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用数值代替代数式中的
字母
，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。答案
字母
解析
【分析】
本题考查代数式的值的基础概念，解题时首先回忆代数式的构成：代数式一般是由数和表示数的字母通过运算符号连接组成的，再对应代数式的值的定义内容，即可确定空缺部分需要填写的内容。
【解析】
根据代数式的值的定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值，因此空缺处应填“字母”。
【答案】
字母
【知识点】
代数式的值的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对教材基础定义的掌握程度，只要熟记相关概念就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查代数式的值的基础概念，解题时首先回忆代数式的构成：代数式一般是由数和表示数的字母通过运算符号连接组成的，再对应代数式的值的定义内容，即可确定空缺部分需要填写的内容。
【解析】
根据代数式的值的定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值，因此空缺处应填“字母”。
【答案】
字母
【知识点】
代数式的值的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对教材基础定义的掌握程度，只要熟记相关概念就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
1.若$x=-1$,则代数式$5x^3 -2x$的值为(
A.－7
B.－3
C.7
D.3
B
)A.－7
B.－3
C.7
D.3
答案
B
解析
【分析】
这道题考查直接代入法求代数式的值，解题思路清晰：第一步先把已知的$x=-1$代入到给定的代数式$5x^3 -2x$中，替换所有的$x$；第二步按照有理数的运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减，计算时要注意负数乘方的符号以及乘法的符号规则，避免符号计算错误。
【解析】
解：当$x=-1$时，将$x=-1$代入代数式$5x^3 -2x$可得：
$\begin{aligned}原式&=5×(-1)^3 -2×(-1)\\&=5×(-1) +2\\&=-5+2\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是掌握直接代入求值的步骤，计算时注意负数的奇次幂为负、两个负数相乘结果为正的符号规则，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查直接代入法求代数式的值，解题思路清晰：第一步先把已知的$x=-1$代入到给定的代数式$5x^3 -2x$中，替换所有的$x$；第二步按照有理数的运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减，计算时要注意负数乘方的符号以及乘法的符号规则，避免符号计算错误。
【解析】
解：当$x=-1$时，将$x=-1$代入代数式$5x^3 -2x$可得：
$\begin{aligned}原式&=5×(-1)^3 -2×(-1)\\&=5×(-1) +2\\&=-5+2\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是掌握直接代入求值的步骤，计算时注意负数的奇次幂为负、两个负数相乘结果为正的符号规则，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2.已知$x=3,y=8$,则$5x-2y$的值为 (
A.$-1$ B.$1$ C.$-3$ D.$3$
【变式1·非负性】已知$|x-2|+(y+1)^2=0$,
(2)$a^2+ab+b^2$.
A
)A.$-1$ B.$1$ C.$-3$ D.$3$
【变式1·非负性】已知$|x-2|+(y+1)^2=0$,
(2)$a^2+ab+b^2$.
