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1. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A(1，0)在x轴上，直角顶点C(1，1)。将△ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向每秒旋转45°，6 s后，点B的坐标为（
A.(0，1)
B.(0，0)
C.(1，1)
D.(1，－1)
A
）A.(0，1)
B.(0，0)
C.(1，1)
D.(1，－1)
答案
1. A
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步先根据等腰直角三角形的性质和已知的A、C点坐标，求出初始状态下点B的坐标；第二步计算6秒的总旋转角度，明确旋转效果，顺时针旋转270°等价于逆时针旋转90°；第三步根据点绕定点旋转90°的坐标变换规律，求出旋转后点B的坐标。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知C是等腰直角△ABC的直角顶点，A(1,0)，C(1,1)，可得AC垂直于x轴，长度$AC=1-0=1$。
因为$∠ C=90°$，所以CB平行于x轴，且$CB=AC=1$，因此B点横坐标为$1+1=2$，纵坐标为1，即初始B点坐标为$(2,1)$。
2. 计算总旋转角度：
每秒顺时针旋转$45°$，6秒旋转的总角度为$45°×6=270°$，顺时针旋转$270°$相当于逆时针旋转$90°$。
3. 计算旋转后B的坐标：
先求点B相对于旋转中心A(1,0)的相对坐标：横坐标差为$2-1=1$，纵坐标差为$1-0=1$。
点绕定点逆时针旋转$90°$时，相对坐标变换规律为$(x差,y差)\to(-y差,x差)$，因此变换后的相对坐标为$(-1,1)$。
旋转后B点的坐标为：横坐标$1+(-1)=0$，纵坐标$0+1=1$，即$(0,1)$。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形的性质、图形的旋转、平面直角坐标系坐标变换
【点评】
本题结合了等腰直角三角形性质和旋转的坐标变化规律，解题的核心是先确定初始点坐标，准确判断旋转角度对应的变换效果，掌握基础的旋转坐标变换规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题可分三步进行：第一步先根据等腰直角三角形的性质和已知的A、C点坐标，求出初始状态下点B的坐标；第二步计算6秒的总旋转角度，明确旋转效果，顺时针旋转270°等价于逆时针旋转90°；第三步根据点绕定点旋转90°的坐标变换规律，求出旋转后点B的坐标。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知C是等腰直角△ABC的直角顶点，A(1,0)，C(1,1)，可得AC垂直于x轴，长度$AC=1-0=1$。
因为$∠ C=90°$，所以CB平行于x轴，且$CB=AC=1$，因此B点横坐标为$1+1=2$，纵坐标为1，即初始B点坐标为$(2,1)$。
2. 计算总旋转角度：
每秒顺时针旋转$45°$，6秒旋转的总角度为$45°×6=270°$，顺时针旋转$270°$相当于逆时针旋转$90°$。
3. 计算旋转后B的坐标：
先求点B相对于旋转中心A(1,0)的相对坐标：横坐标差为$2-1=1$，纵坐标差为$1-0=1$。
点绕定点逆时针旋转$90°$时，相对坐标变换规律为$(x差,y差)\to(-y差,x差)$，因此变换后的相对坐标为$(-1,1)$。
旋转后B点的坐标为：横坐标$1+(-1)=0$，纵坐标$0+1=1$，即$(0,1)$。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形的性质、图形的旋转、平面直角坐标系坐标变换
【点评】
本题结合了等腰直角三角形性质和旋转的坐标变化规律，解题的核心是先确定初始点坐标，准确判断旋转角度对应的变换效果，掌握基础的旋转坐标变换规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在同一平面内，直线 $ l $ 上摆放着两个大小相同的三角板 $ ABC $ 和 $ DEC $（$ ∠ CED = ∠ ABC = 60° $，$ ∠ A = ∠ CDE = 30° $），其中边 $ CE $ 和 $ AC $ 重合。将 $ △ DEC $ 沿直线 $ l $ 向左平移得到 $ △ D'E'C' $，点 $ E' $ 落在 $ AB $ 上，$ P $ 为 $ AC $ 与 $ E'D' $ 的交点。
(1) 求 $ ∠ CPE' $ 的度数；
(2) 求证：$ AB ⊥ E'D' $；
(3) 若图中三块阴影部分的面积之和为 8，则三角板 $ ABC $ 的面积为
(1) 求 $ ∠ CPE' $ 的度数；
(2) 求证：$ AB ⊥ E'D' $；
(3) 若图中三块阴影部分的面积之和为 8，则三角板 $ ABC $ 的面积为
8
。答案
