬菜种植面积的最简整数比，首先需先写出三个面积的比，再根据比的基本性质（比的各项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变），将三项同时除以它们的最大公因数，直到三项除了1之外没有其他公因数，就得到最简整数比。第一步先写出三个数的比112:80:144，第二步用短除法找到112、80、144的最大公因数，第三步三项同时除以这个最大公因数即可化简。
【解析】
首先写出辣椒、茄子、土豆的种植面积比：
$112:80:144$
用短除法计算可得112、80、144的最大公因数为16，根据比的基本性质，三项同时除以16：
$=(112÷16):(80÷16):(144÷16)$
$=7:5:9$
【答案】
$7:5:9$
【知识点】
比的基本性质；最简整数比；比的化简
【点评】
本题是比的化简的基础应用，核心是找准多个数的最大公因数，再结合比的基本性质进行化简，计算时要注意避免因数计算错误。
【难度系数】
0.8
要计算三种蔬菜种植面积的最简整数比，首先需先写出三个面积的比，再根据比的基本性质（比的各项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变），将三项同时除以它们的最大公因数，直到三项除了1之外没有其他公因数，就得到最简整数比。第一步先写出三个数的比112:80:144，第二步用短除法找到112、80、144的最大公因数，第三步三项同时除以这个最大公因数即可化简。
【解析】
首先写出辣椒、茄子、土豆的种植面积比：
$112:80:144$
用短除法计算可得112、80、144的最大公因数为16，根据比的基本性质，三项同时除以16：
$=(112÷16):(80÷16):(144÷16)$
$=7:5:9$
【答案】
$7:5:9$
【知识点】
比的基本性质；最简整数比；比的化简
【点评】
本题是比的化简的基础应用，核心是找准多个数的最大公因数，再结合比的基本性质进行化简，计算时要注意避免因数计算错误。
【难度系数】
0.8
4.小乐用10克蜂蜜和100克温开水调制了一杯蜂蜜水。喝掉半杯后，再加满水，此时蜂蜜与水的质量比是(
1:21
)。答案
4. 1:21
解析
【分析】
解题时首先要明确：蜂蜜均匀溶解在水中，喝掉半杯蜂蜜水时，蜂蜜和水都会按相同比例减少，且后续只加水，蜂蜜的质量不会再增加。第一步先算出喝掉半杯后剩余的蜂蜜质量，第二步算出喝掉半杯后剩余的水的质量，第三步算出加满水后水的总质量，最后将剩余蜂蜜质量和总水质量作比并化简即可。
【解析】
1. 计算喝掉半杯后剩余的蜂蜜质量：
原来蜂蜜质量是10克，喝掉一半后剩余蜂蜜：$10×\frac{1}{2}=5$（克）
2. 计算原来蜂蜜水总质量：$10+100=110$（克）
喝掉半杯后剩余蜂蜜水质量：$110÷2=55$（克）
此时剩余的水的质量：$55-5=50$（克）
3. 计算加满水后水的总质量：
需要加入的水的质量：$110-55=55$（克）
现在水的总质量：$50+55=105$（克）
4. 求蜂蜜与水的质量比并化简：
$5:105=(5÷5):(105÷5)=1:21$
【答案】
1:21
【知识点】
比的意义，比的化简，分数乘法应用
【点评】
这道题的解题关键是理解均匀混合的溶液倒出一部分后，溶质和溶剂会按相同比例减少，且后续只添加溶剂时溶质质量不变，解题时要注意区分所求比的前后项，不要误算成蜂蜜与蜂蜜水的比，避免审题失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：蜂蜜均匀溶解在水中，喝掉半杯蜂蜜水时，蜂蜜和水都会按相同比例减少，且后续只加水，蜂蜜的质量不会再增加。第一步先算出喝掉半杯后剩余的蜂蜜质量，第二步算出喝掉半杯后剩余的水的质量，第三步算出加满水后水的总质量，最后将剩余蜂蜜质量和总水质量作比并化简即可。
【解析】
1. 计算喝掉半杯后剩余的蜂蜜质量：
原来蜂蜜质量是10克，喝掉一半后剩余蜂蜜：$10×\frac{1}{2}=5$（克）
2. 计算原来蜂蜜水总质量：$10+100=110$（克）