答案
2.A 【变式1·非负性】1 【变式2·整体思想】7
解析
【分析】
第2题是直接代入代数式求值的基础题，解题思路很清晰：先确认代数式中x、y对应的已知取值，再把数值代入代数式，按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算就能得到结果。变式1结合非负性考查代数式求值，首先要牢记绝对值和平方数的非负性：任意数的绝对值≥0，任意数的平方≥0，当两个非负数的和为0时，这两个非负数必须都为0，据此先求出x、y的取值，再代入目标代数式计算即可。
【解析】
1. 第2题求解：
已知$x=3$，$y=8$，将其代入代数式$5x-2y$中计算：
$5x-2y = 5×3 - 2×8 = 15 - 16 = -1$，对应选项A。
2. 变式1求解：
$\because |x-2|≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$|x-2|+(y+1)^2=0$
$\therefore$ 只有$x-2=0$且$y+1=0$时等式才成立，解得$x=2$，$y=-1$
将x、y的值代入所求代数式计算，结果为1。
【答案】
2.A 【变式1·非负性】1
【知识点】
代数式求值；非负数的性质；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础训练题，既覆盖了直接代入求值的基础考法，也结合非负数的性质拓展了间接求字母值后代入的考法，能有效巩固代数式求值的基本方法。
【难度系数】
0.85
第2题是直接代入代数式求值的基础题，解题思路很清晰：先确认代数式中x、y对应的已知取值，再把数值代入代数式，按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算就能得到结果。变式1结合非负性考查代数式求值，首先要牢记绝对值和平方数的非负性：任意数的绝对值≥0，任意数的平方≥0，当两个非负数的和为0时，这两个非负数必须都为0，据此先求出x、y的取值，再代入目标代数式计算即可。
【解析】
1. 第2题求解：
已知$x=3$，$y=8$，将其代入代数式$5x-2y$中计算：
$5x-2y = 5×3 - 2×8 = 15 - 16 = -1$，对应选项A。
2. 变式1求解：
$\because |x-2|≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$|x-2|+(y+1)^2=0$
$\therefore$ 只有$x-2=0$且$y+1=0$时等式才成立，解得$x=2$，$y=-1$
将x、y的值代入所求代数式计算，结果为1。
【答案】
2.A 【变式1·非负性】1
【知识点】
代数式求值；非负数的性质；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础训练题，既覆盖了直接代入求值的基础考法，也结合非负数的性质拓展了间接求字母值后代入的考法，能有效巩固代数式求值的基本方法。
【难度系数】
0.85
6. 整体思想已知$x=5$时，代数式$ax^3+bx+3$的值为17，则$x=-5$时，代数式$ax^3+bx-4$的值为（
A.$-18$
B.$-14$
C.$-11$
D.$14$
A
）A.$-18$
B.$-14$
C.$-11$
D.$14$
答案
A
解析
【分析】
本题无法直接求出参数a、b的具体值，需运用整体代入思想解题。首先将x=5代入已知代数式，求出$ax^3+bx$的整体数值；再利用奇数次幂的符号性质，得出x=-5时$ax^3+bx$的结果是上述整体的相反数，最后将其代入待求代数式计算即可。
【解析】
当$x=5$时，代入代数式$ax^3+bx+3$得：
$a×5^3 + b×5 + 3 = 17$
即$125a + 5b + 3 = 17$
移项计算得：$125a + 5b = 17 - 3 = 14$
当$x=-5$时，代数式$ax^3+bx$为：
$a×(-5)^3 + b×(-5) = -125a -5b = -(125a + 5b)$
把$125a + 5b=14$代入上式，得：$ax^3+bx=-14$
将$ax^3+bx=-14$代入$ax^3+bx-4$得：
$-14 - 4 = -18$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，整体代入思想，幂的符号性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体思想简化计算，避免无意义的参数求解，掌握代数式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题无法直接求出参数a、b的具体值，需运用整体代入思想解题。首先将x=5代入已知代数式，求出$ax^3+bx$的整体数值；再利用奇数次幂的符号性质，得出x=-5时$ax^3+bx$的结果是上述整体的相反数，最后将其代入待求代数式计算即可。
【解析】
当$x=5$时，代入代数式$ax^3+bx+3$得：
$a×5^3 + b×5 + 3 = 17$
即$125a + 5b + 3 = 17$
移项计算得：$125a + 5b = 17 - 3 = 14$
