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三、解答题
13.数学兴趣小组通过查阅资料发现,声音在空气中传播的速度和气温存在如下关系:
阅读上述材料,回答下列问题:
(1)用含$ t $的代数式表示$ v $;
(2)某日的气温为$ 15\ °\mathrm{C} $,小莹同学看到烟花燃放$ 5\ \mathrm{s} $后才听到声响,那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远?
13.数学兴趣小组通过查阅资料发现,声音在空气中传播的速度和气温存在如下关系:
阅读上述材料,回答下列问题:
(1)用含$ t $的代数式表示$ v $;
(2)某日的气温为$ 15\ °\mathrm{C} $,小莹同学看到烟花燃放$ 5\ \mathrm{s} $后才听到声响,那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远?
答案
13.解：(1)气温每升高1 ℃,声音在空气中传播的速度提高(337-331)÷(10-0)=0.6(m/s),
因为当t=0时,v=331,所以v=331+0.6t.
(2)当t=15时,v=331+0.6×15=340(m/s),
340×5=1 700(m).
答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距1 700 m.
因为当t=0时,v=331,所以v=331+0.6t.
(2)当t=15时,v=331+0.6×15=340(m/s),
340×5=1 700(m).
答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距1 700 m.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：（1）要写出v关于t的代数式，首先观察气温和速度的变化规律：先计算气温每升高1℃时声音速度的增量，再结合0℃时的初始速度，就能得到v和t的关系式；（2）求距离时，先把t=15代入第一问得到的代数式，算出当前气温下的声速，再根据“路程=速度×时间”的公式计算距离即可。
【解析】
(1) 观察数据可知，气温从0℃升高到10℃时，声音传播速度从331 m/s变为337 m/s，
则气温每升高1℃，速度提高：$(337-331)÷(10-0)=0.6\ (\mathrm{m/s})$，
已知$t=0$时，$v=331\ \mathrm{m/s}$，因此可得$v=331+0.6t$。
(2) 当$t=15$时，代入$v$的表达式得：
$v=331+0.6×15=340\ (\mathrm{m/s})$，
根据路程公式，小莹与燃放点的距离为：$340×5=1700\ (\mathrm{m})$。
答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距1700 m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{v=331+0.6t}$；(2) $\boldsymbol{1700\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，路程计算公式
【点评】
本题结合生活中的声速场景命题，既考查了从数据中提取规律列代数式的能力，也考查了代数式的代入求值和基础行程公式的应用，属于应用型基础题。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：（1）要写出v关于t的代数式，首先观察气温和速度的变化规律：先计算气温每升高1℃时声音速度的增量，再结合0℃时的初始速度，就能得到v和t的关系式；（2）求距离时，先把t=15代入第一问得到的代数式，算出当前气温下的声速，再根据“路程=速度×时间”的公式计算距离即可。
【解析】
(1) 观察数据可知，气温从0℃升高到10℃时，声音传播速度从331 m/s变为337 m/s，
则气温每升高1℃，速度提高：$(337-331)÷(10-0)=0.6\ (\mathrm{m/s})$，
已知$t=0$时，$v=331\ \mathrm{m/s}$，因此可得$v=331+0.6t$。
(2) 当$t=15$时，代入$v$的表达式得：
$v=331+0.6×15=340\ (\mathrm{m/s})$，
根据路程公式，小莹与燃放点的距离为：$340×5=1700\ (\mathrm{m})$。
答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距1700 m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{v=331+0.6t}$；(2) $\boldsymbol{1700\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，路程计算公式
【点评】
本题结合生活中的声速场景命题，既考查了从数据中提取规律列代数式的能力，也考查了代数式的代入求值和基础行程公式的应用，属于应用型基础题。
【难度系数】
0.8
14.学校“航天科技”社团的同学们制作了一个火箭模型，下图为火箭模型的截面图，截面图的下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形.
(1)用含a，b的代数式表示该截面的面积S；
(2)当a＝2，b＝2.5时，求这个截面的面积.
(1)用含a，b的代数式表示该截面的面积S；
(2)当a＝2，b＝2.5时，求这个截面的面积.
答案
14.解：(1)$S=\frac{1}{2}(a+2a)· b+a· 2a+\frac{1}{2}ab=\frac{3}{2}ab+2a^2+\frac{1}{2}ab=2ab+2a^2(\mathrm{cm}^2).$
(2)当a=2,b=2.5时,
$S=2ab+2a^2=2×2×2.5+2×2^2=18(\mathrm{cm}^2).$
答：这个截面的面积是18 $\mathrm{cm}^2$.