2. (1) ∠CPE'=120°。(2) 证明略 (3) 8
解析
【分析】
1. 第(1)问：先利用平移的性质，得到平移后对应角相等、对应线段平行，再结合三角板是直角三角形，得到E'C'和AC平行，利用平行线同旁内角互补的性质即可求出∠CPE'的度数。
2. 第(2)问：要证AB⊥E'D'，只需证明二者夹角为90°，先在Rt△BE'C'中利用直角三角形两锐角互余求出∠BE'C'的度数，结合已知的∠D'E'C'的度数，即可推出夹角为90°，得到垂直关系。
3. 第(3)问：利用平移前后图形全等、面积相等的性质，可知右侧阴影面积等于中间空白四边形的面积，因此三块阴影的面积之和恰好等于△ABC的面积，直接得到结果。
【解析】
(1) 解：由平移的性质可知：E'D'//ED，∠D'E'C'=∠DEC=60°，E'C'//EC。
∵ CE与AC重合，△ABC为直角三角板，∠ACB=90°，即AC⊥直线l，
∴ E'C'⊥直线l，E'C'//AC，
根据两直线平行，同旁内角互补可得：∠CPE' + ∠D'E'C' = 180°，
∴ ∠CPE' = 180° - 60° = 120°。
(2) 证明：
∵ E'在AB上，△BC'E'为直角三角形，∠BC'E'=90°，∠ABC=60°，
∴ ∠BE'C' = 90° - 60° = 30°，
又
∵ ∠D'E'C'=60°，
∴ ∠BE'D' = ∠BE'C' + ∠D'E'C' = 30° + 60° = 90°，
∴ AB⊥E'D'。
(3) 解：
∵ 平移前后图形全等，
∴ △D'E'C'≌△DEC，即S△D'E'C'=S△DEC，
∴ S△DEC - S△PE'C = S△D'E'C' - S△PE'C，即右侧阴影面积等于四边形E'C'CE的面积。
已知△ABC与△DEC大小相同，面积相等，
∴ S△ABC = S左侧两块阴影面积之和 + S四边形E'C'CE = 三块阴影面积之和 = 8。
【答案】
(1) ∠CPE'=120°；(2) 证明见解析；(3) 8
【知识点】
平移的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、直角三角形角度计算和面积关系，解题关键是熟练掌握平移的相关性质，结合图形的重叠关系分析面积即可快速求解。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先利用平移的性质，得到平移后对应角相等、对应线段平行，再结合三角板是直角三角形，得到E'C'和AC平行，利用平行线同旁内角互补的性质即可求出∠CPE'的度数。
2. 第(2)问：要证AB⊥E'D'，只需证明二者夹角为90°，先在Rt△BE'C'中利用直角三角形两锐角互余求出∠BE'C'的度数，结合已知的∠D'E'C'的度数，即可推出夹角为90°，得到垂直关系。
3. 第(3)问：利用平移前后图形全等、面积相等的性质，可知右侧阴影面积等于中间空白四边形的面积，因此三块阴影的面积之和恰好等于△ABC的面积，直接得到结果。
【解析】
(1) 解：由平移的性质可知：E'D'//ED，∠D'E'C'=∠DEC=60°，E'C'//EC。
∵ CE与AC重合，△ABC为直角三角板，∠ACB=90°，即AC⊥直线l，
∴ E'C'⊥直线l，E'C'//AC，
根据两直线平行，同旁内角互补可得：∠CPE' + ∠D'E'C' = 180°，
∴ ∠CPE' = 180° - 60° = 120°。
(2) 证明：
∵ E'在AB上，△BC'E'为直角三角形，∠BC'E'=90°，∠ABC=60°，
∴ ∠BE'C' = 90° - 60° = 30°，
又
∵ ∠D'E'C'=60°，
∴ ∠BE'D' = ∠BE'C' + ∠D'E'C' = 30° + 60° = 90°，
∴ AB⊥E'D'。
(3) 解：
∵ 平移前后图形全等，
∴ △D'E'C'≌△DEC，即S△D'E'C'=S△DEC，
∴ S△DEC - S△PE'C = S△D'E'C' - S△PE'C，即右侧阴影面积等于四边形E'C'CE的面积。
已知△ABC与△DEC大小相同，面积相等，
∴ S△ABC = S左侧两块阴影面积之和 + S四边形E'C'CE = 三块阴影面积之和 = 8。
【答案】
(1) ∠CPE'=120°；(2) 证明见解析；(3) 8
【知识点】
平移的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、直角三角形角度计算和面积关系，解题关键是熟练掌握平移的相关性质，结合图形的重叠关系分析面积即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 甲骨文是商周时期人们刻在龟甲、兽骨上的古老汉字，是中华文脉的重要源头。下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（
A
）答案
3. A
解析
【分析】
解决本题首先要明确平移的核心性质：图形经过平移后，形状、大小、方向均不发生改变，仅位置发生变化。解题时逐一判断每个选项中的甲骨文，判断是否存在某一部分，仅通过沿某一方向平移就能得到其他部分，不需要经过旋转、翻转即可。