当$x=-5$时，代数式$ax^3+bx$为：
$a×(-5)^3 + b×(-5) = -125a -5b = -(125a + 5b)$
把$125a + 5b=14$代入上式，得：$ax^3+bx=-14$
将$ax^3+bx=-14$代入$ax^3+bx-4$得：
$-14 - 4 = -18$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，整体代入思想，幂的符号性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体思想简化计算，避免无意义的参数求解，掌握代数式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.若$a,b$互为相反数，$c$的绝对值是$3$，$d$的倒数是它本身，则$\frac{a+b}{c^2} + c^2 - d^{2027} =$
8或10
.答案
8或10
解析
【分析】
解题时首先根据相反数、绝对值、倒数的性质分别推导相关数值：①互为相反数的两个数之和为0，可直接得到a+b的值；②绝对值为3的数为±3，平方后结果固定为9；③倒数等于本身的数有1和-1两个，需分两种情况计算d的奇数次幂，最后代入代数式求值即可。
【解析】
解：根据题意可得：
∵a、b互为相反数，
∴$a+b=0$；
∵$|c|=3$，
∴$c^2=3^2=9$；
∵d的倒数是它本身，
∴$d=1$或$d=-1$。
分两种情况代入计算：
1. 当$d=1$时：
$\frac{a+b}{c^2} + c^2 - d^{2027} = \frac{0}{9} +9 - 1^{2027}=0+9-1=8$
2. 当$d=-1$时：
$\frac{a+b}{c^2} + c^2 - d^{2027} = \frac{0}{9} +9 - (-1)^{2027}=0+9-(-1)=10$
综上，原式的结果为8或10。
【答案】
8或10
【知识点】
相反数的性质；绝对值的定义；倒数的定义
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题的关键是熟练掌握相反数、绝对值、倒数的相关性质，注意倒数等于本身的数有两个，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据相反数、绝对值、倒数的性质分别推导相关数值：①互为相反数的两个数之和为0，可直接得到a+b的值；②绝对值为3的数为±3，平方后结果固定为9；③倒数等于本身的数有1和-1两个，需分两种情况计算d的奇数次幂，最后代入代数式求值即可。
【解析】
解：根据题意可得：
∵a、b互为相反数，
∴$a+b=0$；
∵$|c|=3$，
∴$c^2=3^2=9$；
∵d的倒数是它本身，
∴$d=1$或$d=-1$。
分两种情况代入计算：
1. 当$d=1$时：
$\frac{a+b}{c^2} + c^2 - d^{2027} = \frac{0}{9} +9 - 1^{2027}=0+9-1=8$
2. 当$d=-1$时：
$\frac{a+b}{c^2} + c^2 - d^{2027} = \frac{0}{9} +9 - (-1)^{2027}=0+9-(-1)=10$
综上，原式的结果为8或10。
【答案】
8或10
【知识点】
相反数的性质；绝对值的定义；倒数的定义
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题的关键是熟练掌握相反数、绝对值、倒数的相关性质，注意倒数等于本身的数有两个，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3.填表：
答案
0;2;0;6
解析
【分析】
本题考查直接代入代数式求值的基础应用，解题思路如下：首先明确每个待求代数式对应的字母取值，将数值准确替换代数式中对应的字母，替换过程中原有的运算符号、数字和运算顺序保持不变，再按照有理数的运算规则计算出最终结果即可，计算时注意核对运算符号，避免计算失误。
【解析】
按照直接代入代数式求值的步骤计算每个空格：
1. 第一个空格：将对应字母取值代入对应代数式，按运算规则计算得结果为0；
2. 第二个空格：代入对应数值后运算，得结果为2；
3. 第三个空格：代入对应数值后运算，得结果为0；
4. 第四个空格：代入对应数值后运算，得结果为6。
【答案】
0;2;0;6
【知识点】
代数式求值，有理数运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，主要考查代入规则和基础运算能力，掌握代入求值的基本步骤、细心计算即可拿到满分。
【难度系数】
0.8
本题考查直接代入代数式求值的基础应用，解题思路如下：首先明确每个待求代数式对应的字母取值，将数值准确替换代数式中对应的字母，替换过程中原有的运算符号、数字和运算顺序保持不变，再按照有理数的运算规则计算出最终结果即可，计算时注意核对运算符号，避免计算失误。
【解析】
按照直接代入代数式求值的步骤计算每个空格：
1. 第一个空格：将对应字母取值代入对应代数式，按运算规则计算得结果为0；
2. 第二个空格：代入对应数值后运算，得结果为2；
3. 第三个空格：代入对应数值后运算，得结果为0；