(2)当a=2,b=2.5时,
$S=2ab+2a^2=2×2×2.5+2×2^2=18(\mathrm{cm}^2).$
答：这个截面的面积是18 $\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题时我们可以用拆分法处理组合图形的面积问题：①首先明确该截面由梯形、长方形、三角形三个基本图形组成，截面总面积等于三个图形面积之和；②分别回忆三个图形的面积公式，结合对应边长分别写出三个图形的面积表达式；③将三个面积表达式相加，合并同类项化简后即可得到用a、b表示的截面面积S；第二问只需将a、b的数值代入第一问化简得到的代数式，按运算顺序计算即可得到具体面积。
【解析】
(1) 分别计算三个图形的面积再求和：
梯形面积：$\frac{1}{2}×(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+2a)·b$
长方形面积：$长×宽=a·2a$
三角形面积：$\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}ab$
所以总面积$S=\frac{1}{2}(a+2a)· b+a· 2a+\frac{1}{2}ab$
化简得：$S=\frac{3}{2}ab+2a^2+\frac{1}{2}ab=2ab+2a^2(\mathrm{cm}^2)$
(2) 把$a＝2$，$b＝2.5$代入$S=2ab+2a^2$中：
$S=2×2×2.5+2×2^2=10+8=18(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $S=2a^2+2ab$（单位：$\mathrm{cm}^2$）；(2) 18 $\mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形面积计算，代数式化简，代数式求值
【点评】
本题考查组合图形的面积计算与代数式的应用，核心是将复杂的组合图形拆分为熟悉的基本图形分别计算，化简和代入求值时注意运算规范，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
解题时我们可以用拆分法处理组合图形的面积问题：①首先明确该截面由梯形、长方形、三角形三个基本图形组成，截面总面积等于三个图形面积之和；②分别回忆三个图形的面积公式，结合对应边长分别写出三个图形的面积表达式；③将三个面积表达式相加，合并同类项化简后即可得到用a、b表示的截面面积S；第二问只需将a、b的数值代入第一问化简得到的代数式，按运算顺序计算即可得到具体面积。
【解析】
(1) 分别计算三个图形的面积再求和：
梯形面积：$\frac{1}{2}×(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+2a)·b$
长方形面积：$长×宽=a·2a$
三角形面积：$\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}ab$
所以总面积$S=\frac{1}{2}(a+2a)· b+a· 2a+\frac{1}{2}ab$
化简得：$S=\frac{3}{2}ab+2a^2+\frac{1}{2}ab=2ab+2a^2(\mathrm{cm}^2)$
(2) 把$a＝2$，$b＝2.5$代入$S=2ab+2a^2$中：
$S=2×2×2.5+2×2^2=10+8=18(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $S=2a^2+2ab$（单位：$\mathrm{cm}^2$）；(2) 18 $\mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形面积计算，代数式化简，代数式求值
【点评】
本题考查组合图形的面积计算与代数式的应用，核心是将复杂的组合图形拆分为熟悉的基本图形分别计算，化简和代入求值时注意运算规范，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
15. 中考趋势·综合与实践 综合与实践.
【材料】随着乡村旅游业的迅猛发展，在外打工多年的张琳回到家乡，创办了“乡村民宿”，带领当地农民发家致富. 村口有一段长为856 m的小路，张琳计划用3种形状的防滑地砖(分别为正方形、正三角形和直角三角形)铺路，其中每块正方形地砖的边长为0.8 m，图①中长方形的长为2.4 m(路面宽度)，宽为0.8 m. 四种图形的地砖的数量如下表所示.
【任务】根据图形的排列规律完成下列任务.
(1)当图案中一共有5块正方形地砖时，正三角形地砖的数量为
(2)求铺完这条路需要多少块正三角形地砖.
(3)某品牌正方形地砖每块40元，正三角形地砖每块30元，直角三角形地砖每块20元，在运输或施工过程中往往会有损坏，因此在购买各种型号的地砖时，购买的数量通常会比实际需求的数量多10%，请估计铺完这条路购买地砖大约需要多少钱.
【材料】随着乡村旅游业的迅猛发展，在外打工多年的张琳回到家乡，创办了“乡村民宿”，带领当地农民发家致富. 村口有一段长为856 m的小路，张琳计划用3种形状的防滑地砖(分别为正方形、正三角形和直角三角形)铺路，其中每块正方形地砖的边长为0.8 m，图①中长方形的长为2.4 m(路面宽度)，宽为0.8 m. 四种图形的地砖的数量如下表所示.
【任务】根据图形的排列规律完成下列任务.
(1)当图案中一共有5块正方形地砖时，正三角形地砖的数量为
18
块；当图案中一共有n块正方形地砖时，正三角形地砖的数量为(4n-2)
块(用含n的式子表示).(2)求铺完这条路需要多少块正三角形地砖.
(3)某品牌正方形地砖每块40元，正三角形地砖每块30元，直角三角形地砖每块20元，在运输或施工过程中往往会有损坏，因此在购买各种型号的地砖时，购买的数量通常会比实际需求的数量多10%，请估计铺完这条路购买地砖大约需要多少钱.
答案
15.解：(1)18;(4n-2)
(2)需要正方形地砖的数量为856÷0.8=1 070(块).
当n=1 070时,4n-2=4 278,即铺完这条路需要4 278块正三角形地砖.