【解析】
平移的定义：平面内将一个图形上所有点按某个方向移动相同距离的运动叫做平移，平移不改变图形的形状、大小和朝向。
对各选项逐一分析：
选项A：“比”的两个组成部分形状、大小、朝向完全一致，仅位置水平向右偏移，可由其中一部分平移得到另一部分，符合平移的特征。
选项B：“水”的中间曲线和两侧点状图形形状不同，无法通过平移得到，不符合要求。
选项C：“火”的两侧曲线与中间部分朝向不同，需要经过旋转才能得到，不属于平移，不符合要求。
选项D：“山”的三个竖线底部相连，中间部分与两侧结构形状有差异，无法通过平移得到，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、平移的辨识
【点评】
本题结合传统文化甲骨文考查平移的识别，需要学生准确把握平移的核心特征，能区分平移与旋转、翻折等其他图形变换，同时也能感受到汉字的造字智慧。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确平移的核心性质：图形经过平移后，形状、大小、方向均不发生改变，仅位置发生变化。解题时逐一判断每个选项中的甲骨文，判断是否存在某一部分，仅通过沿某一方向平移就能得到其他部分，不需要经过旋转、翻转即可。
【解析】
平移的定义：平面内将一个图形上所有点按某个方向移动相同距离的运动叫做平移，平移不改变图形的形状、大小和朝向。
对各选项逐一分析：
选项A：“比”的两个组成部分形状、大小、朝向完全一致，仅位置水平向右偏移，可由其中一部分平移得到另一部分，符合平移的特征。
选项B：“水”的中间曲线和两侧点状图形形状不同，无法通过平移得到，不符合要求。
选项C：“火”的两侧曲线与中间部分朝向不同，需要经过旋转才能得到，不属于平移，不符合要求。
选项D：“山”的三个竖线底部相连，中间部分与两侧结构形状有差异，无法通过平移得到，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、平移的辨识
【点评】
本题结合传统文化甲骨文考查平移的识别，需要学生准确把握平移的核心特征，能区分平移与旋转、翻折等其他图形变换，同时也能感受到汉字的造字智慧。
【难度系数】
0.8
4. 规定用$(m, n)$表示有序数对，给出定义：将$(m, n)$变为$(m+n, m)$称为一次X变换，将$(m, n)$变为$(m, n-m)$称为一次Y变换。下列说法：
①将$(3, 2)$进行2次X变换后得到的结果为$(8, 5)$；
②将$(5, 3)$进行2次Y变换后得到的结果为$(5, -5)$；
③对$(m, n)$随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果；
④将$A=x-1$，$B=x+3$对应的有序数对$(A, B)$先进行一次X变换，再进行一次Y变换，得到$(A', B')$。若对任意实数$x$，$kA'+B'+2=0$恒成立，则$k=\frac{1}{2}$。
其中，正确说法的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
①将$(3, 2)$进行2次X变换后得到的结果为$(8, 5)$；
②将$(5, 3)$进行2次Y变换后得到的结果为$(5, -5)$；
③对$(m, n)$随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果；
④将$A=x-1$，$B=x+3$对应的有序数对$(A, B)$先进行一次X变换，再进行一次Y变换，得到$(A', B')$。若对任意实数$x$，$kA'+B'+2=0$恒成立，则$k=\frac{1}{2}$。
其中，正确说法的个数是（
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4. B
解析
【分析】
本题属于新定义类题目，解题核心是先明确X变换、Y变换的运算规则，再逐一验证4个说法是否正确。具体思路为：①②直接按变换规则逐步计算验证；③列出两次变换的所有组合，分别计算结果后统计不同结果的数量；④先按要求完成两次变换得到$A'$、$B'$，再代入恒等式，利用“对任意x恒成立则对应项系数为0”的规律求解k后验证。
【解析】
首先明确变换规则：X变换为$(m,n)\to(m+n,m)$；Y变换为$(m,n)\to(m,n-m)$，逐个判断如下：
1. 判断①：
对$(3,2)$做第一次X变换：$(3+2,3)=(5,3)$，
第二次X变换：$(5+3,5)=(8,5)$，故①正确。
2. 判断②：
对$(5,3)$做第一次Y变换：$(5,3-5)=(5,-2)$，
第二次Y变换：$(5,-2-5)=(5,-7)≠(5,-5)$，故②错误。
3. 判断③：
两次变换的组合共4种：XX、XY、YX、YY，分别计算结果：
XX：第一次X得$(m+n,m)$，第二次X得$(2m+n,m+n)$；
XY：第一次X得$(m+n,m)$，第二次Y得$(m+n,-n)$；
YX：第一次Y得$(m,n-m)$，第二次X得$(n,m)$；
YY：第一次Y得$(m,n-m)$，第二次Y得$(m,n-2m)$。