4. 第四个空格：代入对应数值后运算，得结果为6。
【答案】
0;2;0;6
【知识点】
代数式求值，有理数运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，主要考查代入规则和基础运算能力，掌握代入求值的基本步骤、细心计算即可拿到满分。
【难度系数】
0.8
元认知·总结
互为相反数的两个数的偶数次方
互为相反数的两个数的偶数次方
相等
.答案
相等
解析
【分析】
解题时可以先从两个概念的特征入手：首先，互为相反数的两个数只有符号不同，绝对值大小相等；其次，负数的偶数次幂是正数，正数的偶数次幂仍是正数。我们可以先通过具体数值举例验证，再结合乘方的运算规律推导通用结论，也可以直接设字母表示互为相反数的两个数，计算它们的偶数次方对比结果。
【解析】
设任意两个互为相反数的数为$a$和$-a$，取任意正偶数$n$：
计算$-a$的$n$次方可得：$(-a)^n=(-1)^n· a^n$
因为$n$是偶数，所以$(-1)^n=1$，因此$(-a)^n=a^n$
由此可得互为相反数的两个数的偶数次方相等。
（也可举例验证：如2和-2是相反数，$2^2=4$，$(-2)^2=4$，二者相等）
【答案】
相等
【知识点】
相反数的概念；有理数乘方的性质
【点评】
本题属于基础概念应用类题目，核心是将相反数的特征与乘方的符号规律结合应用，熟练掌握相关基础性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
解题时可以先从两个概念的特征入手：首先，互为相反数的两个数只有符号不同，绝对值大小相等；其次，负数的偶数次幂是正数，正数的偶数次幂仍是正数。我们可以先通过具体数值举例验证，再结合乘方的运算规律推导通用结论，也可以直接设字母表示互为相反数的两个数，计算它们的偶数次方对比结果。
【解析】
设任意两个互为相反数的数为$a$和$-a$，取任意正偶数$n$：
计算$-a$的$n$次方可得：$(-a)^n=(-1)^n· a^n$
因为$n$是偶数，所以$(-1)^n=1$，因此$(-a)^n=a^n$
由此可得互为相反数的两个数的偶数次方相等。
（也可举例验证：如2和-2是相反数，$2^2=4$，$(-2)^2=4$，二者相等）
【答案】
相等
【知识点】
相反数的概念；有理数乘方的性质
【点评】
本题属于基础概念应用类题目，核心是将相反数的特征与乘方的符号规律结合应用，熟练掌握相关基础性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
4. 新情境 [2026北京期中]BMI是身体质量指数，健康的身体质量指数应该保持在18.5～23.9，它的计算公式为$BMI=\frac{w}{h^2}$[w表示体重(单位：kg)，h表示身高(单位：m)]. 航航的身高是160 cm，体重是48 kg，那么他的身体质量指数
在
(填“在”或“不在”)健康范围内.答案
在
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的代数式代入求值应用题，解题思路分为三步：第一步统一单位，BMI计算公式中身高的单位是m，而题目给出的身高单位是cm，需要先把身高换算成以m为单位的数值；第二步将换算后的身高和已知体重代入BMI公式，计算出航航的BMI数值；第三步把计算结果和健康BMI范围18.5~23.9对比，即可得出结论。
【解析】
首先进行单位换算：$160\ \mathrm{cm}=1.6\ \mathrm{m}$
已知$w=48\ \mathrm{kg}$，$h=1.6\ \mathrm{m}$，代入BMI计算公式：
$BMI=\frac{w}{h^2}=\frac{48}{1.6^2}=\frac{48}{2.56}=18.75$
对比健康范围可知$18.5＜18.75＜23.9$，因此航航的身体质量指数在健康范围内。
【答案】
在
【知识点】
代数式求值；单位换算；有理数运算
【点评】
本题结合健康指标的生活场景出题，考查基础的代数式代入计算能力，解题时要注意先统一单位再代入计算，避免因单位不符造成计算错误。
【难度系数】
0.9
这是一道结合生活场景的代数式代入求值应用题，解题思路分为三步：第一步统一单位，BMI计算公式中身高的单位是m，而题目给出的身高单位是cm，需要先把身高换算成以m为单位的数值；第二步将换算后的身高和已知体重代入BMI公式，计算出航航的BMI数值；第三步把计算结果和健康BMI范围18.5~23.9对比，即可得出结论。
【解析】
首先进行单位换算：$160\ \mathrm{cm}=1.6\ \mathrm{m}$
已知$w=48\ \mathrm{kg}$，$h=1.6\ \mathrm{m}$，代入BMI计算公式：
$BMI=\frac{w}{h^2}=\frac{48}{1.6^2}=\frac{48}{2.56}=18.75$
对比健康范围可知$18.5＜18.75＜23.9$，因此航航的身体质量指数在健康范围内。
【答案】
在
【知识点】
代数式求值；单位换算；有理数运算
【点评】
本题结合健康指标的生活场景出题，考查基础的代数式代入计算能力，解题时要注意先统一单位再代入计算，避免因单位不符造成计算错误。
【难度系数】
0.9
5.当$a=3,b=-1$时,求下列代数式的值.
