11. 如图 3,在$△ ABC$中,CD平分$∠ ACB$,BE平分$∠ ABC$,CD与BE交于点F.若$∠ DFE=120°$,则$∠ A$等于 ()


A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

11.C

【分析】
解题时先利用对顶角相等把已知的∠DFE转化为△BFC的内角∠BFC，再结合三角形内角和定理算出∠FBC与∠FCB的和；接下来根据角平分线的定义，可推出∠ABC+∠ACB是∠FBC+∠FCB的2倍，最后再用三角形内角和定理就能求出∠A的度数。
【解析】
∵ ∠DFE与∠BFC是对顶角，
∴ ∠BFC=∠DFE=120°，
在△BFC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠FBC + ∠FCB = 180° - ∠BFC = 180° - 120° = 60°，
∵ BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴ ∠ABC = 2∠FBC，∠ACB = 2∠FCB，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 2(∠FBC + ∠FCB) = 2×60° = 120°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 120° = 60°。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角平分线相关的基础题型，解题的核心是通过对顶角转换未知角，结合角平分线的性质建立已知角和所求角之间的关系，熟练掌握三角形内角和定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7

12. 如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A'处，折痕为CD，那么∠A'DB=。

12.$10°$

【分析】
解题时先从已知的直角三角形条件入手，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；再根据折叠的性质，得到折叠后对应角∠CA'D与原∠A相等；最后观察发现∠CA'D是△A'BD的外角，利用三角形外角的性质即可求出∠A'DB的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 50° = 40°
∵将△ABC折叠使点A落在CB上的A'处，折痕为CD
∴△CDA' ≌ △CDA，即∠CA'D = ∠A = 50°
∵∠CA'D是△A'BD的外角
∴∠CA'D = ∠B + ∠A'DB
∴∠A'DB = ∠CA'D - ∠B = 50° - 40° = 10°
【答案】
10°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和相关的外角性质即可快速求解，是几何中角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.8

13.把多项式 $x^2 + mx +5$ 因式分解得 $(x+5)·(x+n)$，则 $m=$ ，$n=$ .

13.6 1

【分析】
我们知道因式分解和整式乘法是互逆的运算，题目中多项式$x^2 + mx +5$因式分解结果为$(x+5)(x+n)$，说明两个式子是相等的。解题时第一步先将右侧的$(x+5)(x+n)$按照多项式乘多项式的法则展开成二次三项式，第二步根据相等多项式的对应项系数相等的性质，分别匹配常数项和一次项系数，就能列出式子求出$n$和$m$的值。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开右侧式子：
$(x+5)(x+n)=x^2 + nx + 5x + 5n = x^2 + (n+5)x + 5n$
由题意得$x^2 + mx + 5 = x^2 + (n+5)x + 5n$，根据相等多项式对应项系数相等可得：
1. 常数项对应相等：$5n=5$，解得$n=1$
2. 一次项系数对应相等：$m = n+5$，将$n=1$代入得$m=1+5=6$
【答案】
6；1
【知识点】
1. 多项式乘多项式运算
2. 因式分解与整式乘法的互逆性
3. 多项式相等的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题关键是熟练掌握多项式乘法的计算规则，通过对应系数相等建立等量关系求解，是因式分解模块的常考题型。
【难度系数】
0.8

14.是否存在某个有理数$x$,使代数式$\frac{3x-2}{5}$的值不小于$\frac{2x+1}{3}$与1的差?若存在,求出$x$的取值范围;若不存在,说明理由.

14.存在,$x≤4.$

【分析】
首先明确“不小于”的数学含义是大于或等于（≥），先把题目中的文字描述转化为一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，最后根据解集即可判断是否存在符合条件的有理数x。
【解析】
解：根据题意可列不等式：
$\frac{3x-2}{5} ≥ \frac{2x+1}{3} - 1$
1. 去分母：两边同时乘15（5和3的最小公倍数，不等号方向不变），得
$3(3x-2) ≥ 5(2x+1) - 15$
2. 去括号：根据乘法分配律展开，得
$9x - 6 ≥ 10x + 5 - 15$
3. 移项：将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，移项变号，得
$9x - 10x ≥ 5 - 15 + 6$
4. 合并同类项，得
$-x ≥ -4$
5. 系数化为1：两边同时乘-1，不等号方向改变，得
$x ≤ 4$
因此存在符合条件的有理数x。
【答案】
存在，$x ≤ 4$
【知识点】
列一元一次不等式；解一元一次不等式；不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础应用，核心是准确把文字描述的不等关系转化为数学不等式，解题时要注意去分母不要漏乘不含分母的常数项，系数化为1时若乘除负数要记得改变不等号的方向。
【难度系数】
0.8

15.某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把266吨蔬菜和169吨水果全部运到灾区.已知一辆甲种货车同时可装18吨蔬菜和10吨水果，一辆乙种货车同时可装16吨蔬菜和11吨水果.
(1)若将这批果蔬一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
(2)若甲种货车每辆需付燃油费1 600元，乙种货车每辆需付燃油费1 200元，应选(1)中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？

15.(1)有三种租车方案:①甲车5辆,乙车11辆；②甲车6辆,乙车10辆；③甲车7辆,乙车9辆.
(2)租甲车5辆,乙车11辆,所付燃油费最少,最少燃油费为21 200元.