4种结果互不相同，共4种，故③错误。
4. 判断④：
有序数对$(A,B)=(x-1,x+3)$，
先做X变换得：$((x-1)+(x+3),x-1)=(2x+2,x-1)$，
再做Y变换得：$A'=2x+2$，$B'=(x-1)-(2x+2)=-x-3$，
代入$kA'+B'+2=0$整理得：$(2k-1)x + (2k -1)=0$，
因对任意实数x恒成立，故$2k-1=0$，解得$k=\frac{1}{2}$，故④正确。
综上，正确的说法是①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，整式化简，恒成立问题
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解和运算能力，解题时要注意变换的先后顺序，处理恒成立问题时要掌握“代数式对任意变量成立则对应项系数均为0”的规律。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义类题目，解题核心是先明确X变换、Y变换的运算规则，再逐一验证4个说法是否正确。具体思路为：①②直接按变换规则逐步计算验证；③列出两次变换的所有组合，分别计算结果后统计不同结果的数量；④先按要求完成两次变换得到$A'$、$B'$，再代入恒等式，利用“对任意x恒成立则对应项系数为0”的规律求解k后验证。
【解析】
首先明确变换规则：X变换为$(m,n)\to(m+n,m)$；Y变换为$(m,n)\to(m,n-m)$，逐个判断如下：
1. 判断①：
对$(3,2)$做第一次X变换：$(3+2,3)=(5,3)$，
第二次X变换：$(5+3,5)=(8,5)$，故①正确。
2. 判断②：
对$(5,3)$做第一次Y变换：$(5,3-5)=(5,-2)$，
第二次Y变换：$(5,-2-5)=(5,-7)≠(5,-5)$，故②错误。
3. 判断③：
两次变换的组合共4种：XX、XY、YX、YY，分别计算结果：
XX：第一次X得$(m+n,m)$，第二次X得$(2m+n,m+n)$；
XY：第一次X得$(m+n,m)$，第二次Y得$(m+n,-n)$；
YX：第一次Y得$(m,n-m)$，第二次X得$(n,m)$；
YY：第一次Y得$(m,n-m)$，第二次Y得$(m,n-2m)$。
4种结果互不相同，共4种，故③错误。
4. 判断④：
有序数对$(A,B)=(x-1,x+3)$，
先做X变换得：$((x-1)+(x+3),x-1)=(2x+2,x-1)$，
再做Y变换得：$A'=2x+2$，$B'=(x-1)-(2x+2)=-x-3$，
代入$kA'+B'+2=0$整理得：$(2k-1)x + (2k -1)=0$，
因对任意实数x恒成立，故$2k-1=0$，解得$k=\frac{1}{2}$，故④正确。
综上，正确的说法是①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，整式化简，恒成立问题
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解和运算能力，解题时要注意变换的先后顺序，处理恒成立问题时要掌握“代数式对任意变量成立则对应项系数均为0”的规律。
【难度系数】
0.6
5. 下列音符中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（
A
B
C
D
D
）A
B
C
D
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后，能和原图形完全重合的图形。解题时依次对每个选项按两个定义逐一判断，筛选出满足“是中心对称图形但不是轴对称图形”的选项即可。
【解析】
逐个分析各选项：
选项A：该音符不存在能使它对折后两侧重合的直线，旋转180°后也不能和原图形重合，因此既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求；
选项B：高音谱号既不满足轴对称图形的定义，也不满足中心对称图形的定义，不符合要求；
选项C：该图形沿横竖两条直线对折后两侧都能重合，且旋转180°后也与原图形重合，因此它既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合要求；
选项D：该图形不存在能使它对折后两侧重合的直线，不是轴对称图形；绕中心旋转180°后能与原图形完全重合，是中心对称图形，符合题目要求。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查两类对称图形的辨别，解题关键是准确掌握两种对称图形的判断方法，区分“对折重合”和“旋转180°重合”两个不同的判断标准即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后，能和原图形完全重合的图形。解题时依次对每个选项按两个定义逐一判断，筛选出满足“是中心对称图形但不是轴对称图形”的选项即可。
【解析】
逐个分析各选项：