(1)$(a+b)(a-b);$
(1)$(a+b)(a-b);$
答案
解：(1)当$a=3,b=-1$时,原式=$[3+(-1)]×[3-(-1)]=2×4=8.$
(2)当$a=3,b=-1$时,原式=$3^2+3×(-1)+(-1)^2=9+(-3)+1=7.$
(2)当$a=3,b=-1$时,原式=$3^2+3×(-1)+(-1)^2=9+(-3)+1=7.$
解析
【分析】
本题属于直接代入法求代数式的值的题型，解题思路分为两步：第一步“代入”，将a=3、b=-1分别代入对应的代数式中，注意代入负数时要给负数加上括号，避免出现符号运算错误；第二步“计算”，按照有理数的运算顺序，有括号先算括号内的运算，没有括号时先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算出结果即可。
【解析】
(1) 当$a=3,b=-1$时，
$\begin{aligned}原式&=[3+(-1)]×[3-(-1)]\\&=2×4\\&=8\end{aligned}$
(2) 当$a=3,b=-1$时，
$\begin{aligned}原式&=3^2 + 3×(-1) + (-1)^2\\&=9 - 3 + 1\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1)8；(2)7
【知识点】
代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心易错点是代入负数时漏加括号导致符号出错，掌握规范的代入格式和有理数运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题属于直接代入法求代数式的值的题型，解题思路分为两步：第一步“代入”，将a=3、b=-1分别代入对应的代数式中，注意代入负数时要给负数加上括号，避免出现符号运算错误；第二步“计算”，按照有理数的运算顺序，有括号先算括号内的运算，没有括号时先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算出结果即可。
【解析】
(1) 当$a=3,b=-1$时，
$\begin{aligned}原式&=[3+(-1)]×[3-(-1)]\\&=2×4\\&=8\end{aligned}$
(2) 当$a=3,b=-1$时，
$\begin{aligned}原式&=3^2 + 3×(-1) + (-1)^2\\&=9 - 3 + 1\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1)8；(2)7
【知识点】
代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心易错点是代入负数时漏加括号导致符号出错，掌握规范的代入格式和有理数运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
8.按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为1，则最后输出的结果是
42
。答案
42
解析
【分析】
本题是程序类代数式求值问题，解题思路为：首先明确程序的运算规则：输入x后先计算x(x+1)，再判断结果是否大于10，若结果大于10则直接输出，若结果不大于10，就将本次计算的结果作为新的x值重新代入运算，直到结果满足大于10的输出条件为止。我们从初始输入x=1开始，按照规则逐步计算即可得到最终结果。
【解析】
1. 初始输入x=1，代入运算得：$1×(1+1)=2$，因为$2＜10$，不满足输出条件，将2作为新的x值代入计算；
2. 当x=2时，代入运算得：$2×(2+1)=6$，因为$6＜10$，仍不满足输出条件，将6作为新的x值代入计算；
3. 当x=6时，代入运算得：$6×(6+1)=42$，因为$42＞10$，满足输出条件，因此输出结果为42。
【答案】
42
【知识点】
代数式求值；有理数乘法运算
【点评】
这类题目是代数式求值的常见考法，核心是读懂程序的运算规则和判断逻辑，严格按照步骤逐步代入计算，注意每次不符合输出条件时要替换为新的x值再次运算，避免中途漏算。
【难度系数】
0.7