喝掉半杯后剩余蜂蜜水质量：$110÷2=55$（克）
此时剩余的水的质量：$55-5=50$（克）
3. 计算加满水后水的总质量：
需要加入的水的质量：$110-55=55$（克）
现在水的总质量：$50+55=105$（克）
4. 求蜂蜜与水的质量比并化简：
$5:105=(5÷5):(105÷5)=1:21$
【答案】
1:21
【知识点】
比的意义，比的化简，分数乘法应用
【点评】
这道题的解题关键是理解均匀混合的溶液倒出一部分后，溶质和溶剂会按相同比例减少，且后续只添加溶剂时溶质质量不变，解题时要注意区分所求比的前后项，不要误算成蜂蜜与蜂蜜水的比，避免审题失误。
【难度系数】
0.7
三、人体上半身长度和下半身长度的黄金比约为0.618：1。妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米。
1. 妈妈的上半身长度与下半身长度的最简整数比是(
2. 妈妈想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，她买了一双跟高6厘米的高跟鞋。根据“黄金比”判断，这双高跟鞋的高度对妈妈来说是偏高了还是偏低了？
1. 妈妈的上半身长度与下半身长度的最简整数比是(
31:49
)。2. 妈妈想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，她买了一双跟高6厘米的高跟鞋。根据“黄金比”判断，这双高跟鞋的高度对妈妈来说是偏高了还是偏低了？
答案
1. 31:49
2. 62÷(98+6)≈0.596
0.596＜0.619，偏高了
2. 62÷(98+6)≈0.596
0.596＜0.619，偏高了
解析
【分析】
1. 求最简整数比可以用比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。先写出上半身和下半身的长度比，再找到前项和后项的最大公因数，同时除以这个最大公因数就能得到最简整数比。
2. 判断高跟鞋高度是否合适时，首先明确穿上高跟鞋后上半身长度不变，下半身长度会增加鞋跟的高度。先算出穿上高跟鞋后的下半身总长度，再计算此时上半身和下半身的比值，和黄金比对比：如果算出的比值小于黄金比，说明下半身过长，鞋跟偏高；如果大于黄金比，说明下半身长度不足，鞋跟偏低。
【解析】
1. 先写出妈妈上半身与下半身的长度比：
$62:98$
比的前项和后项同时除以二者的最大公因数2：
$(62÷2):(98÷2)=31:49$
2. 第一步，计算穿上6厘米高跟鞋后的下半身总长度：
$98+6=104$（厘米）
第二步，计算此时上半身与下半身的比值：
$62÷104\approx0.596$
第三步，和黄金比对比：$0.596＜0.618$，说明当前下半身长度过长，因此这双高跟鞋的高度偏高。
【答案】
1. $31:49$
2. 偏高了
【知识点】
比的化简；比的实际应用
【点评】
本题结合生活中调整身材比例的常见场景出题，既考查了比的基础化简方法，也考查了利用比的相关知识解决实际问题的能力，能让学生感受到数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
1. 求最简整数比可以用比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。先写出上半身和下半身的长度比，再找到前项和后项的最大公因数，同时除以这个最大公因数就能得到最简整数比。
2. 判断高跟鞋高度是否合适时，首先明确穿上高跟鞋后上半身长度不变，下半身长度会增加鞋跟的高度。先算出穿上高跟鞋后的下半身总长度，再计算此时上半身和下半身的比值，和黄金比对比：如果算出的比值小于黄金比，说明下半身过长，鞋跟偏高；如果大于黄金比，说明下半身长度不足，鞋跟偏低。
【解析】
1. 先写出妈妈上半身与下半身的长度比：
$62:98$
比的前项和后项同时除以二者的最大公因数2：
$(62÷2):(98÷2)=31:49$
2. 第一步，计算穿上6厘米高跟鞋后的下半身总长度：
$98+6=104$（厘米）
第二步，计算此时上半身与下半身的比值：