选项A：该音符不存在能使它对折后两侧重合的直线，旋转180°后也不能和原图形重合，因此既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求；
选项B：高音谱号既不满足轴对称图形的定义，也不满足中心对称图形的定义，不符合要求；
选项C：该图形沿横竖两条直线对折后两侧都能重合，且旋转180°后也与原图形重合，因此它既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合要求；
选项D：该图形不存在能使它对折后两侧重合的直线，不是轴对称图形；绕中心旋转180°后能与原图形完全重合，是中心对称图形，符合题目要求。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查两类对称图形的辨别，解题关键是准确掌握两种对称图形的判断方法，区分“对折重合”和“旋转180°重合”两个不同的判断标准即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移m个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ度，这种图形运动叫作图形的P(m，θ)变换。如图，等边三角形ABC的边长为2，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A₁B₁C₁是△ABC经过P(2，180°)变换后所得到的图形，则点A₁的坐标为
(-3, -√3)
。答案
6. (-3, -√3)
解析
【分析】
首先明确图形的P(m,θ)变换的操作顺序：先向右平移m个单位，再绕原点顺时针旋转θ度。解题时按照以下步骤思考：第一步先根据等边三角形的性质求出初始点A的坐标；第二步按照变换要求，先对A点执行向右平移2个单位的操作，得到平移后的点坐标；第三步将平移后的点绕原点顺时针旋转180°，利用旋转180°的坐标变换规律，即可算出点A₁的最终坐标。
【解析】
1. 求原等边△ABC中点A的坐标：
已知等边△ABC边长为2，点B与原点重合，点C在x轴正半轴上，因此点A的横坐标为边长的一半，即$2×\frac{1}{2}=1$；纵坐标为等边三角形的高，由勾股定理得高为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，即原A点坐标为$(1,\sqrt{3})$。
2. 执行向右平移2个单位的操作：
根据平移规律“右加左减，上加下减”，向右平移2个单位后，横坐标加2，纵坐标不变，平移后点A的坐标为$(1+2,\sqrt{3})=(3,\sqrt{3})$。
3. 执行绕原点顺时针旋转180°的操作：
点绕原点旋转180°时，横、纵坐标均变为原来的相反数，因此旋转后点A₁的坐标为$(-3,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(-3,-\sqrt{3})$
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与旋转变换，等边三角形的性质
【点评】
本题属于新定义类的坐标变换问题，解题核心是读懂新定义的变换顺序，熟练掌握平移、旋转180°的坐标变化规则，结合等边三角形的性质求出初始点坐标即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先明确图形的P(m,θ)变换的操作顺序：先向右平移m个单位，再绕原点顺时针旋转θ度。解题时按照以下步骤思考：第一步先根据等边三角形的性质求出初始点A的坐标；第二步按照变换要求，先对A点执行向右平移2个单位的操作，得到平移后的点坐标；第三步将平移后的点绕原点顺时针旋转180°，利用旋转180°的坐标变换规律，即可算出点A₁的最终坐标。
【解析】
1. 求原等边△ABC中点A的坐标：
已知等边△ABC边长为2，点B与原点重合，点C在x轴正半轴上，因此点A的横坐标为边长的一半，即$2×\frac{1}{2}=1$；纵坐标为等边三角形的高，由勾股定理得高为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，即原A点坐标为$(1,\sqrt{3})$。
2. 执行向右平移2个单位的操作：
根据平移规律“右加左减，上加下减”，向右平移2个单位后，横坐标加2，纵坐标不变，平移后点A的坐标为$(1+2,\sqrt{3})=(3,\sqrt{3})$。
3. 执行绕原点顺时针旋转180°的操作：
点绕原点旋转180°时，横、纵坐标均变为原来的相反数，因此旋转后点A₁的坐标为$(-3,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(-3,-\sqrt{3})$
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与旋转变换，等边三角形的性质
【点评】
本题属于新定义类的坐标变换问题，解题核心是读懂新定义的变换顺序，熟练掌握平移、旋转180°的坐标变化规则，结合等边三角形的性质求出初始点坐标即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