(3)需要购买直角三角形地砖的块数是4,4×(1+10%)≈5(块),
需要购买正方形地砖1 070×(1+10%)=1 177(块),
需要购买正三角形地砖4 278×(1+10%)≈4 706(块).
所以所需费用约为1 177×40+4 706×30+5×20=188 360(元).
答：铺完这条路购买地砖大约需要188 360元.
(2)需要正方形地砖的数量为856÷0.8=1 070(块).
当n=1 070时,4n-2=4 278,即铺完这条路需要4 278块正三角形地砖.
(3)需要购买直角三角形地砖的块数是4,4×(1+10%)≈5(块),
需要购买正方形地砖1 070×(1+10%)=1 177(块),
需要购买正三角形地砖4 278×(1+10%)≈4 706(块).
所以所需费用约为1 177×40+4 706×30+5×20=188 360(元).
答：铺完这条路购买地砖大约需要188 360元.
解析
【分析】
(1) 先通过列举少量正方形地砖对应的正三角形地砖数量找规律：当有1块正方形地砖时，正三角形地砖有2块；2块正方形地砖时，正三角形地砖有6块；3块正方形地砖时，正三角形地砖有10块，可发现每增加1块正方形地砖，正三角形地砖增加4块，由此推导通用表达式，再代入n=5计算即可。
(2) 先根据小路总长度和单块正方形地砖对应的水平长度，算出总共有多少块正方形地砖，再代入(1)得到的表达式即可求出正三角形地砖总数。
(3) 先明确三种地砖的实际需求量，分别乘以(1+10%)得到购买量（地砖为整数，需合理取整），再结合各地砖单价计算总费用即可。
【解析】
(1) 观察规律可得：正三角形地砖数量 = 4×正方形地砖数量 - 2，即表达式为$4n-2$。当$n=5$时，$4×5-2=18$。
(2) 每块正方形地砖对应的水平长度为0.8m，因此正方形地砖总数量为：$856÷0.8=1070$（块）。
将$n=1070$代入$4n-2$得：$4×1070-2=4278$（块）。
(3) 由题意得直角三角形地砖实际需求量为4块，各类地砖购买量需比实际多10%：
直角三角形地砖购买量：$4×(1+10\%)≈5$（块，地砖为整块，向上取整）
正方形地砖购买量：$1070×(1+10\%)=1177$（块）
正三角形地砖购买量：$4278×(1+10\%)≈4706$（块，地砖为整块，向上取整）
总费用为：$1177×40 + 4706×30 + 5×20 = 47080 + 141180 + 100 = 188360$（元）
【答案】
(1) $\boxed{18}$；$\boxed{4n-2}$
(2) 铺完这条路需要$\boxed{4278}$块正三角形地砖
(3) 铺完这条路购买地砖大约需要$\boxed{188360}$元
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景命题，既考查了学生观察归纳图形数量规律的能力，又考查了代数式在实际问题中的应用，需要注意实际问题中物品数量需取整数的细节，能有效提升学生将数学知识应用到生活的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 先通过列举少量正方形地砖对应的正三角形地砖数量找规律：当有1块正方形地砖时，正三角形地砖有2块；2块正方形地砖时，正三角形地砖有6块；3块正方形地砖时，正三角形地砖有10块，可发现每增加1块正方形地砖，正三角形地砖增加4块，由此推导通用表达式，再代入n=5计算即可。
(2) 先根据小路总长度和单块正方形地砖对应的水平长度，算出总共有多少块正方形地砖，再代入(1)得到的表达式即可求出正三角形地砖总数。
(3) 先明确三种地砖的实际需求量，分别乘以(1+10%)得到购买量（地砖为整数，需合理取整），再结合各地砖单价计算总费用即可。
【解析】
(1) 观察规律可得：正三角形地砖数量 = 4×正方形地砖数量 - 2，即表达式为$4n-2$。当$n=5$时，$4×5-2=18$。
(2) 每块正方形地砖对应的水平长度为0.8m，因此正方形地砖总数量为：$856÷0.8=1070$（块）。
将$n=1070$代入$4n-2$得：$4×1070-2=4278$（块）。
(3) 由题意得直角三角形地砖实际需求量为4块，各类地砖购买量需比实际多10%：
直角三角形地砖购买量：$4×(1+10\%)≈5$（块，地砖为整块，向上取整）
正方形地砖购买量：$1070×(1+10\%)=1177$（块）
正三角形地砖购买量：$4278×(1+10\%)≈4706$（块，地砖为整块，向上取整）
总费用为：$1177×40 + 4706×30 + 5×20 = 47080 + 141180 + 100 = 188360$（元）
【答案】
(1) $\boxed{18}$；$\boxed{4n-2}$
(2) 铺完这条路需要$\boxed{4278}$块正三角形地砖
(3) 铺完这条路购买地砖大约需要$\boxed{188360}$元
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景命题，既考查了学生观察归纳图形数量规律的能力，又考查了代数式在实际问题中的应用，需要注意实际问题中物品数量需取整数的细节，能有效提升学生将数学知识应用到生活的意识。
【难度系数】
0.7