$62÷104\approx0.596$
第三步，和黄金比对比：$0.596＜0.618$，说明当前下半身长度过长，因此这双高跟鞋的高度偏高。
【答案】
1. $31:49$
2. 偏高了
【知识点】
比的化简；比的实际应用
【点评】
本题结合生活中调整身材比例的常见场景出题，既考查了比的基础化简方法，也考查了利用比的相关知识解决实际问题的能力，能让学生感受到数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
四、【思维拓展】如图，长方形、正方形和等腰梯形的周长相等，它们的边长如图所示。请写出a、b、c三者的最简整数比。
答案
由题意得: $C_{长}=C_{正}=C_{梯}$，即
$2a+2b=\frac{7}{6}a×4=7c$
所以 $a:b:c=3:4:2$
$2a+2b=\frac{7}{6}a×4=7c$
所以 $a:b:c=3:4:2$
解析
【分析】
解题的核心是抓住“三个图形周长相等”这一关键条件，首先回忆长方形、正方形、等腰梯形的周长计算方法，分别写出三个图形的周长表达式，再根据周长相等得到含有a、b、c的等量关系，先分别求出a与b的比、a与c的比，最后把两个比中a的份数统一，就能得到a、b、c三者的最简整数比。
【解析】
第一步：分别计算三个图形的周长
①长方形周长：$C_长=(a+b)×2=2a+2b$
②正方形周长：$C_正=\frac{7}{6}a×4=\frac{14}{3}a$
③等腰梯形周长：$C_梯=c + 3c + \frac{3}{2}c + \frac{3}{2}c = 7c$
第二步：根据周长相等列等式
因为$C_长=C_正=C_梯$：
首先由$2a+2b=\frac{14}{3}a$，等式两边同时乘3消去分母：
$6a+6b=14a$
整理得$6b=8a$，化简得$b=\frac{4}{3}a$，即$a:b=3:4$。
再由$\frac{14}{3}a=7c$，等式两边同时乘3得：
$14a=21c$
化简得$2a=3c$，即$c=\frac{2}{3}a$，即$a:c=3:2$。
第三步：统一a的份数写连比
两个比中a的份数都是3，直接合并得$a:b:c=3:4:2$。
【答案】
$a:b:c=3:4:2$
【知识点】
图形周长计算，比的化简，等量代换
【点评】
本题综合考查了常见图形周长计算和比的相关知识，解题的突破口是利用周长相等的条件建立不同字母间的等量关系，推导连比时注意统一相同字母的份数，最终结果要化为最简整数比。
【难度系数】
0.6
解题的核心是抓住“三个图形周长相等”这一关键条件，首先回忆长方形、正方形、等腰梯形的周长计算方法，分别写出三个图形的周长表达式，再根据周长相等得到含有a、b、c的等量关系，先分别求出a与b的比、a与c的比，最后把两个比中a的份数统一，就能得到a、b、c三者的最简整数比。
【解析】
第一步：分别计算三个图形的周长
①长方形周长：$C_长=(a+b)×2=2a+2b$
②正方形周长：$C_正=\frac{7}{6}a×4=\frac{14}{3}a$
③等腰梯形周长：$C_梯=c + 3c + \frac{3}{2}c + \frac{3}{2}c = 7c$
第二步：根据周长相等列等式
因为$C_长=C_正=C_梯$：
首先由$2a+2b=\frac{14}{3}a$，等式两边同时乘3消去分母：
$6a+6b=14a$
整理得$6b=8a$，化简得$b=\frac{4}{3}a$，即$a:b=3:4$。
再由$\frac{14}{3}a=7c$，等式两边同时乘3得：
$14a=21c$
化简得$2a=3c$，即$c=\frac{2}{3}a$，即$a:c=3:2$。
第三步：统一a的份数写连比
两个比中a的份数都是3，直接合并得$a:b:c=3:4:2$。
【答案】
$a:b:c=3:4:2$
【知识点】
图形周长计算，比的化简，等量代换
【点评】
本题综合考查了常见图形周长计算和比的相关知识，解题的突破口是利用周长相等的条件建立不同字母间的等量关系，推导连比时注意统一相同字母的份数，最终结果要化为最简整数比。
【难度系数】
0.6
