2.如图,已知 C 为线段 AB 的中点,D 在线段 CB 上,且 DA=6,DB=4,求 CD 的长度.

解:1.

【分析】
解题思路：首先根据已知的DA、DB长度求出线段AB的总长度，再利用C是AB中点的性质求出AC的长度，最后通过线段的差的关系，用DA减去AC即可得到CD的长度，也可以先求BC长度再减去DB得到CD，两种思路均符合线段运算规则。
【解析】
解：
∵ 点D在线段AB上，DA=6，DB=4
∴ AB = DA + DB = 6 + 4 = 10
又
∵ C为线段AB的中点
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×10 = 5
∴ CD = DA - AC = 6 - 5 = 1
【答案】
1
【知识点】
线段和差运算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，解题核心是先求出总线段AB的长度，再结合线段中点的性质，通过线段的和差关系推导未知线段长度，熟练掌握线段基本运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【例3】如图，A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由。
解:
【规律方法】
在平面内求最短距离问题时，往往利用线段的基本事实“两点之间，线段最短”来解决。

如图,连接 AB,与直线 l 交于点 P,点 P 即为所求.理由:两点之间,线段最短.

【分析】
要解决在河边修抽水站使管道最短的问题，本质是在直线l上找一点P，使PA与PB的长度和最小。首先观察到A、B两点在直线l的两侧，根据线段的基本性质，两点之间线段最短，因此只要连接A、B两点，线段AB与直线l的交点就是满足要求的点P：此时PA+PB的和恰好等于线段AB的长度，若选择直线l上其他任意一点，该点到A、B的距离之和都会大于线段AB的长度，无法满足最短要求。
【解析】
1. 用直尺连接A、B两点，得到线段AB；
2. 线段AB与直线l的交点记作P，点P就是抽水站的修建位置。
理由：两点之间，线段最短，此时PA+PB的总长度是最小的。
【答案】
如图,连接 AB,与直线 l 交于点 P,点 P 即为所求.理由:两点之间,线段最短.
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是最短路径类的基础题目，解题关键是熟练掌握“两点之间，线段最短”的基本事实，结合两点与直线的位置关系直接连线找交点即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.9

3.如图,设A,B,C,D为4个居民小区,现要建一个购物中心,试问应把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?请写出应用的数学知识.

解:连接 AC,BD.图略.购物中心应建在线段 AC 和线段 BD 的交点处.
数学知识:两点之间,线段最短.

【分析】
要找到使4个居民小区到购物中心距离之和最小的位置，我们可以拆分问题思考：首先，要使到A、C两点的距离之和最小，根据线段的基本性质，这个点必须落在线段AC上；同理，要使到B、D两点的距离之和最小，这个点必须落在线段BD上。同时满足这两个条件的点就是线段AC和BD的交点，此时四个点到该点的距离总和最小。
【解析】
1. 分别连接线段AC、BD，两条线段相交于点O；
2. 验证最优性：任意取一个不是交点O的点P，根据“两点之间，线段最短”可得：PA+PC≥AC，PB+PD≥BD，因此四个距离之和PA+PC+PB+PD≥AC+BD；
3. 只有当P同时在线段AC和BD上（即P为交点O）时，PA+PC=AC、PB+PD=BD，此时距离总和取最小值AC+BD。
【答案】
购物中心应建在线段AC和线段BD的交点处。应用的数学知识：两点之间，线段最短。
【知识点】
1. 两点之间线段最短；2. 线段和最值求解
【点评】
本题是线段基本性质的实际应用类题目，解题核心是将多点距离和的最值问题拆分为两组两点距离和的最值问题，体现了转化的数学思想，能引导学生感受数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7