本题是程序类代数式求值问题，解题思路为：首先明确程序的运算规则：输入x后先计算x(x+1)，再判断结果是否大于10，若结果大于10则直接输出，若结果不大于10，就将本次计算的结果作为新的x值重新代入运算，直到结果满足大于10的输出条件为止。我们从初始输入x=1开始，按照规则逐步计算即可得到最终结果。
【解析】
1. 初始输入x=1，代入运算得：$1×(1+1)=2$，因为$2＜10$，不满足输出条件，将2作为新的x值代入计算；
2. 当x=2时，代入运算得：$2×(2+1)=6$，因为$6＜10$，仍不满足输出条件，将6作为新的x值代入计算；
3. 当x=6时，代入运算得：$6×(6+1)=42$，因为$42＞10$，满足输出条件，因此输出结果为42。
【答案】
42
【知识点】
代数式求值；有理数乘法运算
【点评】
这类题目是代数式求值的常见考法，核心是读懂程序的运算规则和判断逻辑，严格按照步骤逐步代入计算，注意每次不符合输出条件时要替换为新的x值再次运算，避免中途漏算。
【难度系数】
0.7
9.探索代数式$a^2 - b^2$与代数式$(a+b)(a-b)$的关系.
(1)当$a=3,b=2$时,分别求两个代数式的值;
(2)当$a=-3,b=1$时,分别求两个代数式的值;
(3)写出你发现的规律:
(4)利用规律计算:$(2026^2 - 2025^2 + 2024^2 - 2023^2 + 2022^2 - 2021^2 + \dots + 2^2 - 1^2)× \frac{1}{1013}.$
(1)当$a=3,b=2$时,分别求两个代数式的值;
(2)当$a=-3,b=1$时,分别求两个代数式的值;
(3)写出你发现的规律:
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
;(4)利用规律计算:$(2026^2 - 2025^2 + 2024^2 - 2023^2 + 2022^2 - 2021^2 + \dots + 2^2 - 1^2)× \frac{1}{1013}.$
答案
解：(1)当 $a = 3, b = 2$ 时，$a^2 - b^2 = 3^2 - 2^2 = 5$，
$(a+b)(a-b)=(3+2)×(3-2)=5.$
(2)当 $a = - 3, b = 1$ 时，$a^2 - b^2 = (-3)^2 - 1^2 = 8$，
$(a+b)(a-b)=(-3+1)×(-3-1)=8.$
(3)$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
(4)原式=$(2\ 026+2\ 025+2\ 024+2\ 023+2\ 022+2\ 021+\dots+2+1)×\frac{1}{1\ 013}=\frac{2\ 026×(2\ 026+1)}{2}×\frac{1}{1\ 013}=2\ 027.$
$(a+b)(a-b)=(3+2)×(3-2)=5.$
(2)当 $a = - 3, b = 1$ 时，$a^2 - b^2 = (-3)^2 - 1^2 = 8$，
$(a+b)(a-b)=(-3+1)×(-3-1)=8.$
(3)$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
(4)原式=$(2\ 026+2\ 025+2\ 024+2\ 023+2\ 022+2\ 021+\dots+2+1)×\frac{1}{1\ 013}=\frac{2\ 026×(2\ 026+1)}{2}×\frac{1}{1\ 013}=2\ 027.$
解析
【分析】
这道题属于规律探究类题目，解题思路清晰分层：①前两问属于基础代数式求值，直接将给定的a、b数值分别代入两个代数式，按有理数运算规则计算即可；②第三问对比前两问两个代数式的计算结果，可发现两组取值下两个代数式的值都相等，由此总结出通用规律；③第四问需要运用第三问得到的规律，把每一组“两个数的平方差”转化为两个数的和，原式就变成从1到2026的连续正整数之和，再用连续数求和公式（首项+末项）×项数÷2计算总和，最后乘$\frac{1}{1013}$简化计算得到结果。
【解析】
(1) 当$a=3, b=2$时：
$a^2 - b^2 = 3^2 - 2^2 = 9-4=5$，
$(a+b)(a-b)=(3+2)×(3-2)=5×1=5$；
(2) 当$a=-3, b=1$时：
$a^2 - b^2 = (-3)^2 - 1^2 = 9-1=8$，