【分析】
(1) 要确定租车方案，首先设租用甲种货车的数量为x辆，那么乙种货车数量就是总车辆数减去甲的数量，即(16-x)辆。要一次性运完所有果蔬，需要满足两种货车运载的蔬菜总重量≥266吨，运载的水果总重量≥169吨，据此列出一元一次不等式组，求出x的取值范围，再结合x为正整数的实际意义，就能得到所有符合条件的租车方案。
(2) 要找燃油费最少的方案，可先分别计算三种方案的总燃油费，或者列出总费用和x的关系式，根据增减性判断最优方案，比较后就能得到最少费用。
【解析】
(1) 设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车$(16-x)$辆，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}18x + 16(16 - x) ≥ 266 \\10x + 11(16 - x) ≥ 169 \end{cases}$
解第一个不等式：
$18x+256-16x≥266$
$2x≥10$
$x≥5$
解第二个不等式：
$10x+176-11x≥169$
$-x≥-7$
$x≤7$
因此不等式组的解集为$5≤ x≤7$，x为正整数，故x可取5、6、7，对应租车方案为：
① 甲车5辆，乙车$16-5=11$辆；
② 甲车6辆，乙车$16-6=10$辆；
③ 甲车7辆，乙车$16-7=9$辆。
(2) 分别计算三种方案的燃油费：
方案①费用：$5×1600+11×1200=8000+13200=21200$元；
方案②费用：$6×1600+10×1200=9600+12000=21600$元；
方案③费用：$7×1600+9×1200=11200+10800=22000$元；
比较可知$21200＜21600＜22000$，因此方案①费用最低。
【答案】
(1)有三种租车方案:①甲车5辆,乙车11辆；②甲车6辆,乙车10辆；③甲车7辆,乙车9辆。
(2)租甲车5辆,乙车11辆,所付燃油费最少,最少燃油费为21200元。
【知识点】
不等式组应用，方案设计，最值计算
【点评】
本题以物资运输为实际背景，考查不等式组的实际应用，解题关键是找准运输重量的不等关系确定租车方案的范围，再结合费用规则选出最优方案，贴近生活实际，能锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

16.为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小明家准备购买A，B两种型号的节能灯，购买2只A型和3只B型节能灯需要80元，购买1只A型和4只B型节能灯需要65元.
(1)A，B两种型号节能灯的单价分别是多少？
(2)要求这两种型号的节能灯都买，且恰好花费200元，有哪几种购买方案？

16.(1)A型节能灯的单价是25元,B型节能灯的单价是10元.
(2)有三种购买方案:①A型节能灯2只,B型节能灯15只；②A型节能灯4只,B型节能灯10只；③A型节能灯6只,B型节能灯5只.

【分析】
（1）求A、B两种型号节能灯的单价，可通过设两个未知数，结合题目给出的两组购买总费用的等量关系，列二元一次方程组求解即可。
（2）第二问已知总花费且两种灯都要购买，先依据总价公式列出二元一次方程，再结合购买数量为正整数的实际要求，找出方程的所有正整数解，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1)设A型节能灯的单价为$x$元，B型节能灯的单价为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 80 \\ x + 4y = 65 \end{cases}$
由第二个方程变形得：$x = 65 - 4y$，将其代入第一个方程：
$2(65 - 4y) + 3y = 80$
展开计算得$130 - 8y + 3y = 80$，整理得$-5y = -50$，解得$y = 10$。
把$y=10$代入$x=65-4y$，得$x=65-4×10=25$。
(2)设购买A型节能灯$a$只，B型节能灯$b$只，其中$a$、$b$均为正整数。
根据总花费为200元列方程：$25a + 10b = 200$
化简得$5a + 2b = 40$，变形为$b = \frac{40 - 5a}{2}$。
因为$a$、$b$都是正整数，所以$40-5a＞0$，且$40-5a$是2的倍数，即$a＜8$且$a$为偶数。
当$a=2$时，$b=\frac{40-10}{2}=15$；
当$a=4$时，$b=\frac{40-20}{2}=10$；
当$a=6$时，$b=\frac{40-30}{2}=5$；
$a$取其他正整数时$b$不符合正整数要求，舍去。
【答案】
(1)A型节能灯的单价是25元，B型节能灯的单价是10元；
(2)有三种购买方案：①A型节能灯2只，B型节能灯15只；②A型节能灯4只，B型节能灯10只；③A型节能灯6只，B型节能灯5只。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解；方案设计
【点评】
本题结合生活购物场景考查方程的实际应用，解题核心是准确提取题干等量关系列方程，第二问求解时需注意结合实际意义，保证未知数取值为正整数，是方程应用类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7