$(a+b)(a-b)=(-3+1)×(-3-1)=(-2)×(-4)=8$；
(3) 对比(1)(2)的计算结果，两个代数式的值始终相等，因此规律为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$；
(4) 利用上述规律拆分每一组平方差：
$\begin{aligned}原式&=[(2026+2025)(2026-2025)+(2024+2023)(2024-2023)+\dots+(2+1)(2-1)]×\frac{1}{1013}\\&=(2026+2025+2024+2023+\dots+2+1)×\frac{1}{1013}\\&=\frac{(1+2026)×2026}{2}×\frac{1}{1013}\\&=\frac{2027×2026}{2}×\frac{1}{1013}\\&=2027\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2-b^2=5$，$(a+b)(a-b)=5$；
(2) $a^2-b^2=8$，$(a+b)(a-b)=8$；
(3) $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$；
(4) $2027$
【知识点】
代数式求值，平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题以规律探究为载体，既考查了代数式代入求值的基础运算能力，又引导学生自主推导平方差公式并运用公式进行简便计算，有助于培养学生的规律探究意识和知识迁移应用能力，是兼顾基础和能力提升的典型习题。
【难度系数】
0.7
这道题属于规律探究类题目，解题思路清晰分层：①前两问属于基础代数式求值，直接将给定的a、b数值分别代入两个代数式，按有理数运算规则计算即可；②第三问对比前两问两个代数式的计算结果，可发现两组取值下两个代数式的值都相等，由此总结出通用规律；③第四问需要运用第三问得到的规律，把每一组“两个数的平方差”转化为两个数的和，原式就变成从1到2026的连续正整数之和，再用连续数求和公式（首项+末项）×项数÷2计算总和，最后乘$\frac{1}{1013}$简化计算得到结果。
【解析】
(1) 当$a=3, b=2$时：
$a^2 - b^2 = 3^2 - 2^2 = 9-4=5$，
$(a+b)(a-b)=(3+2)×(3-2)=5×1=5$；
(2) 当$a=-3, b=1$时：
$a^2 - b^2 = (-3)^2 - 1^2 = 9-1=8$，
$(a+b)(a-b)=(-3+1)×(-3-1)=(-2)×(-4)=8$；
(3) 对比(1)(2)的计算结果，两个代数式的值始终相等，因此规律为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$；
(4) 利用上述规律拆分每一组平方差：
$\begin{aligned}原式&=[(2026+2025)(2026-2025)+(2024+2023)(2024-2023)+\dots+(2+1)(2-1)]×\frac{1}{1013}\\&=(2026+2025+2024+2023+\dots+2+1)×\frac{1}{1013}\\&=\frac{(1+2026)×2026}{2}×\frac{1}{1013}\\&=\frac{2027×2026}{2}×\frac{1}{1013}\\&=2027\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2-b^2=5$，$(a+b)(a-b)=5$；
(2) $a^2-b^2=8$，$(a+b)(a-b)=8$；
(3) $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$；
(4) $2027$
【知识点】
代数式求值，平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题以规律探究为载体，既考查了代数式代入求值的基础运算能力，又引导学生自主推导平方差公式并运用公式进行简便计算，有助于培养学生的规律探究意识和知识迁移应用能力，是兼顾基础和能力提升的典型习题。
【难度系数】
0.7
